1、考研数学一-154 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，f(x)=x 3-sinax3与 是等价无穷小，则(A) a=b=1 (B) a=2，b=1（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 ，则下列结论错误的是(A) 与 至少有一个成立(B) xn与 yn中至少有一个为无界变量(C) 若 xn是无穷小量，则 yn必为无界变量(D) 若 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设曲面 ，并取上侧，则不等于零的积分为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设
2、矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)是 54 矩阵， 1=(1，2，-1，3) T， 2=(3，2，5，3) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系下列命题中错误的命题是(A) 1， 2， 3线性相关 (B) 3， 4线性无关(C) 4可由 1， 3线性表示 (D) 2可由 3， 4线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 为可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XiB(1，p i)，(i=1，2)，它们的分布为 Fi(x)已知有一点 x=x0处 F 1(x0)F 2(x0)，则(A) p1p 2 (B) p 1p 2 (C) p 1=p
3、2 (D) p 1+p2=1（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线 y=f(x)与 y=sinx 在原点处相切，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设为圆柱面 x2+y2=4(0z1)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-2013)|的驻点个数为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是单位圆周 x2+y2=1，n 为 L 的外法线向量， y4)，则
4、（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设 f(x)二阶可导，且 ，求 并讨论 （分数：11.00）_17.设函数 ，其中 ，且函数 z=z(x，y)满足 . 求证 （分数：10.00）_18.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任一点 P(x，y)处的切线交 z 轴于 T，且|PT|=|OT|，试求曲线 L 的方程（分数：10.00）_19.设 f(x，y
5、)在圆域 x2+y21 上二阶连续可微，且满足 e-(x2+y2)，计算积分 （分数：10.00）_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解（分数：10.00）_21.已知 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=(1，-1，-1) T， 2=(-2，1，0) T是齐次方程组 Ax=0 的解，又(A-6E)=0，0()求 和二次型 xTAx 表达式()用正交变换 X=Qy 化二次型 xTAx 为标
6、准形并写出所用坐标变换()求(A-3E) 6（分数：12.00）_22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度，和（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：11.00）_考研数学一-154 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，f(x)=x 3-sinax3与 是等价无穷小，则(A) a=b=1 (B) a=2，b=1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 a=1 时， (当 x0 时)即 f(x)是 x 的 9
7、 阶无穷小当 a1 时，即 f(x)是 X 的 3 阶无穷小而 时是 x 的 3 阶无穷小，不论 b 取何值不可能是 x 的 9 阶无穷小，则 b=1，a1则 评注 本题用到一个常用的结论：当 x0 时，2.设 ，则下列结论错误的是(A) 与 至少有一个成立(B) xn与 yn中至少有一个为无界变量(C) 若 xn是无穷小量，则 yn必为无界变量(D) 若 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 直接法令则但 和 都不成立，则(A)是错误的分析二排除法如果x n与y n都有界，则x nyn有界，与题设 矛盾，则(B)是正确的若y n为有界变量，由题设x n是无穷小量，则x nyn为无穷
8、小量，与题设 矛盾，则(C)正确若 ，则(由于3.设函数 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 知即则又 ，则 从而有 f(0)=0，且由极限保号性知，存在 0，当 x(0，)时，f(x)0又 F(0)=0，4.设曲面 ，并取上侧，则不等于零的积分为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于曲面关于 yOx 坐标面前后对称，而函数 x2关于变量 x 是偶函数，则同理，曲面关于坐标面 xOz 左右对称，而函数 z2和 z 关于变量 y 都是偶函数，则 矛盾，则(C)正确若 ，则(由于5.设矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)是 54 矩阵， 1=(1，2
9、，-1，3) T， 2=(3，2，5，3) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系下列命题中错误的命题是(A) 1， 2， 3线性相关 (B) 3， 4线性无关(C) 4可由 1， 3线性表示 (D) 2可由 3， 4线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 是 54 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是两个向量，故 n=r(A)=2，即 r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=2故(A)必正确由 A 1=0，A 2=0 可得 1+2 2- 3+3 4=0，3 1+2 2+5 3+3 3=0两式分别相减、相加可得 1+3 3=0，2 1+2 2+2 3+3 4=0如果
10、3， 4线性相关，则 4=k 3，又 1=-3a3，从而6.设 为可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 A 行变换可得到矩阵 AB，易见E3(2)E2(-1)E1(-4)E12A=AB即由于矩阵 A 可逆，有从而 ，相似矩阵 B，C 有相同的特征值，又|E-C|=7.设随机变量 XiB(1，p i)，(i=1，2)，它们的分布为 Fi(x)已知有一点 x=x0处 F 1(x0)F 2(x0)，则(A) p1p 2 (B) p 1p 2 (C) p 1=p2 (D) p 1+p2=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 X i的分布 ，
11、分布函数为8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设标准正态分布的分布函数为 (x)，则F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy=PXmin(x，y)=(min(x，y)所以，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线 y=f(x)与 y=sinx 在原点处相切，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由曲线 y=f(x)与 y=sin2x 在原点处相切知 f(0)=0，f(0)=210.设为圆柱面 x2+y2=4(0z1)，则 （分数：4.00）填空项
12、1:_ （正确答案：8）解析：解析 由于曲面关于 xOz 面左右对称，而 y 关于变量 y 为奇函数，则由变量对称性知则11.函数 f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-2013)|的驻点个数为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2012）解析：解析 12.设 L 是单位圆周 x2+y2=1，n 为 L 的外法线向量， y4)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 为函数 u 沿曲线 x2+y2=1 的外法线方向的方向导数，则13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 C TAC=B 即二次型 xTAx 经坐标变换 x=
13、Cy 化为二次型 yTBy 显然，x TAx=z21+4x22-3x23+4x1x2，y TBy=y21-y23由配方法知那么令即有 xTAx=y21-y23，所以14.设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，总体 X 的概率分布为 ，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 一个参数 的矩估计为 EX=-12+0+1(1-3)=1-5.，解得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(分析 这是一个 n 项和的数列极限，常用的方法有两种，一种是夹逼原理，另一种是定积分的定义解 由于当 n时， ，则又由于，则
14、.故 )解析：16.设 f(x)二阶可导，且 ，求 并讨论 （分数：11.00）_正确答案：(分析 首先可利用 ，去掉右端积分号，将 直接用 f(x)表示出来，然后再求并讨论 的连续性解 当 x1 时，令 1+(x-1)t=u，则由 可知，f(1)=0，f(1)=0则当 x1 时，当 x=1 时，从而当 x1 时，当 x=1 时，由于 f(x)二阶可导，由 的表达 A 式可知， 在 x1 处连续，又而则则 在 x=1 处连续，故 处处连续评注 本题是一道综合题，主要考查定积分换元法，分段函数在分界点处的连续性，可导性及洛必达法则这里应注意，为求(*)式右端极限，这里不能用洛必达法则，也就是说以
15、下做法是错误的由于原题只假设 f(x)二阶可导，此时极限 )解析：17.设函数 ，其中 ，且函数 z=z(x，y)满足 . 求证 （分数：10.00）_正确答案：(分析 由题设知 z 是 x 和 y 的函数，而 x 和 y 都是 u 和 v 的函数解 由 及 u=x 知该式两端对甜求偏导得显然 ，等式 ，即两端对 u 求偏导得则从而)解析：18.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任一点 P(x，y)处的切线交 z 轴于 T，且|PT|=|OT|，试求曲线 L 的方程（分数：10.00）_正确答案：(解 设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则曲线 L 在点 P(x，y)处的切线方程为Y-f(x)
16、=f(x)(X-x)令 Y=0，得由|PT|=|OT|知整理得即令 ，则 y=xu，y=u+xu即 )解析：19.设 f(x，y)在圆域 x2+y21 上二阶连续可微，且满足 e-(x2+y2)，计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 要将圆域 x2+y21 上的二重积分 与已知条件 联系起来，可考虑圆周x2+y2=1 上的对坐标的线积分且使用格林公式解 设 C 为单位圆 x2+y2=1 沿逆时针方向显然设 D 为圆域 x2+y21，则由格林公式知则)解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2
17、，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解（分数：10.00）_正确答案：(解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3， 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知 r(B)=2由 ，知(-1，5，3，0) T是方程组 Bx=3 1+5 2- 3的一个解又 )解析：21.已知 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=(1，-1，-1) T， 2=(-2，1，0)
18、T是齐次方程组 Ax=0 的解，又(A-6E)=0，0()求 和二次型 xTAx 表达式()用正交变换 X=Qy 化二次型 xTAx 为标准形并写出所用坐标变换()求(A-3E) 6（分数：12.00）_正确答案：(由 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2知 1= 2=0 是矩阵 A 的特征值， 1， 2是矩阵 A 属于特征值 =0 的线性无关的特征向量因为 A=6，0所以 =6 是 A 的特征值设 =(x 1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交于是解出 =(1，2，-1) T由 A( 1， 2，)=(0，0，6)得 A=(0，0，6)( 1， 2，) -1故 xT
19、Ax=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3()令 1= 1.单位化有那么令有 xTAx=yTy=6y 23()因为有 )解析：22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度，和（分数：11.00）_正确答案：()可由性质 ，定出常数 A也可以把 看成形如 的正态分布 N(， 2)的概率密度 ，所以解得 由对称性得 ()已知 ，所以由于 ，故可以得出 其中 C 为常数显然 XN(0，1)，YN(0，1)()二维正态密度的一般形式为对此本题所求出的二维密度，可知 1= 2=0， 1= 2=1，即 2-2 2=3,2 2+3-2=0，(2-1)(+2)=0，解得 (不可能)所以 )解析：23.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：11.00）_正确答案：()由 和 S2的性质：当 XN(0，1)时， ，和 ES2=DX=1所以 ()ET 2=DT+(ET)2，由()知 ET=1( ，S 2相互独立)，已知，当 XN(0，1)时， 而 所以 总之 )解析：
