1、考研数学一-152 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=2，则 =（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 g(x)可导，且 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，则当 x0 时，必有(A) g(x)是无穷小量(B) 是 x2的高阶无穷小(C) （分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题正确的是(A) 若 收敛，则 条件收敛(B) 若 ，则 收敛(C) 若 收敛，则 收敛(D) 若 绝对收敛，则 （分数：4.00）A
2、.B.C.D.5.设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A2-A=6E，则矩阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为（分数：4.00）A.B.C.D.8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X
3、1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）填空项 1:_10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停
4、止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)，EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x0点可导， n， n为趋于零的正项数列，求极限（分数：10.00）_16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数（分数：10.00）_17.设 f(x)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_18.设 为椭球体 x2+y2+4z21，试证明 （分数：10.00）_19.证明罗尔定理，若函数 f(x)在a，b
5、上连续，在(a，b)上可导，f(a)=f(b)则 （分数：10.00）_20.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_21.设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维列向量，其中 30，若 A 1= 2，A 2= 3，A 3=0()证明 1， 2， 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式|A+2E|的值（分数：11.00）_22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 与 （分数：11.00）_23
6、.设随机变量 x 的分布密度为 ，而 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，试求：()未知参数 的矩估计量 ；()未知参数 的最大似然估计量 ；()验证 ， （分数：11.00）_考研数学一-152 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 y=f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=2，则 =（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 上式两端对 y 求导得则2.设 g(x)可导，且 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，则当 x0 时，必有(A) g(x)是无穷小量(B) 是 x2的高阶
7、无穷小(C) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 (洛必达法则)=0则 是 x2的高阶无穷小，故应选(B)评注 本题的其余选项都不正确事实上，若取容易验证 g(x)可导，且当 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，但不存在，由于 不存在，则(A)不正确若取 g(x)=0，显然 g(x)符合题设条件，但 无意义，则(C)不正确若取 g(x)=x2， ，显然当 x0 时，g(x)是 x 的高阶无穷小，且 G(x)=g(x)，但3.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，则 x=0(y 轴)为该曲线的一条垂直渐近线，又则 y=x+1 为该曲线的一条斜渐近线，
8、而4.下列命题正确的是(A) 若 收敛，则 条件收敛(B) 若 ，则 收敛(C) 若 收敛，则 收敛(D) 若 绝对收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 绝对收敛，则 收敛，从而 则存在 N0，当 nN 时|u n|1从而 0u 2n|u n|，则 收敛，故应选(D)评注 其余选项都不正确，事实上，若取 收敛，而 发散，(A)不正确若取 un=(-1)nn，则但级数 显然发散，则(B)不正确，若 为正项级数，此时(B)正确.若取此时，由于级数 收敛收敛.则 收敛而级数 收敛，级数 发散，则级数 发散，(C)不正确5.设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A2-A=6E，则矩
9、阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为(A+2E)(A-3E)=A 2-A-6E=0从而|A+2E|A-3E|=0那么|A+2E|与|A-3E|至少有一个为零或着|A+2E|与|A-3E|最多一个不为 0，所以 A-3E 与 2E+A 最多有一个为可逆矩阵6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析
10、令有 x TAx-y1y2再令得 xTAx=z21-z22，所以必有 p=1评注 因为7.已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量函数 Y=|X|的概率密度 fY(y)为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 F Y(y)=PYy=P|X|y当 y0 时，F Y(y)=0，f Y(y)=F Y(y)=0，当 y0 时， ，故 fY(y)=F Y(y)=f(y)+f(-y)答案应选(C)评注 本题也可用概率密度的性质来解Y=|X|，因此 Y 不可能取负值；这就排除选项(A)和(B)的可能性而(C)和(D)差一个 由件质.8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X
11、 n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题意 ，故由此可知：如果 ，即有 ，所以 ，即 故选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=2）解析：解析 由于10.设抛物线 y2=2px 在与直线 y=x 交点处的曲率半径 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-2y+2=0）解析：解析 由 y2=2px 知，当 y=x 时，x=y=2p，且该曲线在(2p，2p)处的曲率半径为又 ，则 p=1，抛物线方程为 y2=2x，与 y=x
12、交点为(2，2)，这时11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 1-x=sint，则 dx=-costdt12.函数 u=x2+y2+2z2在点 处沿曲线在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 曲面 x2+y2+z2=4 在点 处的法线向量为曲面 x2+y2=2x 在点 处的法向量为n2=0，1，0曲线 在点 处的切向量为该曲线指向 z 轴正向一侧的切向量为13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(5-2a，-1，2-a，a-1) T，其中 a1）解析：解析 Ax=0 解空间是 1 维的向量空间，即 n-r(A)=1 从
13、而秩 r(A)=3对 A 作初等行变换有可见那么14.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)，EX=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 Ai=“第 i 次取出 4 个球是 2 个白球 2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 AI 是相互独立的根据超几何分布知 ，又由几何分布得：我们知道：当|x|1 时， 代入得三、解答题(总题数：9，分数：94
14、.00)15.设 f(x)在 x0点可导， n， n为趋于零的正项数列，求极限（分数：10.00）_正确答案：(解 由于 f(x)在点 x0处可导，则f(x0+x)=f(x 0)+f(x0)x+z其中 ，从而有则则 )解析：16.就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 实根的个数（分数：10.00）_正确答案：(解 令 f(x)=x3-3x+k则 f(x)=3x 2-3由 f(x)=3x 2-3=0 得 x=1则当 x(-，-1)时，f(x)0，f(x)单调增；当 x(-1，1)时，f(x)0，f(x)单调减；当 x(1，+)时，f(x)0，f(x)单调增)解析：17.设 f(x
15、)为0，+)上的正值连续函数，已知曲线 （分数：10.00）_正确答案：(解 曲线 和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域绕 y 轴旋转所得体积为曲线 y=f(x)和两坐标轴及直线 x=t(t0)所围区域的面积为则 上式两端对 t 求导得令 ，则由 z(0)=0 知，)解析：18.设 为椭球体 x2+y2+4z21，试证明 （分数：10.00）_正确答案：(分析 若能求得被积函数|x+y+z|在 上的最大值 M，则其中 V 为椭球体 x2+y2+4z21 的体积，为此，可先求出 x+y+z 在 上的最小值和最大值证 令 f(x，y，z)=x+y+z由 fx(x，y，z)=10，f y(x，y
16、，z)=10，f z(x，y，z)=10从而 f(x，y，z)=z+y+z 在椭球体 x2+y2+4z21 内无极值点，则 f(xy，z)在 x2+y2+4z21 上的最大值和最小值都在区域 x2+y2+4z21 的边界曲面 x2+y2+4z2=1 上取得，令F(x，y，z，)=x+y+z+(x 2+y2+4z2-1)今由此解得为 f(x,y,z)在 上的最大值；为 f(x,y,z)在 上的最小值，则椭球体 ：x 2+y2+4z21 的体积为(先重后单)故 )解析：19.证明罗尔定理，若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，f(a)=f(b)则 （分数：10.00）_正确答案：(证
17、明 ()由于 f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b上有最大值 M 和最小值 mi)若 M=m，则 f(x)M，结论显然成立ii)若 Mm，由于 f(a)=f(b)，则 f(x)在a，b上的最大值 M 和最小值 m 至少有一个在(a，b)内取得，不妨设最大值在 x=(a，b)处取到，由费马引理知 f()=0()反证法：若 f(x)在区间 I 上的零点不止 n 个，则至少应有 n+1 个，不妨设为 x1x 2x 3x n+1，在区间x i，x i+1(i=1，2，n)上分别用罗尔定理得，存在 i (x i，x i+1)(i=1，2，n)，使f()=0，即 f(x)在 I 上至少有 n 个零
18、点，在 f(x)的相邻两个零点之间对 f(x)用罗尔定理得f(x)在区间 I 上至少有 n-1 个零点，以此类推，f (n)(x)在 I 上至少有一个零点，与题设矛盾，故原题得证评注 本题()中所证的结论可看作罗尔定理的推论，这个推论在讨论方程根的个数时是一个常用的结论)解析：20.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换，有可求出()的基础解系为=(-1，1，-4，0) T， 2=(-a，0，-3a，1) T对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换，有由于()与()同解，r(A)=r(B)知有 b=-1由于()与()同解， 1， 2也是
19、()的基础解系，它应是的解.从而 )解析：21.设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维列向量，其中 30，若 A 1= 2，A 2= 3，A 3=0()证明 1， 2， 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式|A+2E|的值（分数：11.00）_正确答案：(设 k1 1+k2 2+k3 3=0 (1)因为 A 1= 2，A 2= 3，A 3=0，用 A 左乘(1)式两端，有k1 2+k2 3=0 (2)再用 A 左乘(2)式两端，有 k1 3=0由于 30故必有 k1=0把 k1=0 代入(2)得 k2=0把 k1=0，k 2=0 代入(1)得 k2=0所以 1，
20、 2， 3线性无关()由于据()知 1， 2， 3线性无关，即矩阵 P=( 1， 2， 3)可逆从而 )解析：22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 X=(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 与 （分数：11.00）_正确答案：(由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为根据乘法公式得由于，故 X 与 Y 不独立()其中所以()通过计算 Z=X-Y 的分布给出证明其方去有：方法一(分布函数法)Z=X-Y 分布函数当 z0 时，F z(z)=0，当
21、z0 时，综上得由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的概率密度 fz(z)= f(x+y+z).其中由此可知：当 z0 时，f z(z)=0；当 z0 时， ，综上得所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布注 仿照上述方法可以求得 ZX+Y 的概率密度 fz(z)方法一(分布函数法)Z=X+Y 的分布函数由 f(x，y)非零定义域知：当 z0 时，F z(x)=0；当 z0 时，综上得方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X+Y 的概率密度 fz(z)= 其中由此可知：当 z0 时，f z(z)=0；当 z0 时，综上得 )解析：23.设随机变量 x 的分布密度为 ，而 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，试求：()未知参数 的矩估计量 ；()未知参数 的最大似然估计量 ；()验证 ， （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 () 令 ，即 .()似然函数当 xi0 时，L0，取对数得 ，令 ，解得 ，所以() 同理 所以 )解析：
