1、考研数学一-145 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下列无穷小中最高阶的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 处处连续，则 f(0)=（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=x0处取得极大值，则(A) f(x 0)=0(B) 存在 0，使 f(x)在(x 0-，x 0)内单调增；而在(x 0，x 0+)内单调减(C) 存在 0，在(x 0-，x 0)内 f(x 0)0；而在(x 0，x 0+)内 f(x)0(D) -f(x)在 x=x0处取极小值（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （
2、分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a(A) 1 (B) -1 (C) 1-n (D) n-1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必(A) 相互独立且同分布 (B) 相互独立但不同分布(C) 不相互独立但同分布 (D
3、) 不相互独立且不同分布（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.通解为 y=C1ex+C2x 的常微分方程是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.方程 3x=2x2+1 的实根个数 n=_（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且 X1，X 2均服从标准正态分布，其分布函数为西 (x)
4、，而（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.试证明不等式 （分数：10.00）_16.设 ，其中 f(u)有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且 （分数：10.00）_17.设为曲面 z=x2+y2(0x1)的下侧，计算曲面积分（分数：10.00）_18.设 ，(n0)()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，且 证明 使 （分数：10.00）_20.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，6) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取
5、何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与
6、Y 相互独立()求在一年内共发生，n(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量 ；()求常数 a0，a 1，a 2，使 （分数：11.00）_考研数学一-145 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下列无穷小中最高阶的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 若两两进行比较，
7、则比较繁，若能估计出每一个无穷小是 x 的几阶无穷小，则问题就得以解决由于当 x0 时(2 阶)(B)3x3-4x4+5x5 (3 阶)当 x0 时，则当 x0 时， 为 x 的 3 阶无穷小，从而2.设 处处连续，则 f(0)=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题是要研究分段函数 f(x)在分界点 x=0 处的二阶导数，如果用导数定义做比较繁可考虑用幂级数展开由于，由连续性知 ，且评注 这里用到求函数 f(x)在 x=x0处高阶导数 f(n)(x0)的一种常用方法若 f(x)在 x0的某邻域内可展开为幂级数则由幂级数展开式的唯一性知，该幂级数只能是 f(x)在 x0点处的泰勒
8、级数，即从而有3.设 f(x)在 x=x0处取得极大值，则(A) f(x 0)=0(B) 存在 0，使 f(x)在(x 0-，x 0)内单调增；而在(x 0，x 0+)内单调减(C) 存在 0，在(x 0-，x 0)内 f(x 0)0；而在(x 0，x 0+)内 f(x)0(D) -f(x)在 x=x0处取极小值（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由极大值的定义知，存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时 f(x)f(x 0)从而有-f(x)-f(x 0)由极值定义知，-f(x)在 x=x0处取极小值故应选(D)评注 其余选项都是错误的事实上，为了方便可取 x0=0，若取 f(x)
9、=-|x|，显然 f(x)在 x=0 处取极大值，但 f(0)不存在，则(A)不正确若取由极值定义可知 f(x)在 x=0 处取极大值，但，当 x0 时而即在 x=0 的任何右半邻域内，始终存在导数为正的点 和导数为负的点4.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于(x+y) 3=x3+3xy2+3x2y+y3而等式右端 4 项中的每一项关于 x 或关于 y 是奇函数，而积分域|x|+|y|1 关于两个坐标轴都对称，则由于 cosx2siny20 (x 2+y21)且不恒为零，则由于e-x2-y2-1=e-(x2+y2)-10 (x 2+y21)但不恒等于零，则5.已知 （分数
10、：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 BC，A(B-C)=0，知齐次方程组 Ax=0 有非零解而 Ax=0 有非零解的充分必要条件是秩r(A)n因为6.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a(A) 1 (B) -1 (C) 1-n (D) n-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令对 A 作初等行变换，把第 1 行的-1 倍依次加至第 2，3，n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把2，3，n 行约去 1-a 后再加至第 1
11、 行就有可见7.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 已知泊松分布为8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必(A) 相互独立且同分布 (B) 相互独立但不同分布(C) 不相互独立但同分布 (D) 不相互独立且不同分布（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故 X+Y 和 X-Y 也是正态E(X+Y)=EX+EY=0+0=0，D(X+Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X+Y)N(0，2 2)E(X-Y)=EX-EY=0-0=0，D
12、(X-Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X-Y)N(0，2 2)cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)= 2-cov(X，Y)+cov(X，Y)- 2=0故 X+Y 与 X-Y 的相关系数为 0，即 X+Y 与 X-Y 相互独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于而则10.通解为 y=C1ex+C2x 的常微分方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1-x)+xy-y=0）解析：解析 显然，所求方程为二阶方程，可由 y，y，y消去任意常
13、数 C1和 C2求得微分方程y=C1ex+C2x y=C 1ex+C2 y=C 1ex 式乘以 x 减去式得xy-y=C 1(x-1)ex 式乘以(1-x)加式得(1-x)y+xy-y=0则该方程为所求的微分方程评注 本题给出了一种已知微分方程通解求微分方程的常用方法11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于由12.方程 3x=2x2+1 的实根个数 n=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 令 f(x)=3x=2x2-1，由于f(0)=0，f(1)=0，f(2)=0，则 f(x)至少有三个零点但f(x)=3 xln3-4xf(x)=
14、3 x(ln3)2-4f(x)=3 x(ln3)30由 f(x)最多 3 个零点，故方程 3x=2x2+1 有且仅有三个实根，即 n=313.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 21+y22+y23-y24）解析：解析 设 A=，0，由 A4-3A2=4E 有( 4-3 2-4)=0，0从而 4-3 2-4=0亦即( 2+1)( 2-4)=0因为实对称矩阵特征值必是实数故 A 的特征值是 2 或-2由 r(A-2E)=1那么 n-r(A-2E)=4-1=3说明齐次方程组
15、(2E-A)x=0 有 3 个线性无关的解亦即 A 一 2 有3 个线性无关的特征向量故矩阵 A 的特征值是 2，2，2，-214.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立，且 X1，X 2均服从标准正态分布，其分布函数为西 (x)，而（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 F Y(y)=PX1+X2X3y根据全概率公式：FY(y)=PX3=-1PX1+X2X3y|X 3=-1+PX3=1PX1+X2X3y|X 3=1而 X3同 X1，X 2是独立的故又因为 X2，X 3也是独立的均为 N(0，1)分布，所以X1-X2N(0，2)和 X1+X2N(0，2)因此三、解答题(
16、总题数：9，分数：94.00)15.试证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：(证明 令则f(x)=sec 2x+2cosx-3f(x)=2sec 2xtanx-2sinx=2sinx(sec2x-1)0 从而，f(x)单调增，又 f(0)=0，则f(x)0 由此得，f(x)单调增，而 f(0)=0，则f(x)0 故)解析：16.设 ，其中 f(u)有二阶连续导数，f(0)=f(0)=0，且 （分数：10.00）_正确答案：(解 令 ，则由对称性知代入 得即f(u)-f(u)=u齐次方程的特征方程为 2-1=0， 1,2=1，令 =au+b，代入 f(u)-f(u)=u 得 a=-1，b=
17、0则f(u)=C1eu+C2e-u-u由 f(0)=f(0)=0 知， ，故 )解析：17.设为曲面 z=x2+y2(0x1)的下侧，计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(解 将 z=x2+y2代入被积函数的分母中得补平面 z=1(x2+y21)的上侧，并记为 S，则)解析：18.设 ，(n0)()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(解 ()由 知则幂级数 的收敛半径为 R=1，故当|x|1 时，幂级数 收敛，又由此可知an=(-1)n(n+1) (n0)()令 ，则)解析：19.设 f(x)在0，1上连续，且 证明 使 （分数：10.00）_正确答案：(证
18、法一 令 ，则F(0)=0，由罗尔定理知，存在 (0，1)，使 F()=0，又而 0，则故原题得证证法二由于又 ，则由积分中值定理知从而 )解析：20.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，6) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_正确答案：(解 设 x1 1+x2 2+X3 3=，对增广矩阵 作初等行变换得()当 a-6 且 a+2b4 时r(A)=3， 方程组无解， 不能由 1，
19、 2， 3线性表出()当 a=-6 时)解析：21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_正确答案：(对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A 的 k 重特征值，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量有且只有 k 个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么故 a=1()由秩 r(A)=2，知|A|=0，又 ，所以 A 的另
20、一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量设 A 属于特征值 0 的特征向量为=(x 1，x 2，x 3)T，于是 T1=0， T2=0 即 解得此方程组的基础解系为 =(=1，1，1) T那么矩阵 A 属于特征值 3=0 的全部特征向量为 k=k(-1，1，1) T(k 为任意非零常数)()设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行变换，有解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故=3 1-2 2+因为A 1=6 1，A 2=6 2，A=0所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-2
21、6n 2=(-6n，6 n，-26 n)T评注 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质如果 是矩阵 A 的 k 重特征值，那么 至多有k 个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量，从而保证本题中 1， 2， 3一定线性相关，可求出 a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质本题亦可由 A( 1， 2，)=(6 1，6 2，0)，先求出矩阵 A然后利用 A=)解析：22.设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立()求在一年内共发生，n
22、(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下，求有感次数 X 的条件概率分布（分数：11.00）_正确答案：(题给 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立现要求 PX+Y=n的值 n=0，1，2，实际上 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立则 X+YP( 1+ 2)()当 0kn 时，如果记 )解析：23.设总体 X 的概率分布为 ，其中参数 未知，以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=0，1，2)()求参数 的矩估计量 ；()求常数 a0，a 1，a 2，使 （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()
23、参数 0 就一个，用 EX=02(1-)+12 2+2(1-2)=2 2-4+2=2(-1) 2()使 的无偏估计量，即要求 ET- 2 ，N i表示来自总体 X 的简单随机样本中等于 i 的个数，(i=0，1，2)如果把样本 X1，X 2，X n中每个 Xj取 i 值看成是一次试验成功，X j不取 i 值看成是一次试验失败，则样本的 n 个分量看成是 n 重独立重复试验如果取 i 值即试验成功的概率为 p1，则 NiB(n，p i)，ENi=npi，DN i=npi(1-pi)所以ET=a0n2(1-)+a 1n2 2+a2n(1-2)= 2即(2a1n-2a0n) 2+(2a0n-2a2n)+a 2n= 2因此 由此解得)解析：
