1、考研数学一-149 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（分数：4.00）A.秩 r(A)=m，秩 rB.=m(B) 秩 r(AC.秩 r(A)=n，秩 rD.秩 r(A)=n，秩 r2.设函数 内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则 E(UV)=（分数：4.00）_4.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知函数 f(x，
2、y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.若级数 收敛，则级数（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(z)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，
3、从 x 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：4.00）_13.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续， （分数：10.00）_16.设 eabe 2，证明： （分数：10.00）_17.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D()求 D 的面积 A；()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：10.00）_18
4、.设数 Xn)满足 0x 1，x n+1=sinxn(n=1，2，)()证明 存在，并求该极限；()计算 （分数：10.00）_19.设 P 为椭球面 S： 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分（分数：10.00）_20.设 （分数：11.00）_21.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值()求参数 的矩估计量 ；()判断
5、 （分数：11.00）_考研数学一-149 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则（分数：4.00）A.秩 r(A)=m，秩 r B.=m(B) 秩 r(AC.秩 r(A)=n，秩 rD.秩 r(A)=n，秩 r解析：分析 由 AB=E 有 r(AB)=r(E)=m，又 r(AB)r(A)m，r(AB)r(B)m所以应选(A)2.设函数 内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由*知，b0，由 f(x)在(-，+)上连续知，a+e k
6、x0，而 ekx0，则 a0故应选(D)3.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则 E(UV)=（分数：4.00）_解析：*故 E(UV)=E(XY)，又因 X，Y 相互独立，所以 E(UV)=EXEY方法 2 U=maxX，Y4.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由伴随矩阵 A*秩的公式*可见*若 a=b 易见 r(A)1 故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b)2当 ab，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式*而又有|A|=0 故秩 r(A)=2故应选 C5.已知函数 f(x
7、，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由 f(x，y)在(0，0)点连续及*知 f(0，0)=0，且*则*令 y=x 得，*令 Y=-x 得*则当|x|充分小时，f(x，x)0，f(x，-x)0，而 f(0，0)=0，由极值定义知，(0，0)点不是 f(x，y)的极值点，故应选(A)6.若级数 收敛，则级数（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(z)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 根据概率密度函数的性质：*即*f1(x)为标准正态分布的概
8、率密度，其对称中心在 x=0 处，故*f2(x)为 U-1，3分布的概率密度，即*8.设 f(x，y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 累次积分*对应的重积分的积分域如右图*则*故应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*10.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 方程*是一个一阶线性方程*则*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的
9、交线，从 x 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分（分数：4.00）_解析：分析一 记平面 z=x+y 包含在柱面 x2+y2=1 内的部分上侧为 S，其法线向量为n=-1，-1,113.二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 二次型矩阵*因为秩 r(A)=1 有|E-A|= 3-9 2知矩阵 A 的特征值为 9，0，014.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2( 2+ 2)）解析：分析 cov(X，XY 2)=E(X2Y2)-EXE(XY2)由
10、于 X 与 Y 相互独立，所以E(X2 Y2)=EX2EY2=DX+(EX)2DY+(EY)2=( 2+ 2)2E(XY2)=EXEY2=( 2+ 2)总之 cov(X，XY 2)=( 2+ 2)- 2( 2+ 2)= 2( 2+ 2)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续， （分数：10.00）_正确答案：(由*可知*)解析：16.设 eabe 2，证明： （分数：10.00）_正确答案：(证法一 要证*，只要证*为此*当 exe x时，“(x)0，(x)单调减，而*则当 exe 2时，(x)0 (x)单调增，从而 (b)(a)，即*故*证法二 对函数 ln2x 在
11、区间a，b上用拉格朗日中值定理，得*令*则*，当 xe 时，(x)0，(x)单调减，从而()(e 2)即*故*)解析：17.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D()求 D 的面积 A；()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：10.00）_正确答案：()设切点横坐标为 x0，则曲线 Y=lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程为*由该切线过原点知，lnx 0=1，则 X0=e，所以，该切线方程为*所求图形 D 的面积为*()切线*与 x 轴及直线 x=e 所围成三角形绕直线 x=e 旋转所得圆锥体体积为*曲线 y
12、=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围图形绕 x=e 旋转所得旋转体体积为*从而，所求旋转体体积为*)解析：18.设数 Xn)满足 0x 1，x n+1=sinxn(n=1，2，)()证明 存在，并求该极限；()计算 （分数：10.00）_解析：19.设 P 为椭球面 S： 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(椭球面*上点 P(x，y，z)处的法向量是n=2x，2y-z，2z-y)点 P 处的切平面与 xoy 面垂直的充要条件是nk=0 (k=(0，0，1)即 2z-y=0所以，点 P 的轨迹 C 的
13、方程为*即*所以*)解析：20.设 （分数：11.00）_正确答案：()因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故 r(A)=r(A)3*()当 =-1，a=-2 时*所以方程组 Ax=b 的通解为*)解析：21.设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且（分数：11.00）_正确答案：()因秩 r(A)=2，知|A|=0，所以 =0 是 A 的特征值又由分块矩阵乘法，有*按特征值定义，知 =-1 是 A 的特征值，*是 A 属于 =-1 的特征向量=1 是 A 的特征值，且属于 =1 的特征向量为*设*是 A 的属于 =0 的特征向量，由于 A 是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正
14、交，故*于是矩阵 A 属于 =0 的特征向量为*)解析：22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(方法一 常数 A 可以通过性质*来求*)解析：评注 这方法中用了公式*此公式也可以从服从正态 N(0，*的密度函数*的积分等于 1 来推出*方法二 二维正态概率密度一般形式为*对比本题所给二维密度*，可知 1= 1=0，且*23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值()求参数 的矩估计量 ；()判断 （分数：11.00）_正确答案：()求唯一参数 的矩估计量 ，只要令样本均值*等于总体的期望 E(X)就可以求得*()判断*是否为 2的无偏估计量，只要判断*是否成立?*)解析：评注 ()的计算可简化为*不过这样的验证在考试中是不太容易做到的
