1、考研数学一-153 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设数列 an单调减少， ，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 y=xex+x 是微分方程 y-2y+ay=bx+c 的解，则(A) a=1，b=1，c=0 (B) a=1，b=1，c=-2(C) a=-3，b=-3，c=0 (D) a=-3，b=1，c=1（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是(A) 如果 1，
2、2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0(B) 如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0.(C) 如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关(D) 如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P
3、(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则(A) P(C|AB)=P(C|A) (B) P(C|AB)=P(C|B)(C) P(B|AC)=P(B|A) (D) P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y) 等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则 y(3)=_（分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 D=(x，y)
4、|x 2+y22x+2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=f(xy，x 2+y2)，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知向量组 1=(1，2，0，1) T， 2=(2，-1，1，-1) T， 3=(3，a，1，0) T， 4=(1，2，3，a+3)T， 5=(4，3，a，1) T的秩为 3则其极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_14.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p=_（分数：4.00）
5、填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.设 f(x)为连续函数， ，当 x0 时 （分数：11.00）_17.计算线积分 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，令 ，证明： （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af()+bf()=0（分数：10.00）_20.设二次型xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：12.00）
6、_21.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：10.00）_22.已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_23.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)容量为 n(n
7、1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 记 ，试求统计量 的期望 与方差 （分数：11.00）_考研数学一-153 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 x0 时， 为无穷小量， 为有界变量，则f(x)在 x=0 处连续，(A)不正确当 x0 时， 为无穷小量， 为有界变量，则2.设数列 an单调减少， ，则幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 当 x=-1 时幂级数 由于 ，则 ，又数列a n单调减少，由莱布尼兹准则知交错级数 收敛，且是条件收敛，则x=-1
8、 为幂级数 的收敛区间的左端点，右端点应为 x=3，当 x=3 时，原幂级数 由 知，级数 发散，则幂级数 的收敛域为-1，3)，故应选(B)分析二 由 知则幂级数 的收敛半径为 R=2当 x=-1 时，级数 收敛，当 x=3 时，级数 发散(理由同分析一)评注 这里用到一个常用的结论：“若幂级数 在x=x 1处条件收敛，则 x=x1为幂级数3.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 则 f(x，y)在点(0，0)处连续，又同理 fy(0，0)=0则 f(x，y)在点(0，0)处可微，故应选(C)评注 本题中的 f(x，y)在(0，0)点的偏导数不连续，事实上不存在，由于4
9、.若 y=xex+x 是微分方程 y-2y+ay=bx+c 的解，则(A) a=1，b=1，c=0 (B) a=1，b=1，c=-2(C) a=-3，b=-3，c=0 (D) a=-3，b=1，c=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由解 y=zex+x 的形式及原方程右端的非齐次项可知，xe x为齐次方程的解，则其特征方程有二重根 1= 2=1，特征方程应为(-1) 2=0，则 a=1，而 y=x 应为非齐次方程的解，将其代入方程 Y-2y+y=bx+c 得 b=1，c=-2，故应选(B)5.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是(A) 如果 1， 2
10、， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0(B) 如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0.(C) 如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关(D) 如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 1， 2， 3， 4， 5是 5 个 4 维向量它必线性相关而当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5必可
11、由 1， 2， 3， 4线性表出现在 s 不能由 1， 2， 3， 4线性表出，所以 1， 2， 3， 4必线性相关即命题(C)正确按定义当 1， 2， 3， 4线性相关时，存在不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，但不是对任意不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4均有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，故命题(A)不正确因为 0 1+0 2+0 3+0 4=0 恒成立，所以命题(B)不正确当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5一定能由 1， 2， 3， 4线性表出，当 1， 2， 3， 4线性相关时， 5也有可能由 1，
12、 2， 3， 4线性表出(例如 5= 1)，故命题(D)不正确6.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 (A)是实对称矩阵，(D)有 3 个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是 2，2，0 和 2，2，1，特征值有重根易见秩 所以齐次方程组(2E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，亦即 =2 只有一个线性无关的特征向量故(B)不能相似对角而7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则(A) P(C|AB)=P(C|A) (B) P(C|AB)=P(C|B)(C) P(B|
13、AC)=P(B|A) (D) P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)我们也可以通过计算来确定选项事实上：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y) 等于（分数：4.00）A.B.C.
14、D.解析：解析 选择(C)我们也可以这样考虑，由于其中 A=X，B=Y，已知 XN(， 2)，YN(， 2)，所以 ，选择(C)说明 本题可以有如下的变式：已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，且 PX0，Y2=a，则 PX0，Y2=_记 A=X0，B=X2，由题设知故评注 选择题可以不要求推导过程，本题 X，Y 不一定独立，但如果 X，Y 独立结论一定也对，故为简化不妨假定 x，y 独立这时，而二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4，则 y(3)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：12）解析：解析
15、令则设 在 x=3 处的幂级数展开式为则y-(x-3)3a0+a1(x-3)+an(x-3)n+=a0(x-3)3+a1(x-3)4+an(x-3)n+3+从而yt(3)=a 03!=6a0显然 ，故 y(3)=12评注 由本题的分析可得到一个常用的结论：若 在 x0的某邻域内可展开为幂级数， (n 为正整数)，则y(k)(x0)=0 k=1，2，n-110. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：当 n 为偶数时为 0，当 n 为奇数时为 ）解析：解析 当 n 为偶数时，t ne-t2为偶函数，则 为奇函数，从而 为奇函数，则当 n 为奇数时，评注 本题用到两个常用的结论：(1)设
16、f(x)连续，则当 f(x)为奇函数时， 为偶函数，当 f(x)为偶函数时， 为奇函数(2)设 f(x)连续，则11.设 D=(x，y)|x 2+y22x+2y，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析 积分域 x2+y22x+2y 为圆域(x-1) 2+(y-1)22令 x-1=u，y-1=v，则12.设 z=f(xy，x 2+y2)，其中 f(u，v)有二阶连续偏导数则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 1+xyf 11+4xyf 22+2(x2+y2)f 12）解析：解析 13.已知向量组 1=(1，2，0，1) T， 2=(2，-1，1，-1)
17、T， 3=(3，a，1，0) T， 4=(1，2，3，a+3)T， 5=(4，3，a，1) T的秩为 3则其极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1， 2， 4）解析：解析 向量组 1， 2， 3， 4， 5的秩也就是矩阵 A=( 1， 2， 3， 4， 5)的秩，对矩阵作初等行变换，有14.甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次，已知每次射击甲命中目标概率为 p(0p1)，乙命中目标的概率为 0.6，则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 p=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 用 X，Y 分别表示两次射击甲，乙击中目标的次
18、数，则 X 与 Y 独立，XB(2，p)，YB(2，0.6)事件“两次射击甲、乙两人命中目标次数相等”=X=Y=X=0，Y=0X=1，Y=1X=2，Y=2，依题意 P 应使 PX=Y)达到最大由于PX=Y=PX=0PY=0+PX=1PY=1+PX=2PY=2=(1-p)20.42+C12p(1-p)C120.60.4+p20.62=0.16(1-p)2+2p(1-p)0.48+0.36p2记 ，令 ，解得 ，又 ，所以当三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(解)解析：16.设 f(x)为连续函数， ，当 x0 时 （分数：11.00）_正确答案
19、：(解 令 x-t=u，则 dt=-du由 知从而， ，且 ，此时)解析：17.计算线积分 （分数：10.00）_正确答案：(解 补线用格林公式，如右图，补线段 ，则 L 与 围成两块平面域 D1和 D2，则评注 补线段 后对积分用格林公式时应注意，曲线 L 和线段 )解析：18.设 f(x)在0，+)上连续，且 收敛，令 ，证明： （分数：10.00）_正确答案：(证明 令 nx=t，则从而又由于 收敛，设 ，则当 a0 时，级数 收敛，故级数 收敛评注 本题在证明过程中用到一个重要的积分不等式，即 Cauchy 积分不等式)解析：19.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f
20、(0)=f(1)，常数 a0 与 b0求证：存在满足01 的 与 使得 af()+bf()=0（分数：10.00）_正确答案：(分析 本题属中值定理的证明题中要证存在两个不同点 和 ，这种问题应将0，1分为两个区间0，c和c，1，然后在这两个区间上分别用拉格朗日中值定理问题的关键在于 c 点的选取，为此，利用拉格朗日中值定理得从而有若能选得 c(0，1)，使 ，则必有 af()+bf()=0，问题得以证明.显然 证 令 ，在0，c和c，1上分别对 f(x)用拉格朗日定理得此时， )解析：20.设二次型xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 A
21、B=0，其中 （分数：12.00）_正确答案：(AB=0 知 =0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有于是由矩阵 A 的特征多项式，得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值一 6 的特征向量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有那么令 )解析：21.设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明
22、 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：10.00）_正确答案：(证 ()因为 1， 2， 3线性相关，故有不全为 0 的 k1，k 2，k 3使得k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(k 1+k2+k3) 1-k2( 1- 2)+k3( 1- 3)因为 1- 2， 1- 3是齐次方程组 Ax=0 的解，而 。是非齐次方程组 Ax=b 的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0从而 k2( 1- 2)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k
23、 3不全为 0(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关()由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0 时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因为 1， 2， 3， 4线性无关，故 )解析：22.已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 XY（分数：11.00）_正确答案：(分析与解答()()() ，DY
24、=EY 2-(EY)2=EX2-(EX)2=DX故 XY=1评注 本题的关键在于 XE(1)，而 x 的密度函数为 )解析：23.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)容量为 n(n1)的简单随机样本，样本均值与方差分别为 记 ，试求统计量 的期望 与方差 （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 由题设知总体 XN(0， 2)，故 2(n-1)，且 与 S2相互独立由此得 ，根据 2分布性质得： ，从而有 ，又 与 S2独立，所以评注 解答本题时我们应用了下面两个重要的结论：(1)如果总体 XN(， 2)，样本均值与方差分别为 与 S2，则 ， 与 S2相互独立；(2)如果 )解析：
