1、考研数学一-150 及答案解析(总分:95.99,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:13.00)1. (分数:1.00)填空项 1:_2. (分数:1.00)填空项 1:_3. (分数:1.00)填空项 1:_4.设 u=x2eyz3,其中 z=z(x,y)由方程 x3+y3+z3-3xyz=0所确定,则 du|x=-1,y=0| =_(分数:4.00)填空项 1:_5. (分数:4.00)填空项 1:_6.已知 a=i,b=j-2k,c=2i-2j+k,若有一单位向量 r,满足 rc,且 r与 a,b 共面,则 r=_(分数:2.00)填空项 1:_二、B选择题/B(
2、总题数:8,分数:23.00)7. (分数:4.00)A.B.C.D.8. (分数:4.00)A.B.C.D.9. (分数:1.00)A.B.C.D.10. (分数:1.00)A.B.C.D.11. (分数:1.00)A.B.C.D.12. (分数:4.00)A.B.C.D.13. (分数:4.00)A.B.C.D.14. (分数:4.00)A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数:1,分数:60.00)设二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX经过正交变换化为标准形 (分数:59.99)(1).求矩阵 A;(分数:8.57)_(2).求正交矩阵 Q,使得经过正交变换 X=QY,二次型 f
3、(x1,x 2,x 3)=XTAX化为标准形(分数:8.57)_(3). (分数:8.57)_(4).设在-1,1上的连续函数 f(x)满足如下条件:对-1,1上的任意的连续偶函数 g(x),积分(分数:8.57)_(5). (分数:8.57)_(6).设 XN(, 2),其中 和 2均为未知参数从总体 x中抽取简单随机样本 X1,X 2,X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p; () 判断 是否为一个统计量; () 设 为已知,确定常数 k,使得 (分数:8.57)_(7). (分数:8.57)_考研数学一-150 答案解析(总分:95.9
4、9,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:13.00)1. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*2. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:4)解析:*3. (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*4.设 u=x2eyz3,其中 z=z(x,y)由方程 x3+y3+z3-3xyz=0所确定,则 du|x=-1,y=0| =_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:应填-5dx-2dy)解析:解析 由 x3+y3+z3-3xyz=0有 3x2dz+3y2dy+3z2dz-3yzdx-3xzdy-3xydz=0,再由 x=-
5、1,y=0 可得z=1将这些代入上述微分式中,得 dz=-dx-dy又因du=2xeyz3dx+x2eyz3dy+3x2eyz2dz,将 x=-1,y=0,z=1 及 dz=-dx-dy代入,得 du=2dx+dy+3dz=-5dx-2dy5. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-1)解析:* *6.已知 a=i,b=j-2k,c=2i-2j+k,若有一单位向量 r,满足 rc,且 r与 a,b 共面,则 r=_(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 设 r=x,y,z,则由 rc 可得 rc=0,即 2x-2y+z=0, 由|r|=1 可得 x2+y2+z2
6、=1, 由 r与 a,b 共面可得(ab)r=0,即 * 联立,可解得*二、B选择题/B(总题数:8,分数:23.00)7. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*8. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*9. (分数:1.00)A.B. C.D.解析:*10. (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:*11. (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:*12. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*13. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*14. (分数:4.00)A. B.C.D.解析:*三、B解答题/B(总题数:1,分数:60.00)设二次型 f(x1,x
7、 2,x 3)=XTAX经过正交变换化为标准形 (分数:59.99)(1).求矩阵 A;(分数:8.57)_正确答案:(显然 A的特征值为 1=2, 2=-1, 3=-1,|A|=2,伴随矩阵 A*的特征值为 1=1,=-2, 3=-2由 A*= 得 AA*=A,即 A=2,。即 =(1,1,-1) T是矩阵 A的对应于特征值 1=2的特征向量令 =(x 1,x 2,x 3)T为矩阵 A的对应于特征值 2=-1, 3=-1的特征向量,因为 A为实对称矩阵,所以 T=0,即 x1+x2-x3=0,于是 2=-1, 3=-1对应的线性无关的特征向量为*)解析:(2).求正交矩阵 Q,使得经过正交变
8、换 X=QY,二次型 f(x1,x 2,x 3)=XTAX化为标准形(分数:8.57)_正确答案:(*)解析:(3). (分数:8.57)_正确答案:(* *)解析:(4).设在-1,1上的连续函数 f(x)满足如下条件:对-1,1上的任意的连续偶函数 g(x),积分(分数:8.57)_正确答案:(作变换 x=-t,则 * 令 h(x)=f(x)+f(-x),则 h(x)是-1,1上的偶函数,由已知可得*从而有*所以 f(x)+f(-x)=0,f(x)是-1,1上的奇函数)解析:(5). (分数:8.57)_正确答案:(* *)解析:(6).设 XN(, 2),其中 和 2均为未知参数从总体
9、x中抽取简单随机样本 X1,X 2,X 10,样本均值为 () 求 Y1=2X1-2X2与 Y2=3X2-3X3的相关系数 p; () 判断 是否为一个统计量; () 设 为已知,确定常数 k,使得 (分数:8.57)_正确答案:(由于 E(Y1)=E(2X1-2X2)=2E(X1)-2E(X2)=2-2=0, E(Y2)=E(3X2-3X3)=3E(X2)-3E(X3)=3-3=0, D(Y1)=D(2X1-2X2)=4D(X1)+4D(X2)=4 2+4 2=8 2, D(Y2)=D(3X2-3X3)=9D(X2)+9D(X3)=9 2+90 2=180 2, E(Y1Y2)=E(2X1-
10、2X2)(3X2-3X3)=E(6X1X2-6X1X3-6X22+6X2X3) =6E(X1)E(X2)-6E(X1)E(X3)-6(D(X2)+E(X2)2)+6E(X2)E(X3) =6 2-6 2-6 2-6 2+6 2=-6 2, Cov(Y1,Y 2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=-6 2-0=-6 2, 因此 * ()因为 * 不含未知参数,因此 Y是一个统计量 ()由于 XN(, 2),因此 X-N(0, 2),X i-N(0, 2), 为使 E*=,即 * 应有 *)解析:解析 根据 X1,X 2,X 10相互独立且服从同一正态分布 N(, 2)可算得 Y1,Y 2的数学期望、方差以及 E(Y1Y2),从而得到 Cov(Y1,Y 2)和 p化简 Y的表达式,不含未知参数,可知 Y是一个统计量由E(*)= 解出 k(7). (分数:8.57)_正确答案:(*)解析: