1、考研数学一-151 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，Fy(x 0，y 0)0，F xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则(A) y(x)以 x=x0为极大值点 (B) y(x)
2、以 x=x0为极小值点(C) y(x)在 x=x0不取极值 (D) (x 0，y(x 0)是曲线 y=y(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知累次积分 ，其中 a0 为常数，则可写成（分数：4.00）A.B.C.D.5.下列矩阵中属于正定矩阵的是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n 维向量 a1，a 2，a s的秩为 r，则下列命题正确的是(A) a1，a 2，a s中任何 r-1 个向量必线性无关(B) a1，a 2，a s中任何 r 个向量必线性无关(C) 如果 sn，则 as必可由 a1，a 2，a s-1线性表示(D) 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 a
3、1，a 2，a s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则(A) X 与|X|相关，且相关系数|=1 (B) X 与|X|相关，但|1(C) X 与|X|不相关，且也不独立 (D) X 与|X|相互独立（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.质量为 M，长为 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点
4、C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A 是 3 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A*)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_14.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行重复
5、独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_16.设函数 ，其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：() F n(x)在(0，+)存在唯一零点 xn；() 收敛；() （分数：-1.00）_17.设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数且满足（分数：-1.00）_18.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：-1.00）_19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： 使
6、得（分数：-1.00）_20.设 ，且 B=P-1AP() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 当 （分数：-1.00）_21.设 A 为三阶方阵，a 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2证明：() 矩阵 B=(，A，A 4)可逆；() B TB 是正定矩阵（分数：-1.00）_22.设 X，Y 是两个离散型随机变量，X 只取-1 和 1 两个值，Y 只取-1，0，1 三个值，已知 EX=0.2，EY=0.25，PX=-1，Y=1=0.2，PX=1，Y=-1=0.1，PY=-1=0.2试求：() X 与 Y 的联合概率分布与它们的协方差；() X 与 Y
7、2的联合概率分布与它们的协方差（分数：-1.00）_23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X 9是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平A=0.05 下检验h0:= 0=0，H 1:0，如果选取拒绝域 () 求 C 的值；() 若样本观测值的均值 ，则在显著性水平 a=0.05 下是否可据此样本推断 =0?() 若选取拒绝域 （分数：-1.00）_考研数学一-151 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 ，则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解
8、析 考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿-莱布尼兹公式及 f(0)=0，有由积分基本性质，并考虑到 ，有于是 故选(A)分析二 同样考察 f(x)与 f(x)的关系由拉格朗日中值定理知当 x0，1时f(x)=f(x)-f(0)=f()x，(0，x)2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先求出 y与 y由 连续，且在 两侧 y变号，x=0 两侧)y也变号 (0，0)， 的拐点，再无其他拐点因此，选(D)3.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，Fy(x 0，y 0)0，F xx(x
9、0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，则(A) y(x)以 x=x0为极大值点 (B) y(x)以 x=x0为极小值点(C) y(x)在 x=x0不取极值 (D) (x 0，y(x 0)是曲线 y=y(x)的拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 按隐函数求导法知 y(x)满足令 x=x0，相应地 y=y0得 y(x0)=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得再令 x=x0，相应地 y=y0得4.已知累次积分 ，其中 a0 为常数，则可写成（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
10、这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成 由 D 的极坐标表示可知 ，如图若是先 y 后 z 的积分顺序，则 D：0xa，于是5.下列矩阵中属于正定矩阵的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是 ii0(C)中 33=-10，必不正定；(A)中二阶顺序主子式6.设 n 维向量 a1，a 2，a s的秩为 r，则下列命题正确的是(A) a1，a 2，a s中任何 r-1 个向量必线性无关(B) a1，a 2，a s中任何 r 个向量必线性无关(C) 如果 sn，则 as必可由 a1，a
11、 2，a s-1线性表示(D) 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 a1，a 2，a s线性表示（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 r( 1， 2， s)=r7.在区间(-1，1)上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在(-1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则(A) X 与|X|相关，且相关系数|=1 (B) X 与|X|相关，但|1(C) X 与|X|不相关，且也不独立 (D) X 与|X|相互独立（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题设，X 在-1，1上服从均匀分布，其概率密度为由于故 cov(X，|X|)=0，从而 =0，X
12、与|X|不相关于是可排除(A)与(B)对于任意实数又 PX，|X|=P|X|=，从而 PXP|X|PX，|X|，即所以 X 与|X|不独立，故应选(C)8.设 X1，X 2，X n+1是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 X1，X 2，X n+1相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)= 2，所以 故选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.质量为 M，长为 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆
13、对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 以 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力于是，C 从 r0移至无穷远时，引力作的功10.微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：其中 C 为 常数 ）解析：解析 这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程将方程表为 Pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x，y)方
14、法 1 凑微分法由于因此，通解为方法 2 不定积分法由 对 x 积分得u=x2siny+x3y+C(y)又由得因此得通解 其中 C 为11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 这是一元函数 与二元函数 t=xy2的复合函数，由一阶全微分形式不变性分析二 先求偏导数：于是12.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 13.已知 A 是 3 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A*)*的最大特征值是 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18）解析：解析 因为(A
15、*)*=|A| n-2A，又|A|= i=6，所以(A*)*=6A，从而(A*)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 1814.假设每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 X 的数学期望 EX=3，则 p=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 首先求出 X 的概率分布，再用期望定义求解 p 的值依题意 X 取值为 2，3，且解方程三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()由定积分的几何意义知(这是以原点为
16、心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积)再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分：当 0x1 时当 x1 时于是为求 f(x)在(0，+)上的最小值，先求 f(x)()由于 ，故)解析：16.设函数 ，其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：() F n(x)在(0，+)存在唯一零点 xn；() 收敛；() （分数：-1.00）_正确答案：(分析与证明 ()F n(x)在0，+)内可导(也就必然连续)，又Fn(x)在0，+)单调上升 Fn(x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 xn()在前面的证明中已得估计式因 收敛，由比较原理知， 收敛又()方法 1
17、前面已导出方法 2 直接由同样得 )解析：17.设 z=z(x，y)有二阶连续的偏导数且满足（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()z=xy-w，由复合函数微分法则，得()解方程(*)，对 u 积分得 再对 u 积分其中 ()，()是任意的有二阶连续导数的函数则)解析：18.设密度为 1 的立体 由不等式 （分数：-1.00）_正确答案：(解 上任意点(x，y，z)到直线 L 的距离的平方再求 对 L 的转动惯量用先二后一的积分顺序，记 D(z)：x 2+y2z 2，于是)解析：解析 质量为 m 的质点对直线 L 的转动惯量为 md2，d 是质点到 L 的距离因此，要先求 上19.设
18、 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)=0，f(1)=1，求证： 使得（分数：-1.00）_正确答案：(证明 因为 ，由连续函数的介值定理可知存在 c(0，1)，使得对此 c，在0，c与c，1上分别应用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c，1)，使得又左端为 )解析：解析 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理： 取c(0，1)，分别在0，c与c，1上用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c，1)使得关键是取 c(0，1)及 f(C)使得左端为 2，只需取 f(C)使得20.设 ，且 B=P-1AP() 求矩阵 A 的特征值与特征向量；() 当 （分数：-1.
19、00）_正确答案：(解 ()由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3由齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系 1=(-4，1，2) T由齐次方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 2=(-2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 10；而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1) T，k 20()()由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1又 B100于是)解析：21.设 A 为三阶方阵，a 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A
20、3=3A-2A 2证明：() 矩阵 B=(，A，A 4)可逆；() B TB 是正定矩阵（分数：-1.00）_正确答案：(证明 ()由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A若 k1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆()因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又 x0，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx)T
21、(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵)解析：22.设 X，Y 是两个离散型随机变量，X 只取-1 和 1 两个值，Y 只取-1，0，1 三个值，已知 EX=0.2，EY=0.25，PX=-1，Y=1=0.2，PX=1，Y=-1=0.1，PY=-1=0.2试求：() X 与 Y 的联合概率分布与它们的协方差；() X 与 Y2的联合概率分布与它们的协方差（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()首先我们列出 X 与 Y 的联合概率分布结构表(见表 1)，表中未知的 Pij待求根据联合分布与边缘分布间的关系及数学期望定义容易求出表 1 中 pij(i=
22、1，2，j=1，2，3)各值，对照表1，具体计算如下：从上述计算结果可得 X 与 Y 的联合概率分布(见表 2)为EXY=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+1(-1)0.1+110.25=0.05，于是 COV(X，Y)=EXY-EXEY=0.05-0.20.25=0()从 X 与 Y 的联合概率分布容易求出 X 与 Y2的联合概率分布、边缘分布(见表 3)解析：23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X 9是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平A=0.05 下检验h0:= 0=0，H 1:0，如果选取拒绝域 () 求 C 的值；() 若样本观测值的均值 ，则在显著性水平 a=0.05 下是否可据此样本推断 =0?() 若选取拒绝域 （分数：-1.00）_正确答案：(解 ()依题意 H0：= 0=0，H 1：0，由于总体方差 已知，我们选取检验的统计量为在 H0成立条件下， ，由于 =0.05，可知 P|U|1.96=0.05，因此检验的拒绝域为于是 C=1.9630.65()由于 x=10.65R，因此不能据此样本推断 =0，即应否定 =0 的假设()由于检验水平 是在 H0成立时拒绝 H0的最大概率，因此所求的显著性水平 为)解析：
