1、考研数学一-152 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导,且 f(0)=f(0)=2,则 =(分数:4.00)A.B.C.D.2.设 g(x)可导,且 x0 时,g(x)是 x 的高阶无穷小,则当 x0 时,必有(A) g(x)是无穷小量(B) 是 x2的高阶无穷小(C) (分数:4.00)A.B.C.D.3.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.4.下列命题正确的是(A) 若 收敛,则 条件收敛(B) 若 ,则 收敛(C) 若 收敛,则 收敛(D) 若 绝对收敛,则 (分数:4.00)A
2、.B.C.D.5.设 A 为 n 阶矩阵,且满足 A2-A=6E,则矩阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵(分数:4.00)A.B.C.D.6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关(分数:4.00)A.B.C.D.7.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x),则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为(分数:4.00)A.B.C.D.8.假设总体 X 服从正态分布 N(, 2),X
3、1,X n是来自总体 X 的简单随机样本,其样本均值为 ,如果 ,其中 a0,则有(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 x0, (分数:4.00)填空项 1:_10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 (分数:4.00)填空项 1:_11. (分数:4.00)填空项 1:_12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 (分数:4.00)填空项 1:_14.袋中有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,从中随意取出 4 个球,如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球,试验停
4、止,否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球,直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数,则 PX=k=_(k=1,2,),EX=_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)在 x0点可导, n, n为趋于零的正项数列,求极限(分数:10.00)_16.就 k 的不同取值情况,确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数(分数:10.00)_17.设 f(x)为0,+)上的正值连续函数,已知曲线 (分数:10.00)_18.设 为椭球体 x2+y2+4z21,试证明 (分数:10.00)_19.证明罗尔定理,若函数 f(x)在a,b
5、上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)则 (分数:10.00)_20.已知齐次线性方程组(分数:11.00)_21.设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3是 3 维列向量,其中 30,若 A 1= 2,A 2= 3,A 3=0()证明 1, 2, 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式|A+2E|的值(分数:11.00)_22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下,随机变量 Y 在区间(0,x)上服从均匀分布,求:()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x,y),X 与 Y 是否独立,为什么?()计算条件概率 与 (分数:11.00)_23
6、.设随机变量 x 的分布密度为 ,而 X1,X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本,试求:()未知参数 的矩估计量 ;()未知参数 的最大似然估计量 ;()验证 , (分数:11.00)_考研数学一-152 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导,且 f(0)=f(0)=2,则 =(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由于 上式两端对 y 求导得则2.设 g(x)可导,且 x0 时,g(x)是 x 的高阶无穷小,则当 x0 时,必有(A) g(x)是无穷小量(B) 是 x2的高阶
7、无穷小(C) (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 由于 (洛必达法则)=0则 是 x2的高阶无穷小,故应选(B)评注 本题的其余选项都不正确事实上,若取容易验证 g(x)可导,且当 x0 时,g(x)是 x 的高阶无穷小,但不存在,由于 不存在,则(A)不正确若取 g(x)=0,显然 g(x)符合题设条件,但 无意义,则(C)不正确若取 g(x)=x2, ,显然当 x0 时,g(x)是 x 的高阶无穷小,且 G(x)=g(x),但3.曲线 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由于 ,则 x=0(y 轴)为该曲线的一条垂直渐近线,又则 y=x+1 为该曲线的一条斜渐近线,
8、而4.下列命题正确的是(A) 若 收敛,则 条件收敛(B) 若 ,则 收敛(C) 若 收敛,则 收敛(D) 若 绝对收敛,则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于 绝对收敛,则 收敛,从而 则存在 N0,当 nN 时|u n|1从而 0u 2n|u n|,则 收敛,故应选(D)评注 其余选项都不正确,事实上,若取 收敛,而 发散,(A)不正确若取 un=(-1)nn,则但级数 显然发散,则(B)不正确,若 为正项级数,此时(B)正确.若取此时,由于级数 收敛收敛.则 收敛而级数 收敛,级数 发散,则级数 发散,(C)不正确5.设 A 为 n 阶矩阵,且满足 A2-A=6E,则矩
9、阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为(A+2E)(A-3E)=A 2-A-6E=0从而|A+2E|A-3E|=0那么|A+2E|与|A-3E|至少有一个为零或着|A+2E|与|A-3E|最多一个不为 0,所以 A-3E 与 2E+A 最多有一个为可逆矩阵6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析
10、令有 x TAx-y1y2再令得 xTAx=z21-z22,所以必有 p=1评注 因为7.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x),则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 F Y(y)=PYy=P|X|y当 y0 时,F Y(y)=0,f Y(y)=F Y(y)=0,当 y0 时, ,故 fY(y)=F Y(y)=f(y)+f(-y)答案应选(C)评注 本题也可用概率密度的性质来解Y=|X|,因此 Y 不可能取负值;这就排除选项(A)和(B)的可能性而(C)和(D)差一个 由件质.8.假设总体 X 服从正态分布 N(, 2),X 1,X
11、 n是来自总体 X 的简单随机样本,其样本均值为 ,如果 ,其中 a0,则有(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 依题意 ,故由此可知:如果 ,即有 ,所以 ,即 故选(C)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 x0, (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:x=2)解析:解析 由于10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:x-2y+2=0)解析:解析 由 y2=2px 知,当 y=x 时,x=y=2p,且该曲线在(2p,2p)处的曲率半径为又 ,则 p=1,抛物线方程为 y2=2x,与 y=x
12、交点为(2,2),这时11. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 令 1-x=sint,则 dx=-costdt12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 曲面 x2+y2+z2=4 在点 处的法线向量为曲面 x2+y2=2x 在点 处的法向量为n2=0,1,0曲线 在点 处的切向量为该曲线指向 z 轴正向一侧的切向量为13.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(5-2a,-1,2-a,a-1) T,其中 a1)解析:解析 Ax=0 解空间是 1 维的向量空间,即 n-r(A)=1 从
13、而秩 r(A)=3对 A 作初等行变换有可见那么14.袋中有 8 个球,其中有 3 个白球,5 个黑球,从中随意取出 4 个球,如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球,试验停止,否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球,直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数,则 PX=k=_(k=1,2,),EX=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 记 Ai=“第 i 次取出 4 个球是 2 个白球 2 个黑球”,由于是有放回取球,因而 AI 是相互独立的根据超几何分布知 ,又由几何分布得:我们知道:当|x|1 时, 代入得三、解答题(总题数:9,分数:94
14、.00)15.设 f(x)在 x0点可导, n, n为趋于零的正项数列,求极限(分数:10.00)_正确答案:(解 由于 f(x)在点 x0处可导,则f(x0+x)=f(x 0)+f(x0)x+z其中 ,从而有则则 )解析:16.就 k 的不同取值情况,确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数(分数:10.00)_正确答案:(解 令 f(x)=x3-3x+k则 f(x)=3x 2-3由 f(x)=3x 2-3=0 得 x=1则当 x(-,-1)时,f(x)0,f(x)单调增;当 x(-1,1)时,f(x)0,f(x)单调减;当 x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调增)解析:17.设 f(x
15、)为0,+)上的正值连续函数,已知曲线 (分数:10.00)_正确答案:(解 曲线 和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域绕 y 轴旋转所得体积为曲线 y=f(x)和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域的面积为则 上式两端对 t 求导得令 ,则由 z(0)=0 知,)解析:18.设 为椭球体 x2+y2+4z21,试证明 (分数:10.00)_正确答案:(分析 若能求得被积函数|x+y+z|在 上的最大值 M,则其中 V 为椭球体 x2+y2+4z21 的体积,为此,可先求出 x+y+z 在 上的最小值和最大值证 令 f(x,y,z)=x+y+z由 fx(x,y,z)=10,f y(x,y
16、,z)=10,f z(x,y,z)=10从而 f(x,y,z)=z+y+z 在椭球体 x2+y2+4z21 内无极值点,则 f(xy,z)在 x2+y2+4z21 上的最大值和最小值都在区域 x2+y2+4z21 的边界曲面 x2+y2+4z2=1 上取得,令F(x,y,z,)=x+y+z+(x 2+y2+4z2-1)今由此解得为 f(x,y,z)在 上的最大值;为 f(x,y,z)在 上的最小值,则椭球体 :x 2+y2+4z21 的体积为(先重后单)故 )解析:19.证明罗尔定理,若函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)则 (分数:10.00)_正确答案:(证
17、明 ()由于 f(x)在a,b上连续,则 f(x)在a,b上有最大值 M 和最小值 mi)若 M=m,则 f(x)M,结论显然成立ii)若 Mm,由于 f(a)=f(b),则 f(x)在a,b上的最大值 M 和最小值 m 至少有一个在(a,b)内取得,不妨设最大值在 x=(a,b)处取到,由费马引理知 f()=0()反证法:若 f(x)在区间 I 上的零点不止 n 个,则至少应有 n+1 个,不妨设为 x1x 2x 3x n+1,在区间x i,x i+1(i=1,2,n)上分别用罗尔定理得,存在 i (x i,x i+1)(i=1,2,n),使f()=0,即 f(x)在 I 上至少有 n 个零
18、点,在 f(x)的相邻两个零点之间对 f(x)用罗尔定理得f(x)在区间 I 上至少有 n-1 个零点,以此类推,f (n)(x)在 I 上至少有一个零点,与题设矛盾,故原题得证评注 本题()中所证的结论可看作罗尔定理的推论,这个推论在讨论方程根的个数时是一个常用的结论)解析:20.已知齐次线性方程组(分数:11.00)_正确答案:(解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换,有可求出()的基础解系为=(-1,1,-4,0) T, 2=(-a,0,-3a,1) T对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换,有由于()与()同解,r(A)=r(B)知有 b=-1由于()与()同解, 1, 2也是
19、()的基础解系,它应是的解.从而 )解析:21.设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3是 3 维列向量,其中 30,若 A 1= 2,A 2= 3,A 3=0()证明 1, 2, 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式|A+2E|的值(分数:11.00)_正确答案:(设 k1 1+k2 2+k3 3=0 (1)因为 A 1= 2,A 2= 3,A 3=0,用 A 左乘(1)式两端,有k1 2+k2 3=0 (2)再用 A 左乘(2)式两端,有 k1 3=0由于 30故必有 k1=0把 k1=0 代入(2)得 k2=0把 k1=0,k 2=0 代入(1)得 k2=0所以 1,
20、 2, 3线性无关()由于据()知 1, 2, 3线性无关,即矩阵 P=( 1, 2, 3)可逆从而 )解析:22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下,随机变量 Y 在区间(0,x)上服从均匀分布,求:()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x,y),X 与 Y 是否独立,为什么?()计算条件概率 与 (分数:11.00)_正确答案:(由题设知:在 X=x(x0)的条件下,Y 的条件密度为根据乘法公式得由于,故 X 与 Y 不独立()其中所以()通过计算 Z=X-Y 的分布给出证明其方去有:方法一(分布函数法)Z=X-Y 分布函数当 z0 时,F z(z)=0,当
21、z0 时,综上得由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布方法二(公式法)已知(X,Y)f(x,y),则 Z=X-Y 的概率密度 fz(z)= f(x+y+z).其中由此可知:当 z0 时,f z(z)=0;当 z0 时, ,综上得所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布注 仿照上述方法可以求得 ZX+Y 的概率密度 fz(z)方法一(分布函数法)Z=X+Y 的分布函数由 f(x,y)非零定义域知:当 z0 时,F z(x)=0;当 z0 时,综上得方法二(公式法)已知(X,Y)f(x,y),则 Z=X+Y 的概率密度 fz(z)= 其中由此可知:当 z0 时,f z(z)=0;当 z0 时,综上得 )解析:23.设随机变量 x 的分布密度为 ,而 X1,X 2,X n为来自总体 X 的简单随机样本,试求:()未知参数 的矩估计量 ;()未知参数 的最大似然估计量 ;()验证 , (分数:11.00)_正确答案:(分析与解答 () 令 ,即 .()似然函数当 xi0 时,L0,取对数得 ,令 ,解得 ,所以() 同理 所以 )解析: