1、考研数学一-148 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=(1+x2)x2-1， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中不正确的是(A) 在区域 D=|(x,y)|(x，y)(1，0) 内与路径无关.(B) 在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)内不是与路径无关.(C) 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域
2、 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 +Qdy 在区域 D 内与路径无关(D) （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(A) A+E (B) A-E (C) A+2E (D) 2A+E（分数：4.00）A.B.C.D.6.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是(A) 秩 r()=r()且 s=t(B) r()=r()=n(C) 向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价(D) 向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C.D.7.
3、设事件 A，B，C 满足 ABC ，若将事件 ABC 表示成互不相容事件之和，则下列表示方法错误的是（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)的傅氏级数的和函数为其中 （分数：4.00）填空项 1:_12.设为柱面 x2+y2=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间的部分，有均匀面密度 (常数)，则的质量 M=_（分数：4.00
4、）填空项 1:_13.已知三元二次型（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的数学期望和方差都存在，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， 和 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求二重积分 （分数：-1.00）_16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个特解() 求这个方程和它的通解；() 设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：-1.00）_17.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：-1.00）_18
5、.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 在全平面与路径无关，且（分数：-1.00）_19.设正项级数 是它的部分和() 求证： 收敛；() 判断级数 （分数：-1.00）_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：-1.00）_21.若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)（分数：-1.00）_22
6、.设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：() 这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3；() 这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn；（分数：-1.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为（分数：-1.00）_考研数学一-148 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=(1+x2)x2-1， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价
7、无穷小因子替换：x0 时(1+x2)x2-1ln(1+x 2)x2-1+1=x2ln(1+x2)x 4，2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 求 f(x)，分析其单调性区间由于因此 x=-1 是 f(x)的最小值点，且 又3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 取坐标系如图所示，椭圆方程为 对小区间x，x+dx对应的小横条薄板，液体对它的压力于是液体对薄板的侧压力为4.下列命题中不正确的是(A) 在区域 D=|(x,y)|(x，y)(1，0)
8、内与路径无关.(B) 在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)内不是与路径无关.(C) 设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则 +Qdy 在区域 D 内与路径无关(D) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知(C)不正确在(C)中的条件下，若又有区域 D是单连通的，则 在区域 D 与路径无关；若 D 不是单连通的，则积分 不一定与路径无关分析二 关于(A)：易求原函数因此 在 D 内与路径无关当 P(x，y)，Q(x，y)在 D 连续时， 在 D 内与路径无关 原函数因而(B)，(D)或均正确或均不正确由于这
9、四个结论中只有一个不正确，因而(B)，(D)均正确故应选(C)5.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，-1，-2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是(A) A+E (B) A-E (C) A+2E (D) 2A+E（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于|A|= i，故 A 可逆6.n 维向量组()： 1， 2， s和向量组()： 1， 2， t等价的充分必要条件是(A) 秩 r()=r()且 s=t(B) r()=r()=n(C) 向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价(D) 向量组()线性无关，向量组()线性无关且 s=t（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
10、 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如：向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同，故(A)不正确r()=r()=n 是向量组()与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为 n故(B)不正确向量组()与向量组()的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组()与向量组
11、()等价，反之亦对故(C)正确应选(C)注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确7.设事件 A，B，C 满足 ABC ，若将事件 ABC 表示成互不相容事件之和，则下列表示方法错误的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 该题需要验证各事件之和为 ABC，且各事件互不相容，可以用事件运算来判定，但用文氏图会更方便快捷从图中可以看出，(A)，(B)，(C)都是正确的但在选项(D)中，AB 与 C 相容，故该选项是错误的所以选(D)8.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设|X
12、|的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=F1(x)=0；当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=P-xXx=F(x)-F(-x)，故 f1(x)=F1(x)=F(x)-F(-x)=f(x)+f(-x)，所以 因此，应选(D)分析二 用排除法因为|X|0，故当 x0 时，必有 F1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=0，所以选项(A)，(C)应排除对于选项(B)，由于二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 10.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
13、确答案： ）解析：解析 易写出题设 的参数方程x=costy=sint，x=2-cost+sint点 P 在 上，对应 在 P 点的切向量在 P 点切线方程是分析二 曲线 作为两曲面的交线，在 P 点的切向量=grad(x 2+y2-1)grad(x-y+x-2)|P其余同前分析三 若用交面式表示切线，由 x2+y2=1 在 P 点的法向量求得该柱面在 P 点的切平面方程为 即 在 P 点的切线方程是11.设函数 f(x)的傅氏级数的和函数为其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 f(x)应为偶函数，周期 T=4(=2)，且方法 1 将题设中的 n表达式改写，即于是
14、方法 2 改写上述(*)中 n的计算公式，有于是12.设为柱面 x2+y2=1 介于 z=0 与 z=2-x 之间的部分，有均匀面密度 (常数)，则的质量 M=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：解析 的质量投影到 zx 平面，它在 zx 平面的投影区域是Dzx：-1x1，0x2-x柱面方程为再由对称性，可得13.已知三元二次型（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 二次型矩阵因为|A|=(+2)(-1) 2，由秩 r(A)=2，易见 =-2由可知矩阵 A 的特征值为 3，-3，0从而正交变换下二次型标准形为 ，故其规范形为14.设总体 X 的数学期
15、望和方差都存在，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， 和 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 =EX， 2=DX对任意 i，j(ij)，因 Xi和 Xj独立同分布，故 cov(Xi，X j)=0 且，于是现在计算 的方差：因此，对于任意 i，j(ij)，得观测值 的相关系数三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.求二重积分 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 圆域 D：(x-) 2+y2 2关于 x 轴对称，于是方法 1 作平移变换：u=x-，=y，则 D 变成D： 2+ 2 2，D关于
16、 轴对称，它的面积为 2，于是这里由变量的轮换对称性知再作极坐标变换，有方法 2 记用先 y 后 x 的积分顺序，对第一个积分，令 t=x-；对第二个积分，令 x-=sint方法 3 直接作极坐标变换，则圆周 x2+y2=2x 的极坐标方程是 r=2cos，于是 ，且)解析：16.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y+Py+qy=f(x)的三个特解() 求这个方程和它的通解；() 设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()由线性方程解的叠加原理均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=
17、0，即 2+4+4=0，原方程为 y+4y+4y=f(x)(*)又 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得Y(x)=e-x(1-x)，y*(x)=e -x(x-2)代入方程(*)得e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)f(x)=(x+2)e-x所求方程为 y+4y+4y=(x+2)e-x其通解为y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2为 常数() C1，C 2，方程的任意解 y(x)均有不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得)解析：17.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 由复合函数求导法
18、，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数的关系，把题设方程(*)转化为 u(r)的常微分方程，然后求出 u(r)将它们相加得于是题设方程(*)变成令 P=u(r)，降阶得 这是伯努利方程，改写成两边乘 积分得再积分得 )解析：18.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 在全平面与路径无关，且（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 () 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(x)()求 f(x，y)转化为求 C(x)方法 1因此 f(x，y)=siny+2x-sinx 2-2x2cosx2方法 2 取特殊路径如图所示，由于)解析：19.设正项级数 是
19、它的部分和() 求证： 收敛；() 判断级数 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与证明 ()级数 的部分和 Tn易求出()考察级数 由 Sn与 an的关系：Sn= 1+ 2+ n-1+ n， n=Sn-Sn-1，将一般项 改写成只与 Sn有关，即因正项级数的部分和数列 Sn单调上升，上式可放大成由题() 收敛，再由比较原理知， )解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx= 1- 2的通解（分数：-1
20、.00）_正确答案：(解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3，且 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知秩r(B)=2由 知(0，-1，1，0) T是方程组 Bx= 1- 2的一个解又由可知(4，-2，1，0) T，(2，-4，0，1) T是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx= 1- 2的通解是：(0，-1，1，0) T+K1(4，-2，1，0) T+K2(2，-4，0，1) T)解析：21.若任一 n 维非零列向量都是
21、 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即 A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)（分数：-1.00）_正确答案：(证明 因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似现取 n 个单位向量 i=(0，0，1，0，0) T，(i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n，那么令 P=( 1， 2， n)=E，有如果 1 2，则 A( 1+ 2)= 1 1+ 2 2因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有 A( 1+ 2)=( 1+ 2)，于是( 1-) 1+( 2-) 2=0由于 1-， 2
22、- 不全为 0，与 1， 2线性无关相矛盾，所以必有 1= 2同理可知 1= 2= n=k，故 A=kE)解析：22.设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：() 这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3；() 这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn；（分数：-1.00）_正确答案：(不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 0.1，且各次试验相互独立三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到 0 次或
23、2 次的概率，因此所求概率为()根据()的分析，当交换了 n 次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 0.1 的偶次幂项的和，故所求概率为)解析：解析 本题可以用全概率公式求解，但比较麻烦，而用伯努利概型比较方便23.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()由于 f(x，y)=f X(x)fY(y)，(x，y)R 2，故 X，Y 相互独立()所以由于 X，Y 相互独立，所以 U=X2和 V=Y2也相互独立，从而(U，V)的密度函数为由此表明，(U，V)服从区域 Du =(u，)|0u1，01上的均匀分布()由()可知(记 D=(u，)|u 2+ 21，u0，0)解析：
