1、考研数学一-133 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X 和 Y 相互独立D.X 和 Y 不相互独立2.设每次试验成功的概率为 p(0p1)，独立重复进行试验，直到第 n 次才取到 r(1rn)次成功的概率是（分数：4.00）A.B.C.pr(1-p)n-rD.3.n 阶矩阵 A 和 B 有相同的特征值，且都有 n 个线性无关的特征向量，则不成立的是（分数：4.00）A.
2、A2与 B2相似B.r(A+E)=r(B+E)C.|A-E|=|B-E|D.A 与 B 有相同的特征向量4.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)=x2tanx，当 x时是（分数：4.00）A.有界函数B.无穷大量C.无界函数但不是无穷大量D.单增函数7.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是（分数：4.00）A.g(0，0)=0B.(x，y)存在C.(x，y)存在且 g(0，0)=0D.g(x，y)
3、在点(0，0)处连续，且 g(0，0)=08.n 维向量 1， 2， s线性无关的充要条件是（分数：4.00）A.存在不全为 0 的 k1，k 2，k s使 k1 1+k2 2+ks s0B.添加向量 后， 1， 2， s， 线性无关C.去掉任一向量 i后， 1， i-1， i+1， s线性无关D. 1， 2- 1， 3- 1， 3- 1线性无关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.y“+4y=cos2x 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_11.力场 F=yz，-2xz，2xy 沿曲面 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数
4、：4.00）填空项 1:_13.若 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 和 Y 独立，都在区间1，3上服从均匀分布，引进事件 A=Xa，B=Ya，若 PAB=（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若 u=f(xyz)，f(0)=0，f(1)=1，且 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(-L，L)内连续，在 x=0 可导，且 f(0)0(1)求证：对任意给定的 0xL，存在 001，使(2)求极限 （分数：10.00）_17.设 x00， (n=0，1，2，)(1)证明：1x n2；(2)求 （分数：10.00）_18.计算 （分数：1
5、0.00）_19.设 f(x)在 x=0 点处连续，且 （分数：10.00）_20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= （分数：11.00）_21.三阶实对称矩阵的三个特征值为 1=6， 2= 3=3，对应于 2= 3=3 的特征向量为 ，（分数：11.00）_22.假设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间(EX)为 5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下，工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 FY(y)（分数：11.00）_23.(1)设 X1，X 2，X n是取自总体 XN(， 2)的一组简
6、单随机样本，试证 是 2的一致估计量(2)设 X1，X 2，X 25是取自于正态总体 N(，9)的一组简单随机样本，其中 为未知参数，如果对检验问题 H0:= 0，H 1: 0，取检验的拒绝域为 =(x 1，x 2，x 25):| - 0|C，其中（分数：11.00）_考研数学一-133 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（分数：4.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X 和 Y 相互独立D.X 和 Y 不相互独立解析
7、：详解 因 E(XY)=E(X)E(Y)，于是cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X，Y)=D(X)+D(Y)故选(B)评注 也可利用有关期望、方差、协方差、相关系数的 5 个等价条件直接得(B)2.设每次试验成功的概率为 p(0p1)，独立重复进行试验，直到第 n 次才取到 r(1rn)次成功的概率是（分数：4.00）A.B. C.pr(1-p)n-rD.解析：分析 应注意第 n 次一定是成功详解 一共为 n 次，共有 r 次成功，所以得 pr，n-r 次失败，所以得(1-p) n-r，按乘法原理，得 pr(1-p)n-r由于最
8、后一次一定成功，所以前 n-1 次试验中有 r-1 次成功，按加法原理，有系数*所求概率为*，(B)为答案评注 应正确理解“独立重复进行试验，直到 n 次才取到 r 次成功”3.n 阶矩阵 A 和 B 有相同的特征值，且都有 n 个线性无关的特征向量，则不成立的是（分数：4.00）A.A2与 B2相似B.r(A+E)=r(B+E)C.|A-E|=|B-E|D.A 与 B 有相同的特征向量 解析：分析 根据题设，A、B 均与同一对角形矩阵相似，从而 A、B 为相似矩阵，再利用相似矩阵的性质进行判断即可详解 由题设，A、B 均可对角化，且相似于同一对角矩阵，故 AB，于是 A2B 2，A+EB+E
9、，A-EB-E，从而有 r(A+E)=r(B+E)，|A-E|=|B-E|，尽管 A、B 的特征值相同但特征向量不一定相同，故选(D)评注 若 AB，则特征值相同，但特征向量不一定相同事实上，设存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，由A i= i i知 P-1AP(P-1 i)=P-1A i=P-1 i i= i(P-1 i)即 BP-1 i= iP-1 i可见 B 对应特征值 i的特征向量为 P-1 i4.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 对于偶次根式求极限时，要区分 x+及 x详解 *所以在 x+时(右侧)有斜渐近线*所以 x-(左侧)有水平渐近线*所以(B)为答案评注
10、(1)*，则 x=x0为铅直渐近线；(2)*，则 y=a 为右侧水平渐近线；*，则 y=a 为左侧水平渐近线；(3)*，则 y=kx+b 为右侧斜渐近线；*=k，*，则 y=kx+b 为左侧斜渐近线；(4)在同一侧，不能同时存在水平渐近线和斜渐近线5.设正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由已知，ln(1+a n)0，即 an0*，即 an0(n)又*，所以级数*与*有相同的敛散性，再由*，由比较判别法即可得到结果详解 因为正项级数*收敛，所以，a n0，且 an0(n)又 *，于是正项级数*与*有相同的敛散性，即*收敛，且*也收敛又*级数*收敛，所以，由比
11、较判别法，级数*绝对收敛，故选(B)评注 本题考查了级数收敛的必要条件及判别法一般地，对于正项级数*与*，若 un与 n是同阶或等价无穷小(n)，则*与*有相同的敛散性6.设 f(x)=x2tanx，当 x时是（分数：4.00）A.有界函数B.无穷大量C.无界函数但不是无穷大量 D.单增函数解析：分析 无穷大量*无界函数，无界函数*无穷大量详解 取 xn=k，则 f(k)=(k) 2tank=0取*，则*当 x时 f(x)无界，但 f(x)不是无穷大量，(C)为答案评注 x时的无界函数：不存在 M 当 x时，|f(x)|M，x时的无穷大量：*，当|f|x 时|f(x)|M注意二者之间的区别7.
12、已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是（分数：4.00）A.g(0，0)=0B.(x，y)存在C.(x，y)存在且 g(0，0)=0D.g(x，y)在点(0，0)处连续，且 g(0，0)=0 解析：分析 因为 f(x，y)含有绝对值且已知只给出 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，所以，利用偏导数定义讨论偏导数的存在性详解 因为*所以，f x(0，0)与 fy(0，0)存在的充要条件是极限*与*存在且都等于零因此，当 g(x，y)在点(0，0)处连续，且 g(0，0)=0
13、时，有 *即 *故选(D)评注 本题考查二元函数偏导数、极限、连续的概念*，反之则不然所以，(D)是充分条件而不是必要条件8.n 维向量 1， 2， s线性无关的充要条件是（分数：4.00）A.存在不全为 0 的 k1，k 2，k s使 k1 1+k2 2+ks s0B.添加向量 后， 1， 2， s， 线性无关C.去掉任一向量 i后， 1， i-1， i+1， s线性无关D. 1， 2- 1， 3- 1， 3- 1线性无关 解析：分析 逐一用定义进行分析或用反例进行排除详解 若向量组中有非零向量，必有不全为 0 的数 k1，k 2，k s使 k1 1+k2 2+ks s0，但 1， 2， s
14、不一定线性无关，故不能选(A)(B)仅是充分条件，并不是必要条件例如，一组基是线性无关的，此时已不存在 ，在添加 后仍能保证向量组线性无关(C)只是必要条件，并不是充分条件一个向量组线性无关，那么其任何一个部分组都是线性无关的由于初等变换不改变向量组的秩，(D)相当于对 1，a 2， s为列的矩阵作初等变换所得的结果可见 r( 1，a 2， s)=r( 1，a 2- 1， s-a1)，因此 r( 1，a 2， s)=s*r( 1，a 2- 1， s-a1)=s故选(D)评注 若 1，a 2， s线性无关，则添加分量后仍线性无关，但再添加新的向量后则不一定线性无关注意添加分量和添加向量是有差别的
15、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 当 x0 +时，*，故有*详解 *评注 在求极限过程中，对乘、除项应尽量利用无穷小量的等价代换简化计算10.y“+4y=cos2x 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 y“+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 r2+4=0它的两个特征根为 r1,2=2i因此对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos2x+C2sin2x又因为i=2i 是特征方程的根，所以，应设非齐次方程的特解为y“=x(Acos2x+Bsin2x)，则 (y *)=x(-
16、2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)“=-x(4Acos2x+4Bsin2x)-4Asin2x+4Bcos2x将以上两式代入方程 y“+4y=cos2x 得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x比较系数得 A=0，*故原方程通解为*评注 这是一个二阶常系数线性非齐次方程的求解问题，容易犯的错误是将非齐次方程的特解设为y*=xAcos2x，注意，形如 y“+4y=pcos2x，或 y“+4y=qsin2x，或 y“+4y=pcos2x+qsin2x(其中 p，q 是不等于零的常数)，其特解都应设为 y*=x(Acos2x+Bsin2x)11.力场 F=yz
17、，-2xz，2xy 沿曲面 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 变力 F 沿空间曲线做功的问题，可转化为空间曲线积分详解 记 l 为曲面与平面的交线自点 A(a，0，0)到 B(-a，0，0)的一段，l 即为*于是*评注 *12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 二重积分的问题，首先应画出积分区域图详解 由积分区域图知：*评注 用极坐标计算二重积分，理论上无论是先对 积分或先对 积分都可以，但实际计算时，经常是先对 积分，再对 积分13.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 r(AB-2B)=r(A-2E)B若
18、 A-2E 可逆，则 r(AB-2B)=r(B)详解 AB-2B=(A-2E)B而*显然 |A-2E|=-80从而 A-2E 可逆，故 r(A-2E)B)=r(B)=2评注 一般地，若 r(Amn=n，则 r(AB)=r(B)；若 r(Bns)=n，则 r(AB)=r(A)14.设随机变量 X 和 Y 独立，都在区间1，3上服从均匀分布，引进事件 A=Xa，B=Ya，若 PAB=（分数：4.00）_解析：分析 令 P(A)=p，则 P(B)=1-p由*可得关于 p 的关系式解出 p 后，再利用 P(xa)=p 求 a即可详解 设 p=P(A)由 X 与 Y 同分布可知P(*)=PYa=PXa三
19、、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.若 u=f(xyz)，f(0)=0，f(1)=1，且 （分数：10.00）_正确答案：(详解 因为*故 3xyzf“(xyz)+f(xyz)=0令 xyz=t，即 3tf“(t)+f(t)=0设 =f(t)，得 3t+=0 及*从而*因为 f(0)=0，所以 C=0于是*，即*)解析：分析 对函数 u=f(xyz)按次序求高阶偏导*代入已知式，可令 xyz=t 得 t 的微分方程解之评注 本题综合考查了多元函数求偏导与微分方程的求解问题利用偏导数引出微分方程是一类典型的命题考查的情形16.设函数 f(x)在(-L，L)内连续，在 x=0 可导，且
20、f(0)0(1)求证：对任意给定的 0xL，存在 001，使(2)求极限 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)令*，则 F(x)在0，x上可微，且 F(0)=0，根据拉格朗日中值定理，*01，使 F(x)-F(0)=F(x)x即：*(2)由(1)中等式得*令 x0 +，两边分别取极限，由于*于是有 *由于 f(0)0，故*)解析：分析 (1)对左端函数在0，x上直接应用拉格朗日中值定理即可(2)利用(1)的结果，把左端凑成导数定义形式，然后取极限，左端可应用洛必达法则并结合导数的定义求极限评注 (1)也可用积分中值定理证明：*=x(f(x)-f(-x)，其中 在 0 与 x 之间，故
21、 =，0117.设 x00， (n=0，1，2，)(1)证明：1x n2；(2)求 （分数：10.00）_解析：分析 凡是用递推公式出现的数列，一般要使用定理：单调有界数列一定有极限评注 应注意到本题中x n的单调性和 x1的取值有关，但由 1x n2 知，任何情形，x 018.计算 （分数：10.00）_解析：分析 D=(x，y)：x 2+y2-2x-2y0=(x，y):(x-1) 2+(y-1)2219.设 f(x)在 x=0 点处连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 x1=x2=0，则 f(0)=2f(0)，f(0)=0任取 x0(-，+)，*y=f(x)在 x=x0连续
22、由 x0的任意性知 y=f(x)在(-，+)连续)解析：分析 由 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，取特殊的 x1，x 2可算出某些函数值，该题中取 x1=x2=0，可算出f(0)=0评注 连续性有两个定义：*第一个定义经常用于证明题，第二个定义经常用于计算题20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)二次型 f 的矩阵为*设 A 的特征值为 i(i=1，2，3)，由题设，有 i=a+2+(-2)=1； i=|A|=2(-2a-b2)=-12解出 a=1，b=2(已知 b0)(2)由矩阵 A 的特征多项式*=(-2) 2(+3)
23、，解出 A 的特征值 1= 2=2， 3=-3对 =2，由(2E-A)X=0，即*得基础解系 1=(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T，即 =2 的线性无关的特征向量对 =-3，由(-3E-A)X=0，即*得基础解系 3=(1，0，-2) T，即 =-3 的特征向量由于 1， 2已正交，故只需单位化，有 1=(0，1，0) T，*那么，令 *则在正交变换 x=Py 下，二次型 f 有标准形f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=*)解析：21.三阶实对称矩阵的三个特征值为 1=6， 2= 3=3，对应于 2= 3=3 的特征向量为 ，（分数：11.00）_正确答案：(详解 设
24、1=6 对应的特征向量为 1=(x1，x 2，x 3)T， 1 2， 1 3，*令*则*)解析：分析 设 1对应的特征向量为 1，对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交，所以 1 2， 1 3评注 本题也可将 1, 2， 3标准化( 2， 3已经是正交向量)得正交矩阵 Q，则*22.假设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间(EX)为 5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下，工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 FY(y)（分数：11.00）_解析：分析 由本题的已知条件知 Y=minX，223.(1)设 X
25、1，X 2，X n是取自总体 XN(， 2)的一组简单随机样本，试证 是 2的一致估计量(2)设 X1，X 2，X 25是取自于正态总体 N(，9)的一组简单随机样本，其中 为未知参数，如果对检验问题 H0:= 0，H 1: 0，取检验的拒绝域为 =(x 1，x 2，x 25):| - 0|C，其中（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)由于*，并且有E(S2)= 2，*根据切比雪夫不等式有：*即得*可见 S2是 2的一致估计量(2)因为 XN(，9)，所以*在 H0成立下，*即，*所以 C=1.176)解析：分析 (1)一致性的证明一般用切比雪夫不等式；(2)假设检验的统计量为：*评注 由(1)知*是总体 X 的一致、无偏估计量，但不一定是有效估计量
