1、考研数学一-143 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于事件 A 和 B，下面结论正确的是（分数：4.00）A.若 A 与 B 互不相容，则 与B.若 A 与 B 相容，则 与C.若 A 与 B 互逆，则 与D.若 A-B=2.记 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设有无穷级数 、 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)连续，且 f(1)=f(1)=1， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 L：x 2+4y2=1，y0，L 1：x 2+4y2=1，x0，y0，则（分数：4.00）A.B.C.D.6.设
2、随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 A、B 为三阶矩阵，且有相同的特征值 1，2，2，则下列命题：A，B 等价；A，B 相似；若A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式|A-2E|=|2E-A|，成立的有（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=y(x)满足 ，且 y(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.当 x0 时，下列无穷小量从低阶到高阶的排列顺序为_
3、（分数：4.00）填空项 1:_11.无穷级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.若曲面 x=xy 上点 P 处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，则点 P 的坐标为_（分数：4.00）_13.二阶方阵 X 满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmin(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=_（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，满足 ，且极限 （分数：10.00）_16.设曲面是锥面 与两球面 x2+y2+z2=1，x 2+y2+z2
4、=2 所围立体表面的外侧，计算曲面积分（分数：10.00）_17.证明曲率处处相等的曲线为圆（分数：10.00）_18.设一底半径为 r，高为 h 的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，两部分盛满水，水的比重为 若把右半部分的水抽出一部分，使容器的中间隔板的左边所受的压力 F1为右边所受压力 F2的 8 倍，求抽掉右边那部分水克服重力所作的功（分数：10.00）_19.计算 （分数：10.00）_20.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_21.已知 A、B 为 4 阶矩阵，若满足 AB+2B=O，r(B) =2，且行列式|E+A|=|E+2A|=0，(1)求 A 的特征值；(2)证明
5、A 可对角化；(3)计算行列式|A+3E|（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度函数为（分数：11.00）_23.设总体 X 服从0，上的均匀分布， 未知(0)，X 1，X 2，X 3是取自 X 的一个样本(1)试证： ， （分数：11.00）_考研数学一-143 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于事件 A 和 B，下面结论正确的是（分数：4.00）A.若 A 与 B 互不相容，则 与B.若 A 与 B 相容，则 与C.若 A 与 B 互逆，则 与 D.若 A-B=解析：详解 对于(A)，由*，显然
6、推不出*，对于(B)，由*，而*，易知当 AB= 时，有*，即此时*与*可以互不相容，故(B)也不正确，对于(C)，由于*，AB=，故*即*与*也互逆，所以(C)为正确答案2.记 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 r(A-E)=1，且每一矩阵乘可逆矩阵后其秩不变详解 |A|=10，A -1存在，r(A)=n，显然 r(A-E)=1A2-A=A(A-E) A 可逆r(A 2-A)=rA(A-E)=r(A-E)=1，(A)为答案评注 A 可逆有以下充要条件：存在方阵 B，满足 AB=BA=E(此时记 B=A-1)*存在方阵 B 满足 AB=E 或 BA=E*r(A)=n*|A|0*A
7、 的列(行)向量线性无关*方程 Ax=0 只有零解*b，Ax=b 只有唯一解*A=E 1E2Ek，所有的 Ei都是初等矩阵3.设有无穷级数 、 ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 此类问题一般可通过举反例，用排除法进行分析若直接证明则应注意无穷级数收敛的必要条件是一般项极限为零，从而可反推找到正确选项详解 若无穷级数*均收敛，则*，从而必有*因此若*1，则*至少有一个发散，正确答案为(B)其余答案可举反例说明是不正确的：如 an=1，*，可排除(A)；*，可排除(C)；*，可排除(D)评注 这里无穷级数*为一般项级数，应注意其与正项级数性质上的差异4.设 f(x)连续，且 f(
8、1)=f(1)=1， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 *F(x)=f(x2)+2x2f(x2)，F(1)=3，(A)为答案评注 *5.设 L：x 2+4y2=1，y0，L 1：x 2+4y2=1，x0，y0，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 本题考察曲线积分的对称性质若用参数法求解，则计算量很大，而根据对称性则可方便找到答案详解 由对称性知， Lxds=0， Lxyds=0，可排除(A)，(B)注意 *因此(C)不正确，故应选(D)评注 定积分、二重积分、三重积分和第一类曲线积分、第一类曲面积分均有类似的对称性质6.设随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布
9、N(， 2)，若概率 ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 作为相互独立且服从正态分布的随机变量的线性组合，aX-bY 仍服从正态分布，而正态分布随机变量在其数学期望的左右两侧取值的概率均为*详解 因为 aX-bY 服从正态分布，故根据题设*知，E(aX-bY)=aEX-bEY=(a-b)=，从而有 a-b=1，显然只有(B)项满足要求故选(B)评注 本题也可将条件“随机变量 X，Y 相互独立且均服从正态分布 N(， 2)”改为(X，Y)服从二维正态分布*，此时，aX-bY 仍服从正态分布；本题若将条件“随机变量 X，Y 相互独立”去掉，则 aX-bY 不一定服从正态分布7.设函
10、数 z=f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 先由*两边对 y 积分，再利用 fy(x，0)=x 及 f(x，0)=1 确定相应常数即可详解 由*两边对 y 积分得，*由 fy(x，0)=x，知 C(x)=x即*再积分得 f(x，y)=y2+xy+C1(x)再由 f(x，0)=1，知 C1(x)=1可见 f(x，y)=1+xy+y 2故选(B)评注 本题也可将四个答案一一代入验算从而找出正确选项8.已知 A、B 为三阶矩阵，且有相同的特征值 1，2，2，则下列命题：A，B 等价；A，B 相似；若A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式|A-2E|=|2E-A|
11、，成立的有（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：分析 A，B 是否等价只需判断其秩是否相等，这由|A|=|B|=40，知 r(A)=r(B)=3 从而 A，B 等价；本题的关键是 A，B 是否相似的判定，相似矩阵有相同的特征值，但反过来不一成立，除非加上 A，B均可对角化的条件详解 由题设知 A，B 的秩相同，r(A)=r(B)=3，因此 A，B 等价；若 A，B 为实对称矩阵，则其对应正负惯性指数相同，从而 A，B 合同；矩阵 A-2E 与 2E-A 均有一个特征值为零，故行列式|A-2E|=|2E-A|=0但A，B 有相同的特征值推导不出 A，B 相似故选(C)
12、评注 本题综合考查了行列式、矩阵运算与秩、特征值、相似矩阵和合同矩阵等多个知识点，在复习过程中，应注意这种前后知识的联系二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 y=y(x)满足 ，且 y(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 先由导数或微分的定义，可得一微分方程，然后解此微分方程求出 y(x)，再积分即可详解 由*，有*两边取极限，得 *再两边积分得 *又由 y(1)=1，有 C=0故 *于是 *评注 由定积分的几何意义，知积分*表示曲线*与 x 轴及 x=1，x=2 所围成的图形(圆的一部分)的面积，故也可直接得*10.当 x0 时，下列无
13、穷小量从低阶到高阶的排列顺序为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：）解析：分析 *称 f(x)为 x0 时的 k 阶无穷小详解 *是 x 的 3 阶无穷小*是 2 阶无穷小*-1x 4-x 为 1 阶无穷小所以无穷小阶数从小到大为：，评注 1该题中三个无穷小用三种不同方法，确定了它们的阶数；2关于“0(x n)”的运算规则：(i)o(x n)o(xn)=o(xn)，(ii)x mo(xn)=o(xm+n)11.无穷级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e）解析：分析 利用已知函数的幂级数展开式求和：*详解 *评注 无穷级数的求和问题可考虑的方法有：定义法、利用已知函
14、数的幂级数展开式以及转化为幂级数再逐项求导或积分等12.若曲面 x=xy 上点 P 处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，则点 P 的坐标为_（分数：4.00）_解析：分析 先求出法线的方向向量，再由其与平面垂直，即与平面的法向量平行确定点的坐标即可详解 设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0)令 F(x，y，z)=z-xy，则 Fx=-y，F y=-x，F z=1于是过 P 点的法向量为 n1=-y0，-x 0，1又平面 x+3y+z+9=0 的法向量为 n2=1，3，113.二阶方阵 X 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设*，由*求出 a，b，c
15、，d 之间的关系详解 *2a-b=2a-c b=c，-a+2b=2b-d，a=d*评注 本题考查了矩阵乘法，属于基本题14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmin(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=_（分数：4.00）_解析：分析 关键是取消最小值符号 min，转化为总体 X 服从正态分布进行计算详解 Pmin(X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=1-Pmin(X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=1-PX11，X 21，X 51*评注 max(X 1，X 2，X n)=X 1，X 2，X n；min(
16、X 1，X 2，X n)=X 1，X 2，X n三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，满足 ，且极限 （分数：10.00）_正确答案：(详解 设*积分两次得*，即*又*，从而有 f(0)=0，f(0)=-2，将其代入f(x)表达式中，得*故所求函数 f 的表达式为*)解析：分析 先求出二阶导数，代入已知关系式后，可得一微分方程，再按标准方法进行求解即可注意，本题的初始条件是通过极限*确定的，此条件相当于告诉了 f(x)在点 x=0 处的函数值与导数值评注 通过导数定义或偏导数引出微分方程是值得注意的一种题型，而初始条件由传统的直接告之 f(0)=0，f(0)=-2，转化为通
17、过极限*给出，这种可能的命题形式更应引起重视16.设曲面是锥面 与两球面 x2+y2+z2=1，x 2+y2+z2=2 所围立体表面的外侧，计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(详解 记所围区域为 ，则*由题设 f(u)为奇函数，于是 f(u)为偶函数，根据 关于 z=0 对称，zf(yz)关于 z 为奇函数，从而有* 关于 y=0 对称，yf(yz)关于 y 为奇函数，从而有*故 *)解析：分析 为封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式，转化为三重积分进行计算空间立体为球体的一部分，可采用球面坐标计算，在计算过程中，还应注意利用对称性进行简化评注 本题 关于平面 x=0 是非对称的，因
18、此当被积函数关于 x 为奇函数时，也不能得到关于相应三重积分为零的结论17.证明曲率处处相等的曲线为圆（分数：10.00）_正确答案：(详解 设曲线方程为 y=f(x)，则*所以 *令 y=p，则得到*所以 *所以 *所以 *即 (y-b) 2+(x-a)2=R2也就是说曲线为以(a，b)为圆心，R 为半径的圆)解析：分析 由条件可得*，为一个可降阶微分方程评注 该题为可降阶微分方程，难度不大18.设一底半径为 r，高为 h 的圆锥形容器被隔成左右对称不相连通的两部分，两部分盛满水，水的比重为 若把右半部分的水抽出一部分，使容器的中间隔板的左边所受的压力 F1为右边所受压力 F2的 8 倍，求
19、抽掉右边那部分水克服重力所作的功（分数：10.00）_正确答案：(详解 以圆锥顶点为原点，中心轴为 x 轴，开口向上方向为 z 轴正向，建立坐标轴设抽掉水后右边水面高度为 h0(1)求 F1与 F2在0，h上任取区间x，x+dx，中间隔板面积微元为*压力微元为*所以 *同理可得*(2)由 F1=8F2，*，得*在h 0，h上任取区间x，x+dx，水的体积微元为*作功的微元*所以，抽掉右边那部分水，克服重力作的功为*)解析：分析 关键在于确定抽掉水后右边的水面高度，可由 F1=8F2得到做功用定积分即可求得评注 本题综合了压力与变力作功两个知识点关键在于用微元法确定面积、体积微元以及写出做功的微
20、元19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(详解 *得到*)解析：分析 *将上式用不等式估计，然后再用夹逼定理评注 关于用定积分计算极限可参阅“考研数学第一视频(经济类)”20.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(详解 将*)解析：分析 直接求 A*，要求代数余子代 Aij(*i，j)非常麻烦，因此可先求 A-1，再求 A*A -1可用分块求逆公式求出评注 分块求逆公式：*21.已知 A、B 为 4 阶矩阵，若满足 AB+2B=O，r(B) =2，且行列式|E+A|=|E+2A|=0，(1)求 A 的特征值；(2)证明 A 可对角化；(3)计算行列式|A+3E|（分数：11.
21、00）_正确答案：(详解 (1)由|E+A|=|E+2A|=0 知，A 有特征值为 1=-1，*令 B=b1，b 2，b 3，b 4，根据 r(B)=2，不妨设 b1，b 2线性无关，由 AB+2B=0，知 Abi=-2bi，i=1，2，因此b1，b 2是 A 的属于特征值 3=-2(至少二重根)的特征向量，而 4 阶方阵已有两个特征值 1=-1，*可见 3=-2 必为二重根，故所求特征值为 1=-1，*， 3=-2(二重)(2)设 1=-1，*的特征向量分别为 1， 2，则 4 阶方阵 A 有 4 个线性无关的特征向量 1， 2，b 1，b 2，必可对角化(3)令 P= 1， 2，b 1，b
22、 2，则*，从而*故行列式 *)解析：分析 (1)对于抽象矩阵可通过定义 Ax=x 或行列式|E-A|=0 确定相应特征值；(2)只须证明存在 4 个线性无关的特征向量即可，注意利用不同特征值对应特征向量线性无关的结论；(3)可先求出 A+3E 的特征值或利用相似矩阵有相同的特征值进行计算评注 若 n 阶矩阵 A，B 相似，则|A|=|B|，更一般地，有|f(A)|=|f(B)|22.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度函数为（分数：11.00）_正确答案：(详解 首先有*因为 f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 x，y 不独立*U=X2，V=Y 2的联合分布函数为*可见，对 U=X2
23、，V=Y 2而言，有 F(u，)=F U(u)FV()，即 X2和 Y2相互独立)解析：分析 两个随机变量 X，Y 独立*F(x，y)=F X(x)FY(y)或 f(x，y)=F X(x)FY(y)因此判断两个随机变量是否独立可从分布函数或概率密度函数进行分析评注 对于离散型随机变量，一般不用分布函数或概率密度检验，而用联合分布律与边缘分布律：X 与Y 相互独立*P(X=x i，Y=y i)=P(X=xj)P(Y=yj)23.设总体 X 服从0，上的均匀分布， 未知(0)，X 1，X 2，X 3是取自 X 的一个样本(1)试证： ， （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)设 F(x)是 X 的分布函数，则 *令*，则FY(x)=F(x)3，*FZ(x)=1-1-F(x)3，*于是 *故*均为 的无偏估计量*可见*的方差比*的方差小)解析：分析 为了求出*，*的期望与方差，应先确定它们的分布，而极值分布可用已有公式求出，再根据期望与方差的定义计算即可评注 设 X1，X 2，X n相互独立同分布，分布函数为 F(x)，则 maxX1，X 2，X n的分布函数为 Fmax(x)=Fn(x)而 minX1，X 2，X n)的分布函数为 Fmin(x)=1-1-F(x)n
