1、考研数学一-144 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.2.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是(A) y+y-4y-4y=0 (B) y+y+4y-4y=0(C) y-y-4y+4y=0 (D) y一 y+4y-4y=0（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x,y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.4.设有两个数列 an，b n，若 ，则(A) 当 收敛时， 收敛。(B) 当 发散时， 发
2、散(C) 当 收敛时， 收敛(D) 当 发散时， （分数：4.00）A.B.C.D.5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0a1)，数 ua满足PXu a=a若 P|X|x=a，则
3、x 等于（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 ，单位向量 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 f(x1，x 2，x
4、 3)=(x1+x2)2+(x2-X3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D(1)求 D 的面积 A；(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：10.00）_16.求函数 （分数：10.00）_17.将函数 （分数：10.00）_18.计算曲面积分（分数：10.00）_19.已知函数
5、 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_20.设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）_21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵!试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae -2x2+2xy-y2，-x+，-y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)（分数：1
6、1.00）_23.设 X1，X 2，X n是总体 N(， 2)的简单随机样本，记（分数：11.00）_考研数学一-144 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题是最基本的未定式“1 ”，属基本题型2.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是(A) y+y-4y-4y=0 (B) y+y+4y-4y=0(C) y-y-4y+4y=0 (D) y一 y+4y-4y=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
7、 由通解表达式 y=C1ex+C2cos2x+C2sin2x 可知其特征根为 1=1， 2，3 =2i可见对应特征方程为(-1)( 2+4)= 3- 2+4-4，故对应微分方程为 y-y+4y-4y=0，应选(D)评注 对于三阶或三阶以上的常系数线性微分方程，同样应该掌握其特征方程与对应解之间的关系3.设 f(x,y)为连续函数，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是 Y 型域，则原式4.设有两个数列 an，b n，若 ，则(A) 当 收敛时， 收敛。(B) 当 发散
8、时， 发散(C) 当 收敛时， 收敛(D) 当 发散时， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 应用举反例法排除错误答案取 ，排除(A)取 ，排除(B)、(D)评注 可直接证明(C)正确，由 ，知存在 M0，当 72 充分大时，有 ln|M，因而 a2nb2nM 2b2n，由收敛可知5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 6.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+C
9、A，则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由由7.设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 a(0a1)，数 ua满足PXu a=a若 P|X|x=a，则 x 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 解法一： 选(C)解法二：如图一所示，题设条件 P(Xu a)=a，图二显示中间阴影部分面积为 n，P|X|=a两端各余面积为 ，所以 ，选(C)8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 随机变量函数
10、 Z=XY 是由连续型随机变量 X 和离散型随机变量构成，对这类“混合型”的函数，一般从离散型随机变量着手由 y 取值就两个：0、1可以将事件“Y=0”和“Y=1”看成一完备事件组由全概率公式Fz(z)=PXYz=PY=0PXYz|Y=0)+P(Y=1PXYz |Y=1又由 X、Y 相互独立，故即而 所以，F z(z)在 z=0 处有一个间断点故答案应该选(B).评注 也可以将事件“Zz”分解成Zz)=Zz，Y=0Zz，Y=1)也就有 F z(z)=PZz=PZz，y=0+PZz，y=1)当 z0 时，PZz，Y=0=PZz，Y=0)=P( )=0；当 z0 时，PZz，Y=0)=PXYz，Y
11、=0)=PY=0= ，而对任意 z，PZz，Y=1)=PXYz，Y=1)=PXz，Y=1二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点(0，1)处的切线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x+1）解析：解析 等式 sin(xy)+ln(y-x)=x 两边同时对 x 求导，得，将 x=0，y=1 代入上式，有10.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xf 12+f 2+xyf 22）解析：解析 11.设函数 ，单位向量 ，则 （分数：4.00）填空项 1:
12、_ （正确答案： ）解析：解析 函数 u(x，y，z)沿单位向量，n=cos，cos，cos的方向导数为：因为 ，于是所求方向导数为评注 本题若 n=m，n，l)非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：12.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由积分域与被积函数的对称性有所以故13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-X3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 因为 f(x1，x 2，x 3)=2x21+2x22+2x23+2x1x2-2x2x
13、3+2x3x1二次型 f 的矩阵是易见秩 r(A)=2，故二次型 f 的秩为 2注意 若认为二次型的标准形是 f=y21+y22+y23，从而秩 r(f)=3 就错误了因为对于 而言，由于行列式14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(； 2， 2；0)，则 cov(X，XY 2)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2( 2+ 2)）解析：解析 cov(X，XY 2)=E(X2Y2)-EXE(XY2)由于 X 与 Y 相互独立，所以E(X2Y2)=EX2EY2=DX+(EX)2DY+(EY)2=( 2+2) 2E(XY2)=EXEY2=( 2+ 2)总之 cov(X，X
14、Y 2)=( 2+ 2)2- 2( 2+ 2)= 2( 2+ 2)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D(1)求 D 的面积 A；(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V（分数：10.00）_正确答案：(分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A；旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图解 (1)设切点的横坐标为 x0，则曲线 y=lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程是由该切线过原点知 lnx0-1=0，从而 X0=
15、e所以该切线的方程为平面图形 D 的面积(2)切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为因此所求旋转体的体积为)解析：16.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(解 令解得函数驻点，即可能极值点为(1，0)或(-1，0)易得，在驻点为(1，0)处，由 B2-AC=-2e-10 且 A0，知(1，0)为极大值点，极大值 在驻点为(-1，0)处，由 B2-AC=-2e-10 且 A0，知(-1，0)为极小值点，极小值 )解析：17.将函数 （分数：10.00）_
16、正确答案：(分析 利用常见函数的幂级数展开式解 ，比较两边系数可得 ，即而 ，故评注 分式函数的幂级数展开一般采用间接法要熟记常用函数的幂级数展开公式：)解析：18.计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(分析 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可解 取 1为：xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由与 1围成的空间闭区域，则由高斯公式知，而 )解析：19.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-；()存在两个不同的点
17、，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_正确答案：(分析 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论证明 ()令 F(x)=f(x)-1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=-10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1-()在0，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得于是 )解析：20.设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）_正确答案：(对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有得方程组(
18、)的基础解系为 1-(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T(2)设 是方程组()和()的非零公共解，则=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2那么 x 1 1-x2 2+x3 1+x4 4=0对系数矩阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有由 不全为 当 a=-1 时得基础解系 1=(-1，-1，1，0) T， 2=(-4，-7，0，1) T所以 Ax=0 的通解为k1 1+k2 2=(-k1-4k2，-k 1-7k2，k 1，k 2)T故方程组()和()的公共解)解析：21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵!
19、试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：11.00）_正确答案：(证 必要性设 BTAB 是正定矩阵，按正定定义恒有 XT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么 恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)=n 时，Bx=0 只有零解，那么 恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx) TA(Bx)0，所以 )解析：22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae -2x2+2xy-y2，-x+，
20、-y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)（分数：11.00）_正确答案：(解 方法一 常数 A 可以通过性质 来求而其中其实(z)中带有常数 A，所以用 来求 A，还不如用 来求 A所以先求又由于 ，即 当 fx(x)0 时，等价于当-z时，评注 这方法中用了公式 ，此公式可以从服从正态 的密度函数 的积分等于 1 来推出方法二 二维正态概率密度一般形式为对比本题所给二维密度 f(x，y)=Ae -2x2+2xy-y2，可知 1= 2=0，且由此解得这时的边缘密度 )解析：23.设 X1，X 2，X n是总体 N(， 2)的简单随机样本，记（分数：11.00）_正确答案：(证明 T 是 2的无偏估计量，只要验证 = 2由 可知()当 =0，=1 时， ，即有 ，且 -1)，注意到 与 S2是相互独立的，且 所以 )解析：
