1、考研数学一-140 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时，f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当 x0 时，Af(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小Bf(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小Cf(g(x)必是 x 的同阶无穷小Df(g(x)必是 x 的高阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_2.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是A若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数B若 f(t)是偶函数，则 是 x 的奇函数C若 f(t
2、)是奇函数，则 是 x 的奇函数D若 f(t)是偶函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_3.设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)0，则下列命题至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0至少存在一点 x0(a，b)，使得 （分数：4.00）填空项 1:_4.设在全平面上有 （分数：4.00）填空项 1:_5.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的三维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+3E|的值等于A0 B18 C6 D2
3、4（分数：4.00）填空项 1:_6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是Ar(A)=n Br(A)=mCr(B)=n Dr(B)=s（分数：4.00）填空项 1:_7.设 X，Y 是两个随机变量，且 DX0，DY0，则下列说法中错误的有若 X，Y 相互独立，则 X，Y 不相关若 X，Y 不相关，则 XY=0若 X，Y 不相关，则 X，Y 相互独立若 X，Y 均服从正态分布，则 X+Y 也服从正态分布A B C D（分数：4.00）填空项 1:_8.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN(，4)的简单随机样本，设 H0:=0，
4、H 1:0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为A2(1)-1 B2-2(1)C D （分数：4.00）填空项 1:_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，其中 f 可导，且 f(0)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.若可微函数 f(x，y)对任意 x，y，t 满足 f(tx，ty)=t 2f(x，y)，P 0(1，-2，2)是曲面 z=f(x,y)上的一点，且 （分数：4.00）填空项 1:
5、_13.设 n 阶可逆矩阵 A 满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmax(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求所有(0，+)上的正连续函数 g(x)，使得对任意 x0，有（分数：10.00）_16.设|a|1，求 （分数：10.00）_设 f“(x)在0，1上连续，且 f(0)=f(1)=0求证：（分数：10.00）(1).*；（分数：5.00）_(2).*（分数：5.00）_设 D：0x2，0
6、y2（分数：10.00）(1).求*；（分数：5.00）_(2).设 f(x，y)在 D 上连续，且*，证明：存在(，)D，使*（分数：5.00）_17.设有一半径为 R 的球体，P 0是此球表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该点到 P0的距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：10.00）_18.设齐次线性方程组（分数：10.00）_设二次型 的矩阵合同于（分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_(2).用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准型（分数：5.00）_设随机变量 X 的概率密度为对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为
7、X1，X 2，令（分数：10.00）(1).求常数 a 及 PX10，X 20)；（分数：5.00）_(2).求Y 1，Y 2的联合分布（分数：5.00）_设总体 X 服从指数分布，概率密度为X1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本（分数：15.00）(1).证明*仍服从指数分布；（分数：5.00）_(2).求常数 C，使 Z=C *为 的无偏估计；（分数：5.00）_(3).指出 Z 与*哪个更有效（分数：5.00）_考研数学一-140 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某去心邻域
8、内有定义，并且当 x0 时，f(x)与 g(x)都为 x 的同阶无穷小，则当 x0 时，Af(x)-g(x)必是 x 的同阶无穷小Bf(x)-g(x)必是 x 的高阶无穷小Cf(g(x)必是 x 的同阶无穷小Df(g(x)必是 x 的高阶无穷小（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(C)）解析：详解 由题设可知，则当 C1=C2时，选项(B)成立，当 C1C 2时，选项(A)成立所以可排除(A)，(B)选项而2.设 f(t)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是A若 f(t)是奇函数，则 是 x 的奇函数B若 f(t)是偶函数，则 是 x 的奇函数C若 f(t)是奇函数，则 是 x
9、的奇函数D若 f(t)是偶函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(C)）解析：详解 本题可用举反例法来做设 f(t)=t，则 f(t)是奇函数且连续，此式是否为奇函数与 a 有关，排除(A)设 f(t)=1，则 f(t)是偶函数且连续，不是奇函数，可排除(B)3.设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)0，则下列命题至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0至少存在一点 x0(a，b)，使得 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(A)）解析：详
10、解 因为 f(a)f(b)0，不妨设 f(a)0，f(b)0，则 ，由极限的保号性可得，存在 x1，x 2(a，b)，使得f(x1)-f(a)0，f(x 2)-f(b)0，以 f(a)，f(b)不是 f(x)在a，b的最小值，所以 f(x)在a，b上的最小值只可能在(a，b)内取得，由费尔马定理可知，至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0其他命题可用举反例排除法来求解令 f(x)=x-x2，则 f(x)在0，1可导，且f(0)=1， ，但对于 x(0，1)，f(x)=x(1-x)0=f(0)=f(1)，可排除，；令 f(x)=x2-x，则 f(x)在0，1可导，且f(0)=-1，4
11、.设在全平面上有 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(B)）解析：详解 由 可知，固定 y，f(x，y)关于 x 单调增加；由5.设 A 为三阶矩阵，E 为三阶单位阵， 是两个线性无关的三维列向量，且 A 的行列式|A|=0，A=，A=，则行列式|A+3E|的值等于A0 B18 C6 D24（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(D)）解析：详解 由6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是Ar(A)=n Br(A)=mCr(B)=n Dr(B)=s（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(A)）解析：详解
12、 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 ns 阶矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充要条件是(A)r(A)=n (B)r(A)=m (C)r(B)=n (D)r(B)=s显然 Bx=0 的解是 ABx=0 的解；若要7.设 X，Y 是两个随机变量，且 DX0，DY0，则下列说法中错误的有若 X，Y 相互独立，则 X，Y 不相关若 X，Y 不相关，则 XY=0若 X，Y 不相关，则 X，Y 相互独立若 X，Y 均服从正态分布，则 X+Y 也服从正态分布A B C D（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(D)）解析：详解 由独立和不相关的性质可知，正确，而两个变量不相关推不出相
13、互独立，且仅当 X，Y的联合分布服从正态分布时，X，Y 的线性组合才服从一维正态分布，所以，错误，故选(D)8.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN(，4)的简单随机样本，设 H0:=0，H 1:0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为A2(1)-1 B2-2(1)C D （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(B)）解析：详解 由题设可知， ，当 =0 时， 犯第一类错误的概率为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 当 x0 时， ，所以该极限为
14、“1 ”型，所以故原极限=10.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，其中 f 可导，且 f(0)0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由题设可知，x= 是区间-，的端点，所以该傅里叶级数在点 x= 处收敛于12.若可微函数 f(x，y)对任意 x，y，t 满足 f(tx，ty)=t 2f(x，y)，P 0(1，-2，2)是曲面 z=f(x,y)上的一点，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4x-z-2=0）解析：详解 由 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 x 求偏
15、导得 fx(tx，ty)=tf x(x，y)，由 ，两边对 y 求偏导得13.设 n 阶可逆矩阵 A 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 14.在总体 N(1，4)中抽取一容量为 5 的简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，则概率Pmax(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：详解Pmax(X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=1-Pmax(X1，X 2，X 3，X 4，X 5)1=1-PX11，X 21，X 31，X 41，X 51=1-PX11PX 21PX 31PX 41PX 51）解
16、析：三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求所有(0，+)上的正连续函数 g(x)，使得对任意 x0，有（分数：10.00）_正确答案：(题设等式两边对 x 求导，并整理得，解得上式两边对 x 求导得，即 ，两边积分得或 )解析：16.设|a|1，求 （分数：10.00）_正确答案：( ，令 ，)解析：设 f“(x)在0，1上连续，且 f(0)=f(1)=0求证：（分数：10.00）(1).*；（分数：5.00）_正确答案：( )解析：(2).*（分数：5.00）_正确答案：(记 ，则由()有)解析：设 D：0x2，0y2（分数：10.00）(1).求*；（分数：5.00）_正确答案
17、：(令 ，有)解析：(2).设 f(x，y)在 D 上连续，且*，证明：存在(，)D，使*（分数：5.00）_正确答案：(因为 f(x，y)在 D 上连续，得|f(x，y)|在 D 上连续，所以，|f(x，y)|在 D 上存在最大值，即存在点(，)D，使得|f(，)|为|f(x，y)|在 D 上的最大值由已知得即存在(，)D，使 )解析：17.设有一半径为 R 的球体，P 0是此球表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该点到 P0的距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置（分数：10.00）_正确答案：(设所考虑的球体为 ，球心为 O1，以定点 P0为原点，以射线 P0O1为 z
18、 轴正向，建立直角坐标系，则球面的方程为x2+y2+z2=2Rz设 的重心位置为 ，由对称性，得 而故 )解析：18.设齐次线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(所给方程组的系数矩阵为 A，则)解析：设二次型 的矩阵合同于（分数：10.00）(1).求常数 a；（分数：5.00）_正确答案：(该二次型的矩阵为 ，由题设可知 A 与 合同，所以 r(A)=2，即有 ，所以 )解析：(2).用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准型（分数：5.00）_正确答案：(由可得特征值 1=0， 2=4， 3=9由(0E-A)x=0 可得属于 0 的特征向量 ，由(4E-A)x=0 可得
19、属于 4 的特征向量 ，由(9E-A)x=0 可得属于 9 的特征向量 ，因为对实对称矩阵来讲，不同特征值对应的特征向量正交，所以只需单位化即可，令 Q=( 1， 2， 3)，x=Qy，于是 )解析：设随机变量 X 的概率密度为对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令（分数：10.00）(1).求常数 a 及 PX10，X 20)；（分数：5.00）_正确答案：(由 可得，解之得 ，于是随机变量 X 的概率密度为由题设可知 X1，X 2相互独立，所以)解析：(2).求Y 1，Y 2的联合分布（分数：5.00）_正确答案：(所以Y 1，Y 2的联合分布如下：)解析：设总体 X 服从指数分布，概率密度为X1，X 2，X n为取自总体 X 的简单随机样本（分数：15.00）(1).证明*仍服从指数分布；（分数：5.00）_正确答案：(X 的分布函数为而 ，于是所以 服从参数为 )解析：(2).求常数 C，使 Z=C *为 的无偏估计；（分数：5.00）_正确答案：( )解析：(3).指出 Z 与*哪个更有效（分数：5.00）_正确答案：(所以 )解析：
