1、考研数学一-141 及答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)= ，则 f(x)(A) 在点 x=0 处右可导，且 (B) 在点 x=0 处右可导，且 (C) 在点 x=0 处不右可导，但有无穷导数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)，g(x)在点 x=x0处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，则(A) x0不是 f(x)g(x)的驻点(B) x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点(C) x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点(D)
2、x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点（分数：4.00）A.B.C.D.3.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 的单位质点 P 沿 y 轴方向的引力为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列命题中不正确的是(A) 若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数(B) 若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数(C) 若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数(D) 若在 D 内，有 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，C 是 n 阶矩阵
3、，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是(A) ATBTATCT=E (B) BAC=CAB(C) BA2C=E (D) ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C.D.6.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量 X 的概率分布为 ，其中 0，k=1，2，则 EX 为（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n+1是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，记 ，已知 ，则 k，m 的值分别为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空
4、项 1:_10.设 y(x)在(-，+)连续，又当x0 时 是比x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_11.设 b0，则圆(x-b) 2+y2= 2绕 Y 轴旋转所得旋转体的表面积为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 L 为曲线： 则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X，Y 分别服从参数为 与 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_16.计算二重积分 （分数：-
5、1.00）_17.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：-1.00）_18.设 （分数：-1.00）_19.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 （分数：-1.00）_20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，() 证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A*是对称矩阵；() 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；() 证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：-1.00）_21.已知 （分数：-1.00）_22.今有 2n 个同型号电子元件设计以两种不同方案组装
6、在线路中(见图 1 与图 2)假设各元件独立工作且它们都服从期望值为 1(单位：万小时)的指数分布，试比较两个不同方案的线路正常工作的平均时间（分数：-1.00）_23.设总体 X 的概率密度为（分数：-1.00）_考研数学一-141 答案解析(总分：47.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)= ，则 f(x)(A) 在点 x=0 处右可导，且 (B) 在点 x=0 处右可导，且 (C) 在点 x=0 处不右可导，但有无穷导数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 这是讨论 f(x)在点 x=0 处是否右可导的问题由导数定义因此应选(
7、B)分析二 x0 时，由复合函数求导法得由 f(x)在点 x=0 处右连续，又故应选(B)2.设 f(x)，g(x)在点 x=x0处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，则(A) x0不是 f(x)g(x)的驻点(B) x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点(C) x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点(D) x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 ，因此 x=x0是 f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点由条件 由及极限的保号性
8、质 时x=x0是 f(x)g(x)的极大值点因此选(D)3.设无穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线为 的单位质点 P 沿 y 轴方向的引力为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 取 L 为 x 轴，y 轴过 P 点，如图所示在 L 上 取小线段x，x+dx，它对点 P 的引力沿 y 轴方向分量为其中 所以于是 L 对质点 P 沿 y 轴方向的引力4.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列命题中不正确的是(A) 若在 D 内，有 ，则 f(x，y)常数(B) 若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数(C) 若在 D
9、 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数(D) 若在 D 内，有 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 考生应该掌握这一结论：在区域 D， 为常数于是结论(A)、(C)是正确的现在如果能在(B)与(D)中证明其中之一是正确的或举例说明其中一个是错误的，则就可作出正确的选择方法 1 考察(B)设(x 0，y 0)D 为任意一点，它存在两个不共线的方向： i=(cos i，cos i)(i=1，2)，使得(B)正确，因此应选(D)方法 2 考察(D)在极坐标变换 x=rcos，y=rsin 下，即 ，这仅能表示 f(x，y)与 r 无关，不能说明 f(x，y)为常数5.设 A，B
10、，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是(A) ATBTATCT=E (B) BAC=CAB(C) BA2C=E (D) ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则由 ABAC=E 知矩阵 A，B，C 均可逆，那么由ABAC=E ABA=C-1 CABA=E从而(CABA) T=ET，即 ATBTATCT=E，故(A)正确由 ABAC=E 知 A-1=BAC，由 CABA=E 知 A-1=CAB，从而 BAC=CAB，故(B)正确由 ABAC=E CABA=E6.设矩阵 ，则下列
11、矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 可知矩阵 A 的特征值是 3，-3，0，故秩 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1(A)中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；(C)中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意对于(D)，记其矩阵为 D，由7.已知随机变量 X 的概率分布为 ，其中 0，k=1，2，则 EX 为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 注意到该分布除 外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数 的值，然后再求 EX由8.设 X1
12、，X 2，X n+1是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，记 ，已知 ，则 k，m 的值分别为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 与 xn+1三者相互独立，且故二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 只有间断点 ，于是有垂直渐近线 x=0于是有斜渐近线10.设 y(x)在(-，+)连续，又当x0 时 是比x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求 y(x)，再求 y(1)为求 y(x)先求 y(x
13、)将已知等式两边同除x，并令x0，由连续性知 ，于是取极限得这是可分离变量的微分方程，分离变量得分析二 将已知等式改写成，由y 与微分 dy 的关系知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分为其余解法同分析一 11.设 b0，则圆(x-b) 2+y2= 2绕 Y 轴旋转所得旋转体的表面积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4 2ab）解析：解析 圆的参数方程为x=b+acost， y=asint (0t2)，则代公式得旋转体的表面积分析二 曲线表成 x=x(y)，即于是代公式得表面积分析三 由曲线的质心公式及旋转面面积公式可得结论：曲线 在 y 轴右方， 绕 y 轴旋转一周生成的旋
14、转体的侧面积等于 的质心绕 y 轴旋转产生的圆周长乘以12.设 L 为曲线： 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 3）解析：解析 由在 L 上 y+z=0易写出 L 的参数方程：13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0 知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组 ATx=0 的解就是 B 的行向量又由可知 ATx=0 的通解为 k(-1，1，1) T故 ，其中 k1，k 2，k 3不全为 014.设 X，Y 分
15、别服从参数为 与 的 0-1 分布，且它们的相关系数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表：由于 X，Y 只取 0，1 两个值，所以再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)15.设 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 先将 F(x)转化为变限积分，令 s=xt，则下面讨论 F(x)的连续性因 ln(1+s)，sln(1+s)当 s-1 时连续，于是由式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当 x-1 且 x0 时 F(x)连续余下只需再求 F(0)并考察 F(x)在点 x=0
16、 处的连续性注意 F(0)=0，且这就证明了 F(x)在(-1，+)上连续。)解析：16.计算二重积分 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 D 如图，关于 x 轴对称于是其中 D1=Dy0方法 1 在 Oxy 直角坐标系中先 x 后 y 的积分顺序(不必分块)其中，两圆周的交点是 .于是方法 2 作极坐标变换，并选用先对 积分后对 r 积分的顺序x 2+y2=2x 的极坐标方程是 r=2cos，于是 D1的极坐标表示是方法 3 作极坐标变换后，若选择先对 r 积分的顺序，则 D1要分块表示：其中，x 2+y2=1 与 x2+y2=2x 的交点 对应的 . 于是)解析：17.求 f(x
17、，y，z)=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求 f(x，y，z)在 内的驻点由 在 内无驻点，因此，(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在力的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z2-2=0下的最大、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2y-z 2+5+(x 2+y2+z2-2)，解方程组由， x=y，由 z=0 或 =1由 x=y，z=0 代
18、入 x=y=1，z=0当 =1 时由，也得 x=y=-1，z=0因此得驻点，P 1(-1，-1，0)与 P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=1，f(P 2)=9因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 1)解析：18.设 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与求解 ()已知 ，故右端幂级数在 x=0 取值为 1f(x)首先要在 x=0 连续，故只能有 A=1此时因为幂级数在收敛区间内任意阶可导 任意阶可导()记 ，则于是)解析：19.求证 f(x)=x(1-x)cosx-(1-2x)sinx0 当 （分数：-1.00）_正确答案：(分析与证明 注意 f(x)在 上连续，且 先求
19、其中 g(x)=2- 2x(1-x)显然，f(x)的正负号取决于 g(x)的正负号，为用单调性方法判断 g(x)的符号，再求)解析：20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，() 证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A*是对称矩阵；() 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；() 证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：-1.00）_正确答案：(解 (I)按反对称矩阵定义：A T=-A，那么|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|，即1-(-1) n|A|=0若 n=2k+1，必有|A|=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=-A，由
20、(A*) T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*又因(kA)*=k n-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵()例如， )解析：21.已知 （分数：-1.00）_正确答案：(解 由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是 1=1-， 2=， 3=+1得到属于 1=1- 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10得到属于 2= 的特征向量是 2=k2(1，1-2a，1) T，k 20得到属于 3=+1 的特征向量 3=k3(2-，-4，+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不相同，即 1-，1-+1，+1，即 且 n0
21、，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化若 ，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 =0，即 1= 3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化)解析：22.今有 2n 个同型号电子元件设计以两种不同方案组装在线路中(见图 1 与图 2)假设各元件独立工作且它们都服从期望值为 1(单位：万小时)的指数分布，试比较两个不同方案的线路正常工作的平均时间（分数：-1.00）_正确答案：(解 设第 i 个元件正常工作的时间(即元件的使用寿命)为 Xi(i=1，2，2n)，T 1、T 2分别表示图 1 与图 2 线路的正常工作时间，Y 1
22、、Y 2分别表示图 1 中上线与下线的正常工作时间，依题意X1，X 2，X 2n相互独立同分布，Y 1与 Y2亦相互独立同分布，且 Xi的概率密度为由此可知，Y 1服从 =n 的指数分布类似地，Y 2与 T2分别服从 =n 与 =2n 的指数分布，因此则 T1的概率密度为于是计算结果表明在图 1 与图 2 的方案中，前者比后者线路正常工作的平均时间要长)解析：23.设总体 X 的概率密度为（分数：-1.00）_正确答案：(解 ()令随机变量 Y 服从参数 =1b 的指数分布，概率密度记为 fY(y)，由于 EY=1=b，DY=1 2=b2，于是有解以 a，b 为未知量的方程组 可得 b=，=-于是 a，b 的矩估计量分别是()设 x1，x 2，x n为样本 X1，X 2，X n的观测值，则似然函数 L(x1，x 2，x n；，b)垒 L(a，b)为由于 n/b0，故 lnL(，b)与 L(，b)关于 是增函数，但是又因只有 min(x 1，x 2，x n)时，L(，b)才不等于零，故 n 可取的最大值为 min(x1，x 2，x n)再根据方程于是 a，b 的最大似然估计量分别为)解析：
