1、考研数学一-138 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)，g(x)在 a 点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0；f(a)0，g(a)0，令 则_。（分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 1=(-1，1，a4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-43.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D
2、.4.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2，则由切比雪夫不等式，有 P|X-|3_（分数：4.00）A.B.1C.0.5D.0.25.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.6.若 n 阶非奇异矩阵 A 的各行元素之和为 2，则 A-1+A2必有一个特征值为_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1= ，PX1=PY1= ，则 Prain(X，Y)1)=_（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知平面 平行于直线 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 g(x)= 又 f(x)在 x=
3、0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，-2)处的梯度 gradu|M=_（分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu=_（分数：4.00）填空项 1:_13.曲线 r=3cos，r=1+cos 所围图形的公共部分面积 A=_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：
4、94.00)15.设（分数：9.00）_16.已知两曲线 y=f(x)与 y= dt 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 （分数：9.00）_17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明：（分数：11.00）_18.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分（分数：11.00）_19.证明方程 lnx= （分数：10.00）_20.设四阶矩阵（分数：11.00）_21.设 A，B 为同阶方阵(1) 如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题
5、不成立(3) 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：11.00）_22.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，X 的分布密度为：（分数：11.00）_23.设总体 X 服从(0，(0)上的均匀分布，X 1，X 2，X n是来自总体 x 样本，求 的最大似然估计量与矩阵估计量（分数：11.00）_考研数学一-138 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)，g(x)在 a 点的某邻域内二阶可导，且 f(a)=g(a)=0；f(a)0，g(a)0，令 则_。（分数：4.00）A.B.C. D.
6、解析：考点提示 曲线的拐点解题分析 *即*必*故*在 x=a 的左右异号，(a，*(a)是曲线的拐点2.已知 1=(-1，1，a4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5 B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-4解析：考点提示 矩阵特征值、特征向量以及线性无关的判定解题分析 因为 1， 2， 3是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，即秩( 1， 2， 3)=3由*知，其秩为 3 时 a5故选 A3.已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=
7、0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 等价无穷小解题分析 利用等价无穷小的代换求得 f(x)由于 x0 时，1-cosx*所以令 f(x)=x2，则 f(x)符合原题设条件而 f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0，取极小值则 A，B，C 均不正确，选 D4.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2，则由切比雪夫不等式，有 P|X-|3_（分数：4.00）A. B.1C.0.5D.0.2解析：考点提示 切比雪夫不等式解题分析 由切比雪夫不等式，对于任意 0，有 PX-E(X)|*因为 E(X)=，D(X)= 2，取=3，有*5.曲线 （分数：4.00）
8、A.B. C.D.解析：考点提示 求渐近线解题分析 因*故 y=*是该曲线的水平渐近线又*故 x=0 是该曲线的垂直渐近线6.若 n 阶非奇异矩阵 A 的各行元素之和为 2，则 A-1+A2必有一个特征值为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 矩阵的特征值解题分析 由于非奇异矩阵各行元素之和为 2，A(11，1) T=2(11，1) T=2 是 A 的特征值由于 A 可逆， 1=*是 A-1的特征值，且 22是 A2的特征值故 A-1+A2有一特征值为*7.设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1= ，PX1=PY1= ，则 Prain(X，Y)1)=_（分数：4.00）A
9、.B.C. D.解析：考点提示 随机变量的计算解题分析 Pmin(X，Y)1=PX1Y1*8.已知平面 平行于直线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 法向量、平而方程解题分析 依题可设平面 的法线向量为*又设曲面 z=x2+y2+1 在(x 0，y 0，z 0)处的切平面法向量为2x 0，2y 0，-1则由*即所求平面 的方程为*亦即 16x+8y-16z+11=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 g(x)= 又 f(x)在 x=0 处可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 根据极限求导数解题分析 *而*10.函数 u=ln
10、(x2+y2+z2)在点 M(1，2，-2)处的梯度 gradu|M=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 梯度的计算解题分析 直接计算，得*11.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 泰勒级数解题分析 由题设知：*12.向量场 u(x，y，z)=xy 2i+yezj+xln(1+z2)k 在点 P(1，1，0)处的散度 divu=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 散度计算公式解题分析 直接由散度计算公式，得*13.曲线 r=3cos，r=1+
11、cos 所围图形的公共部分面积 A=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 曲线积分解题分析 解方程组*故*14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 伴随矩阵解题分析 已知|B *|=|B|3，而|B|=|A 1|*|=|A1|A2|-1B 是 4 阶矩阵，|B *|=|B|3，而|B|可用拉普拉斯展开式来计算，于是*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设（分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点提示 求定积分。16.已知两曲线 y=f(x)与 y= dt 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 （分
12、数：9.00）_正确答案：(解题分析 由已知条件得 f(0)的导数 f(0)= 故所求切线方程为 y=x由导数定义及数列极限与函数极限的关系，可得)解析：考点提示 导数定义及数列极限与函数极限17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明：（分数：11.00）_正确答案：(令类似处理，又有将和相加，并由题设知(x-y)f(x)-f(y)0， 就有)解析：考点提示 二重积分证明题18.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分（分数：11.00）_正确答案：(1) 记曲线 y=asinx(x0，)为 La，则(2)
13、 求 I(a)的最小值点)解析：考点提示 求曲线积分19.证明方程 lnx= （分数：10.00）_正确答案：(记 0，方程化为 lnx= -k令 f(x)=lnx- +k，则 f(x)= 由 f(x)=0 解得唯一驻点 x=e，且 f(x)在此由正变负，x=e 是极大点也是最大点，最大值为 f(e)=k0；又由 =-， )解析：考点提示 函数最大值的证明20.设四阶矩阵（分数：11.00）_正确答案：(知(AB) T=BTAT，知(E-C -1B)TCT=C(E-C-1B)T=(C-B)T那么由 A(C-B) T=E 知，A=(C-B) T-1=(C-B)-1T由得故)解析：考点提示 根据转
14、置矩阵求矩阵21.设 A，B 为同阶方阵(1) 如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立(3) 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立（分数：11.00）_正确答案：(1) 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故|E-B|=|E-P -1AP|=|P-1EP-P -1AP|=|P-1(E-A)P|=|P -1|E-A|P|=|E-A|(2) 令 ，那么|E-A|= 2=|E-B但 A，B 不相似，否则，存在逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0，从而 A=POP-1=0矛盾亦可从 r(A)=1，r(
15、B)=0 可知 A 与 B 不相似(3) 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n则有A 相似于 B 也相似于即存在可逆矩阵 P，Q 使)解析：考点提示 可逆矩阵的证明22.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，X 的分布密度为：（分数：11.00）_正确答案：(因为所以所以)解析：考点提示 参数估计23.设总体 X 服从(0，(0)上的均匀分布，X 1，X 2，X n是来自总体 x 样本，求 的最大似然估计量与矩阵估计量（分数：11.00）_正确答案：(1) 总体 X 的密函数是似然函数是记 x(n)=maxxi，当 x (n)时，L()是单调减小函数，所以，当 =x (n)= 时，L(，x 1，x 2，x n)最大所以 是 的最大似然估计量(2) 因为令 所以 的矩阵估计量是 )解析：考点提示 最大似然估计量
