1、考研数学一-142 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x0)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得(A) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+ 是凹的(B) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+ 是凸的(C) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加(D) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设在全平面上有 （分数：4
2、.00）A.B.C.D.4.下列级数中属于条件收敛的是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则(A) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n(B) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n(C) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn(D) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 r(A)m（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵中不能相似对角化的是（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为
3、，则 EX2的矩估计量是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x 0，y 0)+(x-x 0)+b(y-y0)+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则（分数：4.00）填空项 1:_12.设 S 为圆锥面 被曲面 x2+y2=2ax 所截下部分，则曲面积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；
4、0)，则 Emin(X，Y)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设参数方程 （分数：-1.00）_16.设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 （分数：-1.00）_17.设 xOy 平面第一象限中有曲线 F:y=y(x)，过点 A(0， )，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 () 导出 y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；() 求曲线
5、（分数：-1.00）_18.() 求级数 的收敛域() 求证：和函数 S(x)= （分数：-1.00）_19.是否存在常数 n，使得存在可微函数 u(x，y)在如下区域 D 满足：（分数：-1.00）_20.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，() 若 1， 2， 3线性相关，求 的值；() 当 =3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；() 当 =3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：-1.00）_21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1
6、-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3， A 3=-2 1+3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求矩阵 A 的特征向量；() 求矩阵 A*-6E 的秩（分数：-1.00）_22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数试求：() (X，Y)的联合分布；() cov(X，Y)+cov(Y，Z)（分数：-1.00）_23.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，对 X 进行两次独立观
7、察，其结果分别记为 X1，X 2,令 （分数：-1.00）_考研数学一-142 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x0)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得(A) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+ 是凹的(B) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+ 是凸的(C) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加(D) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ，由极限的不等式性质 ，当 x
8、(x 0-，x 0+)且 xx 0时， 当 x(x 0-，x 0)时，f(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f(x)0又 f(x)在 x=x0连续 f(x)在(x 0-，x 0单调下降，在x 0，x 0+)单调上升故应选(C)2.设 f(x)在(-，+)上连续， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由变限积分 的性质以及对称区间上奇偶函数积分 的性质便可知(A)，(B)，(D)均正确，而(C)是错误的或直接举例说明(C)是错误的例如 f(x)1 是以 T 为周期的偶函数，但 F(x)= =x 不是周期函数，显然(C)不对3.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B.C. D.解
9、析：解析 固定时 f(x，y)对 x 单调下降；4.下列级数中属于条件收敛的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (A)，(B)，(C)不是条件收敛由其中， 收敛， 发散 发散，由其中， 均收敛 绝对收敛，由(C)绝对收敛因此应选(D)分析二 直接证明(D)条件收敛单调下降趋于零(n) 交错级数 收敛又而 发散 发散 (D)条件收敛故应选(D)5.设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则(A) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n(B) 当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n(C) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有 mn(D) 当 Ax=b 有无穷多解时，必有
10、r(A)m（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以(B)正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，可以有 mn例如方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不要求秩 r(A)必小于方程的个数，例如6.下列矩阵中不能相似对角化的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 有 n 个线性无关的特征向量，记(C)项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而那么 n-r(E-C)=3-2=1说明齐次线性方程组(E-C)x=0 只有一个线性无关的
11、解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以(C)不能对角化故选(C)7.已知随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设条件计算得P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0.5，P(A)P(B)P(C1)=0.125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0.25，P(ABC1)=0.25，P(ABC 2)=0，由此验证知(D)正确应选(D)8.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，则 EX2的矩估计量是（分数：4.00）A.B. C.D.
12、解析：解析 根据矩估计量的定义来选择正确的选项由于 EX2=DX+(EX)2，而 DX 与 EX 的矩估计量分别是所以 EX2的矩估计量为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：解析 由积分中值定理知，在 n 与 之间 使得又且当 n时 +，于是分析二 对变限积分函数 用拉格朗日中值定理得于是分析三 x1 时考察 的单调性：由当 n1 时，又因此10.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用三角函数代换去根号，则有再利用分解法，有cost=A(cost+sint)+B(cost+sint)=(A+B)cost+(A-B)
13、sint取 A，B 满足 A+B：1，A-B=0，即 A=B= ，于是分析二 作上述三角函数代换后，再转化为有理式的积分，即分析三 作上述三角函数代换后得对原式再作三角函数代换 x=acost 得或对式再作代换 ，得同样得式将，式相加得11.设 f(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有定义，且满足：f(x，y)=f(x 0，y 0)+(x-x 0)+b(y-y0)+o()(0)，其中 a，b 为常数， ，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 f(x，y)=f(x 0，y 0)+a(x-x0)+b(y-y0)+o()(0) f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微且
14、12.设 S 为圆锥面 被曲面 x2+y2=2ax 所截下部分，则曲面积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 S 的图形不好画出但只需注意以下几点：1曲面 S 的方程为 ；2S 在 xy 平面上的投影区域是 Dxy:x2+y22ax，即(x-a) 2+y2a 2；3S 关于 zx 平面对称由对称性与奇偶性得注意用极坐标变换，13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为 ，所以那么14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Emin(X，Y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析
15、 由题设 X，Y 独立，则有 Z=X-YN(0，2 2)，于是故三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设参数方程 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与证明 () ，又 在0，2连续 在0，27单调上升，值域在0，2存在连续的反函数 t=t(x)，定义域为 在0，2上连续()由反函数的可导性及复合函数的可性导知，y=y(x)在(0，2)内可导，由参数式求导法，有由于 ，于是因此，y=y(x)在0， ，在，2 ()由于 y(x)在0，2上连续，则由 x(0，2)时)解析：16.设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作
16、垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积 V(t)之间的关系是其中 S(z)是水面 D(z)的面积，且 S(z)=z 2+(1-z)2现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz= 0dt，即两边积分并注意 z(0)=0，得()求 z 取何值时 取最大值已求得因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1-z)2在0，1上的最小值点由 f(x)在在0，1
17、上取最小值故 z=丁 1 时水表面上升速度最大()归结求容器的体积，即因此灌满容器所需时间为或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z=1 得)解析：17.设 xOy 平面第一象限中有曲线 F:y=y(x)，过点 A(0， )，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 () 导出 y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；() 求曲线 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()先求出，在点 M(x，y)处的切线方程Y-y(x)=y(x)(X-x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标在切线方
18、程中令 Y=0，得 x 轴上的截距又弧段 的长度为 按题意得这是积分、微分方程，两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 x=0 得因此得初值问题问题与是等价的()下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得分离变量得 得由 时将上面两式相减再积分得其中 则就是所求曲线 )解析：18.() 求级数 的收敛域() 求证：和函数 S(x)= （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()令 ，问题转化为求幂级数 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下：令 ，我们考察幂级数 ，其中 由的收敛区间是 由于 时()为证当 x0，+)时级数 收
19、敛，且和函数 S(x)在0，+)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计 只要 收敛就可得出结论为了在0，+)上估计 ，我们求 f(x)=x2e-nx在0，+)上的最大值：由f(x)在 取0，+)上的最大值，即因为 收敛，所以 在0，+收敛，且 S(x)在0，+上有界.)解析：19.是否存在常数 n，使得存在可微函数 u(x，y)在如下区域 D 满足：（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 若存在常数 n 与 u(x，y)满足题中要求，则必有上式成立的充要条件是 n=1因此，n1 时， 区域 D，均不存在这种 u(x，y)；n=1 时，还需考察区域 D 的单连通性()D：x 2+y20，不
20、是单连通区域，上述必要条件导出 n=1 不足以保证存在原函数取环绕原点的闭曲线 C：2x 2-2xy+y2=1，并取逆时针方向，则其中 是 C 所围区域的面积 在 D 不存在原函数因此，不存在常数 n，在区域 D：x 2+y20 上满足题中的要求()D：x0，即 x0 或 x0这是单连通区域，在 D 上存在可微函数 u(x，y)满足题中要求的充要条件是 n=1由于因此 ，其中 C 为 常数)解析：20.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，() 若 1， 2， 3线性相关，求 的值；() 当 =3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向
21、量 4；() 当 =3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：-1.00）_正确答案：(解 () 1， 2， 3线性相关 秩 r( 1， 2， 3)3由于所以 =-3()设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即所以 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0()由于所以 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任-4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 =3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用 左乘上式两端并利用
22、 ，有 )解析：21.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3， A 3=-2 1+3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求矩阵 A 的特征向量；() 求矩阵 A*-6E 的秩（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()据已知条件，有记 及 P1=( 1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3线性无关知矩阵 P1可逆，且 即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3()由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵
23、 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4)T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P2=( 1， 2， 3)，则有 于是令则有所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)，k 2(2 1+3 2+3 3)，k 3( 1+3 2+4 3)，k i0(i=1，2，3)()由 及|A|=6 知，从而 ，所以秩 r(A*-6E)=2)解析：22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白
24、球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数试求：() (X，Y)的联合分布；() cov(X，Y)+cov(Y，Z)（分数：-1.00）_正确答案：(解法一 ()用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列成下表：()于是解法二 ()求(X，Y)的联合分布同解法一，但不要求(Y，Z)的联合分布()由于 Z=2-X-Y，故又)解析：23.设随机变量 X 的概率密度函数为 ，对 X 进行两次
25、独立观察，其结果分别记为 X1，X 2,令 （分数：-1.00）_正确答案：(解 ()由 ，即显然，X 1与 X2独立且与 X 同分布，因而有()由于 Y1，Y 2均为离散型随机变量，且都可取值 1，0，则由题设可得其联合概率分布于是(Y 1，Y 2)的联合概率分布见右表，其中()如右图，当(y 1，y 2)D 0，即 y10 或 y20 时，F(y 1，y 2)=0；当(y 1，y 2)D，即 0y 11，0y 21 时，F(y1，y 2)=PY1y1，Y2y2=PY1=0，Y 2=0=P11；当(y 1，y 2)D 1，即 0y 11，y 21 时，F(y1，y 2)=PY1y 1，Y 2y 2=PY1=0，Y 2=0+PY1=0，Y 2=1P11+P12；当(y 1，y 2)D 2，即 y11，0y 21 时，F(y1，y 2)=PY1=0，Y 2=0+PY1=1，Y 2=0=P11+P21；当(y 1，y 2)D 3，即 y11，y 21 时，F(y1，y 2)=PY1y 1，Y 2y 2=PY11，Y 21=1于是(Y 1，Y 2)的联合分布函数为)解析：
