1、考研数学一-146 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二次型 的规范形是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，-1；1，4；0)，则下列结论中不正确的是（分数：4.00）A.X 与 Y 相互独立B.aX+6Y 服从正态分布C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)在(x 0，y 0)附近有定义，且 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)，f“ xx(x0，y 0)，f“ yy(x0，y 0)均存在，则以下命题f(x，y)在(x 0，y 0)处极限
2、存在；f(x，y)在(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，成立的个数有（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.0 个5.设 ， ， （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，则（分数：4.00）A.A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆B.r(A) n 与 r(B) n 均成立的充要条件是 r(AC.Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A 与 B 为等价矩阵D.A 与 B 相似的充要条件是 E-A 与 E-B 相似7.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 为区域：0x1，0
3、y1，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）填空项 1:_11.已知微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a,b 为常数，ab0，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 1=(6，-1，1) T， 2=(-7，4，2) T是线性方程组 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 服从参数为 1 的指数分布，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的一组简单随机样本，则当 n时，随机变量 （分
4、数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求曲面 S：4z=3x 2-2xy+3y2到平面 ：x+y-4z=1 的最短距离（分数：10.00）_16.设 C 是圆周(x-1) 2+(y-1)2=1，取逆时针方向，又 f(x)为正值连续函数试证： （分数：10.00）_17.设函数 ，满足 ，且(1)试求函数 f(x)的表达式；(2)若 f(0)=0，求 （分数：10.00）_18.(1)证明：利用变换 可将方程 化为 （分数：10.00）_19.利用代换 （分数：10.00）_20.设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为 1
5、， 2， 3，令= 1+ 2+ 3(1)证明： 不是 A 的特征向量；(2)证明：，A，A 2 线性无关；(3)若 A3=A，计算行列式|2A+3E|（分数：11.00）_21.求下列矩阵 A、B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵 M，使 M-1AM=B，其中 ， （分数：11.00）_22.设随机落在曲线 y=2x-x2与 x 轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布，以(X，Y)表示落点的坐标(1)求落点到 y 轴的距离的概率密度和分布函数；(2)求落点到坐标原点距离的平方的数学期望（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 ，-x，X 1，X 2，X n为取自 X 的简单随机样本，试求
6、未知参数 的矩估计量 （分数：11.00）_考研数学一-146 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二次型 的规范形是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 判断一个二次型的规范形只需确定此二次型的秩和正、负惯性指数即可一般方法是通过此二次型的矩阵的特征值来确定其秩和正、负惯性指数详解 所给二次型 f 的矩阵为*由于*故 A 的特征值为 1=9， 2= 3=0，可见 A 的秩为 1，正惯性指数为 1，负惯性指数为 0，因此规范形式*故正确选项为(D)评注 本题也可用配方法求规范形：f=(x12x 2+2x3)2，则可用非退化
7、的线性变换*将二次型化为规范形*正惯性指数对应 A 大干零的特征值的个数，负惯性指数对应 A 小于零的特征值的个数，因此只需确定正、负特征值的个数即可确定规范形2.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布 N(0，-1；1，4；0)，则下列结论中不正确的是（分数：4.00）A.X 与 Y 相互独立B.aX+6Y 服从正态分布C.D. 解析：分析 本题考查二维正态分布和正态分布的性质，注意要求找出不正确的选项详解 由题设知 XY=0，根据(X，Y)服从正态分布，有 X 与 Y 相互独立；利用二维正态分布的性质知，aX+bY 仍服从正态分布；而 E(X-Y)=1，E(X+Y)=-1，根据正态分布的
8、性质，在其数学期望左右两侧取值的概率为*，可见(D)项结论不正确，故选(D)评注 设(X，Y)服从二维正态分布 N( 1， 2；*；)，则具有以下常用性质：X 与 Y 相互独立的充要条件是 =0；*3.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 当*绝对收敛时，*详解 *数学期望 E(X)不存在，(D)为答案评注 对于连续型随机变量，若 Xf(x)，且*绝对收敛，则*4.设 f(x，y)在(x 0，y 0)附近有定义，且 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)，f“ xx(x0，y 0)，f“ yy(x0，y 0)均存在，则以下命题f(x，y)在(x 0，y 0)处极限存在；f(
9、x，y)在(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在(x 0，y 0)处可微，成立的个数有（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.0 个 解析：分析 偏导存在不一定可微，也不一定连续，同样二阶偏导存在也推不出函数 f(x，y)具有相应的性质本题用反例说明即可详解 例如，*在点(0，0)处有：*，但 f(x，y)在点(0，0)处极限不存在、不连续，更不可微，因此命题、均不成立，故应选(D)评注 应熟练掌握多元函数的极限、连续、偏导、可微之间的关系与一元函数相应概念之间关系的差异5.设 ， ， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 积分区域 D 和 x+y=1 相切于点(1，0
10、)，所以 D 在 x+y=1 的上方，x+y1，(x+y)2x+ysin(x+y)，I 3I 2I 1，(A)为答案*评注 当 f2(x，y)f 1(x，y)时有*该题由图像立即可知 D 在 x+y=1 的上方6.设 A，B 为 n 阶矩阵，则（分数：4.00）A.A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆B.r(A) n 与 r(B) n 均成立的充要条件是 r(AC.Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件是 A 与 B 为等价矩阵D.A 与 B 相似的充要条件是 E-A 与 E-B 相似 解析：分析 逐一分析条件，对于不正确的情形，可通过反例进行说明详解 选项(A)是充分但非必要；选项
11、(B)与选项(A)相同，也是充分但非必要条件；选项(C)是必要但非充分条件，如*，显然 A 与 B 等价，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解；只有选项(D)是充要条件事实上，若 A与 B 相似，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则有 P-1(E-A)P=E-B，即 E-A 与 E-B 相似；反过来，若 E-A与 E-B 相似，即有 P-1(E-A)P=E-B，则 P-1EP-P-1AP=E-B*P-1AP=B，即 A 与 B 相似故正确选项为(D)评注 本题综合考查了矩阵司逆、矩阵的秩、齐次线性方程组的解以及相似矩阵等多个重要知识点7.级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分
12、析 无论 k 是正是负，存在 N，当 nN 时，级数为交错级数详解 无论 k 为正为负*N，当 nN 时，*所以当 nN 时，*为交错级数由莱布尼茨判别法，级数收敛对于*因为*所以*发散所以级数条件收敛，且收敛性与 k 无关，故(C)为答案8.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 为区域：0x1，0y1，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 注意*为常数，只需确定此常数即可详解 令*则由*有*于是， *即有 *可见， *故*因此应选(C)评注 类似问题也可从含有三重积分的等式来考查，如已知*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正
13、确答案：10）解析：分析 本题为定积分基本计算题，根式内先配方，再作三角代换即可详解 *评注 含有形如*项的不定积分或定积分，一般均应考虑将根式内先配方，再作三角代换另外，根据对称区间上奇函数的积分为零，有*10.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(2)）解析：分析 不能直接由*对 t 求导，所以应交换积分次序详解 *评注 必须根据积分区域图像才能交换积分次序11.已知微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 微分方程 P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 为全微分方程的充要条件是：*由此可确定 a 应满足的条件详解 因为
14、*于是*，由*，可得 a=2评注 本题条件可换为：*为某函数的全微分；*j 为某函数的梯度；*，其中 l 为任-x+y0 区域内的封闭盐线其含意是相同的，结果均为 a=212.设曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，a,b 为常数，ab0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b）解析：分析 已知曲线 y=f(x)在原点处与 y=sinx 相切，相当于已知 f(x)在点 x=0 处的函数值 f(0)与导数值 f(0)，再根据导数的定义即可得要求的极限详解 由题设知，f(0)=sin0=0，f(0)=(sinx)| x=0=cos0=1，于是*评注 本题条件 f(0)
15、=0 很重要，否则待求函数极限的分子部分极限非零，整个极限不存在，或要求将分子改为“f(ax)f(bx)”，才能求极限13.设 1=(6，-1，1) T， 2=(-7，4，2) T是线性方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=k(13，-5，-1) T+(6，-1，1) T）解析：分析 S=n-r(A)=3-r(A)，S 为基础解系解向量个数由*知 r(A)2详解 *S=n-r(A)=3-r(A)3-2=1，显然 S1(A0)，S=1= 1- 2=(13，-5，-1) T为基础解系：通解为：x=k+ 1=k(13，-5，-1) T+(6，-1，1) T评注 由*知 r(A)2
16、 是解该题的关键14.设总体 X 服从参数为 1 的指数分布，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的一组简单随机样本，则当 n时，随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 2）解析：分析 若总体 X 的 k 阶原点矩 E(Xk)= k(k=1，2，)存在，则根据辛钦大数定律，当 n时，有*若 g 是连续函数，则进一步有*利用上述结果，即可方便地得出本题的结论详解 由题设，知 EX=1，DX=1，于是 EX2=DX+EX2=2根据大数定律，有*从而有*，故应填 e2评注 大数定律在数学一试卷中还从未命题考查过，但大数定律的条件和结论还是值得注意的三、解答题(总题数：9，分数：
17、94.00)15.求曲面 S：4z=3x 2-2xy+3y2到平面 ：x+y-4z=1 的最短距离（分数：10.00）_正确答案：(详解 因为曲面上任一点(x，y，z)到平面的距离*，应用拉格朗日乘数法，设*解方程组*得*因为驻点唯一，所以曲面 S 到平面 的最短距离为*)解析：分析 设 P(x，y，z)为曲面 S 上任一点，则 P 点到平面 的距离为*，此为目标函数，为了方便求导，可设*为目标函数，这样所讨论的问题等价于求 f(x，y，z)在条件 3x2-2xy+3y2-4z=0 下的最小值问题评注 本题也可用空间解析几何的方法求解先求出 S 与平面 平行的切平面，再求出切平面与 之间的距离
18、，以确定 S 到 的最短距离；目标函数用*代替，主要是为了计算上的方便，其与原目标函数的最值点是相同的，因此，最后计算最短距离时，只需将驻点坐标代入 d 中即可16.设 C 是圆周(x-1) 2+(y-1)2=1，取逆时针方向，又 f(x)为正值连续函数试证： （分数：10.00）_正确答案：(详解 *由轮换对称性 *所以 *所以 *)解析：分析 封闭曲线上的积分，首先想到利用格林公式，而证明本题的一个关键技巧是利用积分区域的轮换对称性，导出*评注 二重积分的轮换对称性：若 x，y 互换，积分区域 D 保持不变，则有*本题积分区域为 D：(x-1) 2+(y-1)21，当 x 与 y 互换后所
19、得区域：(y-1) 2+(x-1)21 保持不变，因此具有轮换对称性，即*17.设函数 ，满足 ，且(1)试求函数 f(x)的表达式；(2)若 f(0)=0，求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)设*，则*同理，*而 *于是 *解此微分方程，得*即 *又 *知 * 故*(2)利用洛必达法则有*)解析：分析 先求出二阶偏导数与二重积分，代入已知等式后可得一关于 f(r)的二阶微分方程注意此微分方程是可降阶的(或当作一阶线性微分方程)，由此可解得 f(r)的表达式，并且根据极限条件确定相应的常数至于极限问题，首先利用洛必达法则，再代入 f(r)的表达式即可求出极限评注 本题综合考查了极
20、限、偏导、二重积分和微分方程等多个知识点，但每一步的求解均是基本要求18.(1)证明：利用变换 可将方程 化为 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)*，则 x=t2，dx=2tdt，于是*代入原方程中，得*整理得*(2)特征方程为 2-6=0，解得 1=3， 2=-2，齐次方程的通解为*再求原方程的特解，设 y*=Ate3t，则 y *=Ae3t+3Ate3t， y *“=6Ae3t+9Ate3t代入原方程可求得*所求特解为*故原方程的通解为*)解析：分析 本题是作自变量变换，关键注意求导公式：*，至于第二步求通解则是基础问题评注 除了作自变量变换 t=h(x)外，本题还可从要求作函
21、数变换 u=(y)，以及同时作函数变换 u=(y)与自变量交换 t=h(x)等角度进行考查19.利用代换 （分数：10.00）_解析：20.设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3(1)证明： 不是 A 的特征向量；(2)证明：，A，A 2 线性无关；(3)若 A3=A，计算行列式|2A+3E|（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)假设 为 A 的特征向量，则存在 0使 A= 0，即 A( 1+ 2+ 3)= 0( 1+ 2+ 3)*( 1- 0) 1+( 2- 0) 2+( 3- 0) 3=0由 1， 2， 3线
22、性无关知， 1- 0=0， 2- 0=0， 3- 0=0，从而有 1= 2= 3，与已知条件矛盾，因此 不是 A 的特征向量(2)设 k1+k 2+k 3A2=0，则*由 1， 2， 3线性无关，得*(3)由题设，有A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A*令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且*，于是*)解析：分析 (1)证明某向量不是特征向量，一般可用反证法；(2)证明一组向量线性无关，最常用的方法是定义；(3)为了计算行列式|2A+3E|的值，可考虑求出 A 的具体特征值或 A 的相似矩阵，而由A，A，A 2=，A，A 2B，即可找到 A 的相似矩阵 B评注 本题第(3)问是关
23、键，如何找到 A 的相似矩阵?由 P-1AP=B*AP=PB 知，只需找到可逆矩阵 P，使得AP=PB 成立，则 B 即为要求的矩阵而由(2)知，A，A 2 线性无关，自然想到令 p=，A，A 2加即可21.求下列矩阵 A、B 是否相似，若相似，求出可逆矩阵 M，使 M-1AM=B，其中 ， （分数：11.00）_正确答案：(详解 *对于 1=2，A 的特征向量*，B 的特征向量*对于 2=1，A 的特征向量*，B 的特征向量*对于 3=-1，A 的特征向量*，B 的特征向量*令*QP -1APQ-1=(PQ-1)-1A(PAQ-1)=B令*使 M-1AM=B)解析：分析 AB*A，B 有相同
24、的特征值A、B 有相同的 n 个各异的特征值，则 AB(因为此时A、B 相似于同一个对角矩阵，所以 AB)评注 相似有传递性，即 AB，BC，则 AC22.设随机落在曲线 y=2x-x2与 x 轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布，以(X，Y)表示落点的坐标(1)求落点到 y 轴的距离的概率密度和分布函数；(2)求落点到坐标原点距离的平方的数学期望（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)设曲线 y=2x-x2与 x 轴所围闭区域为 D，则 D 的面积为*因为(X，Y)服从二维均匀分布，故其联合概率密度为*由于区域 D 在第一象限内，故落点到 y 轴的距离即为 X，而 X 概率密度正好是边缘
25、概率密度*相应的分布函数为*(2)落点到坐标原点距离的平方为 d2=X2+Y2，其数学期望为*)解析：分析 先用定积分求出封闭区域的面积，由此可确定(X，Y)的联合概率密度函数，而落点到 y 轴的距离，正好是关于 X 的边缘概率密度评注 本题综合考查了一维、二维随机变量的分布及二维随机变量函数的数字特征等多个知识点类似本题的文字描述问题要善于转化为用随机变量来表示23.设总体 X 的概率密度为 ，-x，X 1，X 2，X n为取自 X 的简单随机样本，试求未知参数 的矩估计量 （分数：11.00）_正确答案：(详解 因为*令 *为矩估计量又 *，故 *为无偏估计量为了判断一致性，可用大数定律，或计算*因为 EX2= 2+2*DX=EX2-(EX)2=2，从而*，由切比雪夫不等式知*，即*为 的一致估计量)解析：分析 求矩估计量，首先应求出总体的数学期望 EX，再通过*解出未知参数，即得矩估计量*；而无偏性，相当于验证*；一致性可利用切比雪夫不等式或大数定律证明评注 将参数估计问题(包括矩估计和最大似然估计)与数字特征的计算(无偏性、有效性、一致性)结合起来考查，是一类典型的考题表现形式一致性的证明一般通过切比雪夫不等式来做概率，再求极限，引出依概率收敛的相关结论
