1、考研数学一-149 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E,则(分数:4.00)A.秩 r(A)=m,秩 rB.=m(B) 秩 r(AC.秩 r(A)=n,秩 rD.秩 r(A)=n,秩 r2.设函数 内连续,且 (分数:4.00)A.B.C.D.3.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 EX 与 EY 存在,记 U=maxX,Y,V=minX,Y,则 E(UV)=(分数:4.00)_4.设二阶矩阵 (分数:4.00)A.B.C.D.5.已知函数 f(x,
2、y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 (分数:4.00)A.B.C.D.6.若级数 收敛,则级数(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度,f 2(z)为-1,3上均匀分布的概率密度,若(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 f(x,y)为连续函数,则 等于(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.曲线 (分数:4.00)填空项 1:_10.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 (分数:4.00)填空项 1:_11.函数 (分数:4.00)填空项 1:_12.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线,
3、从 x 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分(分数:4.00)_13.二次型 (分数:4.00)填空项 1:_14.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(,; 2, 2;0),则 cov(X,XY 2)=_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)连续, (分数:10.00)_16.设 eabe 2,证明: (分数:10.00)_17.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线,该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D()求 D 的面积 A;()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V(分数:10.00)_18
4、.设数 Xn)满足 0x 1,x n+1=sinxn(n=1,2,)()证明 存在,并求该极限;()计算 (分数:10.00)_19.设 P 为椭球面 S: 上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C,并计算曲面积分(分数:10.00)_20.设 (分数:11.00)_21.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且(分数:11.00)_22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(分数:11.00)_23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知,X 1,X 2,X n是来自总体 X 的简单随机样本, 是样本均值()求参数 的矩估计量 ;()判断
5、 (分数:11.00)_考研数学一-149 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E,则(分数:4.00)A.秩 r(A)=m,秩 r B.=m(B) 秩 r(AC.秩 r(A)=n,秩 rD.秩 r(A)=n,秩 r解析:分析 由 AB=E 有 r(AB)=r(E)=m,又 r(AB)r(A)m,r(AB)r(B)m所以应选(A)2.设函数 内连续,且 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:分析 由*知,b0,由 f(x)在(-,+)上连续知,a+e k
6、x0,而 ekx0,则 a0故应选(D)3.设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 EX 与 EY 存在,记 U=maxX,Y,V=minX,Y,则 E(UV)=(分数:4.00)_解析:*故 E(UV)=E(XY),又因 X,Y 相互独立,所以 E(UV)=EXEY方法 2 U=maxX,Y4.设二阶矩阵 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 由伴随矩阵 A*秩的公式*可见*若 a=b 易见 r(A)1 故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b)2当 ab,a+2b=0 时,一方面 A 中有 2 阶子式*而又有|A|=0 故秩 r(A)=2故应选 C5.已知函数 f(x
7、,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 由 f(x,y)在(0,0)点连续及*知 f(0,0)=0,且*则*令 y=x 得,*令 Y=-x 得*则当|x|充分小时,f(x,x)0,f(x,-x)0,而 f(0,0)=0,由极值定义知,(0,0)点不是 f(x,y)的极值点,故应选(A)6.若级数 收敛,则级数(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度,f 2(z)为-1,3上均匀分布的概率密度,若(分数:4.00)A. B.C.D.解析:分析 根据概率密度函数的性质:*即*f1(x)为标准正态分布的概
8、率密度,其对称中心在 x=0 处,故*f2(x)为 U-1,3分布的概率密度,即*8.设 f(x,y)为连续函数,则 等于(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 累次积分*对应的重积分的积分域如右图*则*故应选(C)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.曲线 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*10.微分方程 xy+2y=xlnx 满足 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 方程*是一个一阶线性方程*则*11.函数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*12.设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的
9、交线,从 x 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分(分数:4.00)_解析:分析一 记平面 z=x+y 包含在柱面 x2+y2=1 内的部分上侧为 S,其法线向量为n=-1,-1,113.二次型 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 二次型矩阵*因为秩 r(A)=1 有|E-A|= 3-9 2知矩阵 A 的特征值为 9,0,014.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(,; 2, 2;0),则 cov(X,XY 2)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: 2( 2+ 2))解析:分析 cov(X,XY 2)=E(X2Y2)-EXE(XY2)由
10、于 X 与 Y 相互独立,所以E(X2 Y2)=EX2EY2=DX+(EX)2DY+(EY)2=( 2+ 2)2E(XY2)=EXEY2=( 2+ 2)总之 cov(X,XY 2)=( 2+ 2)- 2( 2+ 2)= 2( 2+ 2)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 f(x)连续, (分数:10.00)_正确答案:(由*可知*)解析:16.设 eabe 2,证明: (分数:10.00)_正确答案:(证法一 要证*,只要证*为此*当 exe x时,“(x)0,(x)单调减,而*则当 exe 2时,(x)0 (x)单调增,从而 (b)(a),即*故*证法二 对函数 ln2x 在
11、区间a,b上用拉格朗日中值定理,得*令*则*,当 xe 时,(x)0,(x)单调减,从而()(e 2)即*故*)解析:17.过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线,该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D()求 D 的面积 A;()求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V(分数:10.00)_正确答案:()设切点横坐标为 x0,则曲线 Y=lnx 在点(x 0,lnx 0)处的切线方程为*由该切线过原点知,lnx 0=1,则 X0=e,所以,该切线方程为*所求图形 D 的面积为*()切线*与 x 轴及直线 x=e 所围成三角形绕直线 x=e 旋转所得圆锥体体积为*曲线 y
12、=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围图形绕 x=e 旋转所得旋转体体积为*从而,所求旋转体体积为*)解析:18.设数 Xn)满足 0x 1,x n+1=sinxn(n=1,2,)()证明 存在,并求该极限;()计算 (分数:10.00)_解析:19.设 P 为椭球面 S: 上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C,并计算曲面积分(分数:10.00)_正确答案:(椭球面*上点 P(x,y,z)处的法向量是n=2x,2y-z,2z-y)点 P 处的切平面与 xoy 面垂直的充要条件是nk=0 (k=(0,0,1)即 2z-y=0所以,点 P 的轨迹 C 的
13、方程为*即*所以*)解析:20.设 (分数:11.00)_正确答案:()因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解,故 r(A)=r(A)3*()当 =-1,a=-2 时*所以方程组 Ax=b 的通解为*)解析:21.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且(分数:11.00)_正确答案:()因秩 r(A)=2,知|A|=0,所以 =0 是 A 的特征值又由分块矩阵乘法,有*按特征值定义,知 =-1 是 A 的特征值,*是 A 属于 =-1 的特征向量=1 是 A 的特征值,且属于 =1 的特征向量为*设*是 A 的属于 =0 的特征向量,由于 A 是实对称矩阵,特征值不同特征向量相互正
14、交,故*于是矩阵 A 属于 =0 的特征向量为*)解析:22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(分数:11.00)_正确答案:(方法一 常数 A 可以通过性质*来求*)解析:评注 这方法中用了公式*此公式也可以从服从正态 N(0,*的密度函数*的积分等于 1 来推出*方法二 二维正态概率密度一般形式为*对比本题所给二维密度*,可知 1= 1=0,且*23.设总体 X 的概率密度为其中参数 (01)未知,X 1,X 2,X n是来自总体 X 的简单随机样本, 是样本均值()求参数 的矩估计量 ;()判断 (分数:11.00)_正确答案:()求唯一参数 的矩估计量 ,只要令样本均值*等于总体的期望 E(X)就可以求得*()判断*是否为 2的无偏估计量,只要判断*是否成立?*)解析:评注 ()的计算可简化为*不过这样的验证在考试中是不太容易做到的