1、考研数学一-147 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 u(x，y)在点 M0(x0，y 0)处取极小值，并且 均存在，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.下列三个命题 设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)； 设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1； 设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 1， 2， 3
2、， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是(A) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1(B) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 1(C) 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1(D) 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则(A) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P(B) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P(C) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1(D) B 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C.D.7.盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个
3、，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中欺入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，则根据切比雪夫不等式，（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则（分数：4.00）10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L
4、 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.已知极限（分数：-1.00）_16.抛物线 y=x2上任意点(， 2)(0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直()求 L1与 L2交点的横坐标 x1；()求 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；(
5、)问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：-1.00）_17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：-1.00）_18.求 （分数：-1.00）_19.设曲面积分其中 S+为上半椭球面： 的上侧() 求证： ，其中 是上半椭球体：（分数：-1.00）_20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：-1.00）_21.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 a=(1，2，-1) T且满足 Aa=2a() 求该二次型表达式；() 求正交变换 X=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；() 若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：-1.00）_22.
6、有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布（分数：-1.00）_23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y() 求 Z 的概率密度；() 求 EZ，DZ（分数：-1.00）_考研数学一-147 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 P(x)在(-，+)连续，且以 T 为周期，则 是方程（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方程(*)
7、的解 y(x) 0 以 T 为周期 且 C0又故选(C)2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时，当 1x2 时，易验证 F(x)在0，2上连续当 x1 时显然 F(x)可导，且F+(1)F -(1)，F(x)在点 x=1 处不可导故应选(C)分析二 不必求出 F(x)这里 f(x)在0，2上有界，除 x=1 外连续，x=1 是 f(x)的跳跃间断点由可积性的充分条件 f(x)在0，2上可积，再由基本定理 F(x)在0，2上连续故(A)，(B)不对进一步考察 F(x)的可导性当 x1 时 F(x)=f(x)，又 x=1 是 f(x
8、)的跳跃间断点，则 F(x)在点 x=1 处不可导故应选(C)3.设 u(x，y)在点 M0(x0，y 0)处取极小值，并且 均存在，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数取极值的必要条件可得相应结论4.下列三个命题 设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)； 设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1； 设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 此类选择题必须逐一判断关于命题：对幂级数 ，逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能
9、起变化如 的收敛域为(-1，1)，但 的收敛域是-1，1)关于命题：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于 绝对收敛 绝对收敛，与已知矛盾若 R1，由发散，也与已知矛盾因此，R=1关于命题：当 R1R 2时，R=min(R 1，R 2)，于是要考察 R1=R2的情形设有级数 ，易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1但 的收敛半径为 R=2因此命题不正确综上所述，应选(B)5.已知 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0 基础解系的是(A) 1+ 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1(B) 1+ 2，
10、2- 3， 3- 4， 4+ 1(C) 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1(D) 1， 2， 3， 4的等价向量组（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关例如向量组 1， 2， 3， 4+ 1+ 2与向量组 1， 2， 3， 4等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系故(D)不正确(B)、(C)均线性相关，因此不能是基础解系故(B)与(C)也不正确注意到：( 1+ 2)-( 2- 3)-( 3- 4)-( 4+ 1)=0，( 1+ 2)-( 2+ 3)+( 3- 4)+( 4- 1)=0，唯有(A)， 1+ 2， 2- 3，
11、 3- 4， 4- 1是 Ax=0 的解，又由且6.已知 P-1AP=B，若 A=，0，则(A) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P(B) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P(C) B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1(D) B 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除(B)、(D)7.盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中欺入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 用全概率公式设盒
12、中有 i 个铜币的事件为 Ai(i=1，2，11)，B 为取到铜币的事件，则故应选(D)分析二 将该题看成有 11 个盒子，各盒中均有 11 个分币，其中依次有 1，2，11 个铜币现任取一盒，再从该盒中任取一个分币，则共有 121 个分币，每个分币被等可能地取到，而其中铜币的个数为1+2+11=66，用古典概型，有8.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，则根据切比雪夫不等式，（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设知 EXi=0.1i，DX i=0.09i，i=1，2，15，则于是由切比雪夫不等式，有二、填空题(总题数：6，分
13、数：24.00)9.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则（分数：4.00）解析：解析 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数在 x=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得2yy+y+xy+2x-1=0，解出分析二 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的隐函数二次连续可导，且2yy+xy+y+2x-1=0， (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1 可得 y(1)=0将(*)式再对 x 求导一次，得2yy+2y2+y+xy+y+2
14、=0， (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1，y(1)=0 可得-y(1)+2=0 y(1)=2利用洛必达法则和 y(1)=-1，y(1)=0，y(1)=2 可得分析三 如同分析二求出 y(1)=0，y(2)=2 后，用泰勒公式得10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 简单的放大、缩小法不能解决问题，再看 xn是否是某函数在某区间上的一个积分和这是 在0，1上的一个积分和(将区间0，1n 等分)因此11.微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：其中 c0 为 常数 ）解析：解析 这是齐次方程原方
15、程变形为12.设 L 为曲线|x|+|y|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 L 是正方形的边界线，见右图，因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L1为 L 的第一象限部分，则分析二 利用变量的轮换对称性13.已知 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 AA*=A*A=|A|E，又所以 于是14.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确
16、答案： ）解析：解析 如图弦 AB 与 x 轴垂直，设其交点为 x，依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“弦 AB 的长度|AB|大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C=x：|AB|=，样本空间 =x：|x|1，C 与 的长度分别为 ，则根据几何概率定义可得三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.已知极限（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解一 用洛必达法则由分析与求解二 用泰勒公式)解析：16.抛物线 y=x2上任意点(， 2)(0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直()求 L1与 L2交点的横坐标 x
17、1；()求 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；()问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()抛物线)y=x 2在点(， 2)处的切线为L1:y= 2+2(x-)，即 y=2x- 2另一点(b，b 2)处的切线为L2:y=b2+2b(x-b)，即 y=2bx-b2由 L1与 L2垂直它们的交点(x 1，y 1)满足于是()L 1，L 2与 y=x2所围图形的面积()求导解最值问题由)解析：17.设 f(x，y)在全平面有三阶连续偏导数，并满足试求：() （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()先求C(y)=b C(y)=
18、by+c.因此求得 其中 a，b，c 为 常数)解析：18.求 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解一 记 引入幂级数，把求数值级数的和 S 转化为求幂级数的和令幂级数与有相同的收敛半径 R=1注意幂级数当 x=1 时收敛，又和函数S(x)在 x=1 连续，由幂级数在收敛区间端点的性质分析与求解二 先对 作分解，即)解析：19.设曲面积分其中 S+为上半椭球面： 的上侧() 求证： ，其中 是上半椭球体：（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()由题设 S+的方程，J 可简化成要将曲面积分 J 化为三重积分，可用高斯公式由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面取法向量 n 向下，
19、S +与 S1+所围的区域记为力，它的边界取外侧，于是在 上用高斯公式得其中 S1+上的曲面积分为零，因为 S1+与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在 S1+上 z=0()求曲面积分 J 转化为求题()中的三重积分怎样计算这个三重积分：因为 是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求由于 z0，c，与 z 轴垂直的平面截 得区域 D(z)为又这个椭圆的两个半轴分别为 面积是 ，于是可以用同样方法计算但是，由坐标的轮换对称性，有 J1=J2=J3)解析：20.已知 4 元齐次线性方程组 （分数：-1.00）_正确答案：(解 (
20、)因为方程组(i)的解全是(ii)的解，所以(i)与(iii) 同解那么(i)和(iii)的系数矩阵 有相同的秩如 =0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 0由于因为 和 -1 不能同时为 0，故秩 r(A)=3又当 时，r(B)=3，此时(i)与(iii)同解()由于 ，基础解系为 )解析：21.已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 0，设 a=(1，2，-1) T且满足 Aa=2a() 求该二次型表达式；() 求正交变换 X=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；() 若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()据已知条件，有()由得
21、矩阵 A 的特征值为 2，2，-4得 =2 的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T；得 =-4 的特征向量 3=(-1，1，1) T将 1， 2正交化令 1= 1，则再对 1， 2， 3单位化，有)解析：22.有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布（分数：-1.00）_正确答案：()解析：解析 X，Y 的取值均为 1，2，3，4，可利用古典概型求联合分布，也可以先分别求出 X 的分布与Y 的分布，即边缘分布，再求联合分布我们采取直接求联合分布解 3 封信投入 4
22、 个信箱，共有 43=64 种投法根据 X，Y 的含义，显然有PX=1，Y=1=PX=2，Y=2=PX=3，Y=3=PX=4，Y=4=0，PX=3，Y=1=0，PX=4，Y=1=PX=4，Y=2=0，PX=2，Y=1=P1 号信箱无信，2，3，4 号信箱均有信PX=3，Y=2=P1，2 号空，3，4 号有信PX=4，Y=3=P4 号有信，1，2，3 号均空PX=3，Y=4=P3 号有信，其他均空PX=2，Y=3=P2，4 号有信，1，3 号空PX=1，Y=2=P1，3，4 有信，2 号空PX=1，Y=3=P1，4 号有信，2，3 号空+P1，2，4 号有信，3 号空同理可以计算出把以上各数填入表中(如右表)，表中的箭头表示我们的计算顺序23.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y() 求 Z 的概率密度；() 求 EZ，DZ（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()由题设 X，Y 相互独立，且先求 Z 的分布函数当 z0 时，F z(z)=0；当 0z2 时，当 z2 时，()直接用期望、方差的运算性质由于 且 X，Y 相互独立，故)解析：
