1、考研数学一-139 及答案解析(总分：210.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r()=n，则 AX=b 有唯一解D.若 r()=m，则 AX=b 一定有解2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行
2、向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关4.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数5.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN，(，4)的简单随机样本，设 H0：=0，H 1：0 的拒绝域为则犯第一类错误的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设三为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(-1，1，-2)处的法线方程为( )（分数：4.00）
3、A.B.C.D.7.当 x0 时，（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看， （分数：4.00）填空项 1:_10.摆线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f， 分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令P=
4、(4 1， 2- 3， 2+2 3)，则 P-1(A*+3E)P 为_（分数：4.00）填空项 1:_14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：154.00)设 g(x)二阶可导，且 （分数：22.00）_15.设 a 为实数，问方程 ex=ax2。有几个实根?（分数：11.00）_16.计算 （分数：11.00）_17.设 f(x)为连续函数，=(x，y，z)|x 2+y2+z2t 2，z0)，为 的表面，D xy为 在 xOy 平面上的投影区域，L
5、 为 Dxy的边界曲线，当 t0 时有（分数：11.00）_18.设 un(x)满足 （分数：11.00）_设 （分数：22.00）_设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 31.求矩阵 A 的特征值；（分数：22.00）_设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：33.00）_19.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n)，问k1，k 2，
6、k n应取何值，才能在使用 （分数：11.00）_考研数学一-139 答案解析(总分：210.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r()=n，则 AX=b 有唯一解D.若 r()=m，则 AX=b 一定有解 解析：详解 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)=r(*)=m，于是若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解，选(D)2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因
7、为 f(0-0)=f(0)=f(0+0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为*不存在，所以 f(x)在 x=0 处连续但不可导，选(B)3.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关 解析：详解 设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n因为 BA=C，所以，r(C)r(
8、A)，r(C)r(B)若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，(A)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若n=S，则 A 的行向量组线性无关，(B)不对；若 r(A)=s，因为 r(C)s，所以不能断定 C 的列向量组线性相关还是无关，(C)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，选(D)4.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D
9、.是连续函数解析：详解F Y(y)=PYY)=Pmin(X，2)y=1-Pmin(X，2)y=1-PXY，2Y=1-PXyP2y)，当 y2 时，F Y(y)=1；*5.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN，(，4)的简单随机样本，设 H0：=0，H 1：0 的拒绝域为则犯第一类错误的概率为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 2=4 已知，所以取检验统计量*犯第一类错误的概率为*2(1)，选(B)6.设三为由直线 绕 x 轴旋转产生的曲面，则上点 P=(-1，1，-2)处的法线方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 设 M(x，y，z)为曲面上
10、的任意一点，过 M 点且垂直于 x 轴的圆交直线于点 M0(x，y 0，z 0)，圆心为 T(x，0，0)，由|MT|=|M 0T|得*7.当 x0 时，（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解*8.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 其中 为曲线 从 z 轴的正向看， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：详解 设曲线*所在的截口平面为，取上侧，其法向量为，n=0，一 3，1，法向量的方向余弦为*由斯托克斯公式得*曲面：z=3y+1，其在：xOy 平面内的投影区域为 Dxy：x 2+y24y，*10.摆线
11、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 对x，x+dx(*0，2a，*11.设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x)；当 x 为 f(x)的间断点时，*12.设 f， 分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解*13.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令P=(4 1， 2- 3， 2+2
12、 3)，则 P-1(A*+3E)P 为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为 A 的特征值为 1=-2， 2= 3=1，所以 A*的特征值为 1=1， 2= 3=-2，A *+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 4 1， 2- 3， 2+2 3也为 A 的线性无关的特征向量，所以 4 1， 2- 3， 2+2 3也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以*14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 令事件 A=所取两件产
13、品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品，*三、解答题(总题数：9，分数：154.00)设 g(x)二阶可导，且 （分数：22.00）_正确答案：(当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，)解析：_正确答案：()解析：15.设 a 为实数，问方程 ex=ax2。有几个实根?（分数：11.00）_正确答案：(当 a=0 时，方程无解；1)当 a0 时，方程无解；2) 时，方程有两个根，分别位于(-，0)内及 x=2；3) 当 时，方程有三个根，分别位于(-，0)，(0，2)，(2，+)内；4) 当 )解析：16.计算 （分数：11.00）_正确答案：(由对称性得)解析：17.设 f(x)
14、为连续函数，=(x，y，z)|x 2+y2+z2t 2，z0)，为 的表面，D xy为 在 xOy 平面上的投影区域，L 为 Dxy的边界曲线，当 t0 时有（分数：11.00）_正确答案：(令 1：x 2+y2+z2=t2(z0)， 2：z=0(x 2+y2t 2)，则)解析：18.设 un(x)满足 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设 （分数：22.00）_正确答案：(当 a-6，a+2b-40 时，因为 r(A)r( )解析：_正确答案：(当 a-6，a+2b-4=0 时， 可由 1， 2， 3唯一线性表示，表达式为 =2 1- 2+0 3；当 a=-6 时，当 a=-6，b5
15、 时，由 可由 1， 2， 3唯一线性表示，表达式为 =6 1+1 2+2 3；当 a=-6，b=5 时，由 )解析：设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 31.求矩阵 A 的特征值；（分数：22.00）_正确答案：(令 P=( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3线性无关，所以 P 可逆，因为 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+43，所以(A 1，A 2，A 3)=( 1+3 2，5 1- 2， 1- 2+43)，从而 A( 1， 2，3)=( 1， 2， 3) )解
16、析：_正确答案：(因为 AB，所以 B 的特征值为 1=-4， 2= 3=4)解析：设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：33.00）_正确答案：(PX+Y=0=PY=-X=P|X|1=1-PX1)=1-(1-e )=e )解析：_正确答案：(F Y(y)=Pyy=Pyy，0X1+PYY，X1)=PXy，0X1+PX-y，X1当 y-1 时，FY(y)=PX-y=1-PX-y=e y ；当-1y0 时，F Y(y)=PX1)=e - ；当 0Y1 时，FY(y)=P0Xy)+PX1=1-e y +e ；当 y1 时，F Y(y)=P0X1+PX1=1)解析：_正确答案：(因为所以 )解析：19.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n)，问k1，k 2，k n应取何值，才能在使用 （分数：11.00）_正确答案：()解析：
