1、考研数学一-131 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则 X2服从的分布是（分数：4.00）A.自由度为 n 的 2分布B.自由度为(1，n)的 F 分布C.自由度为 n-1 的 2分布D.自由度为(n，1)的 F 分布2.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ f(x，y)dxdy，其中 D 由 y=0，y=x 2，x=1 围成，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=mn则下列命题中不正确的是(A)
2、 A Tx=0 只有零解B.ATAx=0 有无穷多解C.D.b，Ax=b 有无穷多解4.n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充分必要条件是（分数：4.00）A.r(A) =rB.(B) A、B 的正惯性指数相等C.A、B 为正定矩阵D.r(A) =r(B) ，且 A、B 的正惯性5.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有：（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)06.下列结论正确的是（分数：4.00）A.若 u=(
3、x)在 x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定不可导B.若 u=(x)在 x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定不可导C.若 u=(x)在 x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定可导D.若 u=(x)在 x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定不可导7.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)，而且 X 与-X 有相同的分布函数，则（分数：4
4、.00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x)D.f(x)=-f(-x)8.an与 bn符合下列哪一个条件，可由 发散推出 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线 ，则曲线在 （分数：4.00）填空项 1:_11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶方阵 A、B 相似，A 2=2E，则行列式|AB+A-B-E|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从 N(， 2)，(0)，且二次方程 y2+
5、4y+X=0 无实根的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 u(x，y，z)在由球面 S：x 2+y2+z2=2z 所包围的闭区域 上具有二阶连续偏导数，且满足关系式 n为 S 的外法线方向的单位向量计算 （分数：10.00）_16.设函数满足条件|f(x)-f(y)|k|x-y|，x，ya，b，0k1取 x0a，b，构造序列 fn(x0)：f1(x0)=f(x0)，f n+1(x0)=ffn(x0)，n=1，2，证明：(1) 绝对收敛；(2) （分数：10.00）_17.设 r （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在闭区间0，
6、1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_19.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，试证明 （分数：10.00）_20.设方程组 （分数：11.00）_21.设 A、B 为两个 n 阶矩阵，已知：(1)A 有 n 个互异的特征值(2)A 的特征向量也是 B 的特征向量求证：AB=BA（分数：11.00）_22.设随机变量 X、Y 相互独立，且 （分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n+m(nm)独立同分布，且有有限期望与方差试求： 与 （分数：11.00）_考研数学一-131 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：
7、8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则 X2服从的分布是（分数：4.00）A.自由度为 n 的 2分布B.自由度为(1，n)的 F 分布 C.自由度为 n-1 的 2分布D.自由度为(n，1)的 F 分布解析：分析 利用 t 分布和 F 分布的定义即可详解 因为 Xt(n)，令*，其中 UN(0，1)，V 2(n)，U 与 V 相互独立，因此 U2 2(1)，U 2与 V也相互独立，从而有*，故选(B)评注 若 X2F(1，n)，由 F 分布的性质知，*2.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ f(x，y)dxdy，其中 D 由 y=0，y=x
8、2，x=1 围成，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 应注意*f(x，y)dxdy 是个数详解 令 A=*f(x，y)dxdy，f(x，y)=xy+A*(C)为答案评注 关于极限、定积分、二重积分、三重积分等都有以上类似的问题，例如上题可改成* 为0，10，10，1的立方体，求 f(x，y，z)3.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=mn则下列命题中不正确的是(A) A Tx=0 只有零解B.ATAx=0 有无穷多解C. D.b，Ax=b 有无穷多解解析：分析 注意是找不正确命题详解 由 r(AT)=r(A)=m 知，A Tx=0 只有零解；由
9、 r(ATA)r(A)=mn，知 ATAx=0 有无穷多解；*b，r(A)=r(A*b)=mn，可见 Ax=b 有无穷多解而*b，由 r(Amn)=m 知，r(A T)与 r(AT*6)不一定相等，于是 ATx=b 不一定存在解，更谈不上有唯一解，故(C)不正确，应选(C)评注 若 r(Amn)=m，则对*b，有 r(A)=r(A*b)=m，从而 Ax=b 一定有解4.n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充分必要条件是（分数：4.00）A.r(A) =rB.(B) A、B 的正惯性指数相等C.A、B 为正定矩阵D.r(A) =r(B) ，且 A、B 的正惯性 解析：分析 两个实对称矩阵合同
10、的充要条件是对应正、负惯性指数相同，而一个矩阵 A 的秩 r(A)=正惯性指数+负惯性指数详解 (A)必要非充分；(B)必要非充分；(C)充分但非必要，只有(D)才是充要条件评注 因为实对称矩阵 A 合同于对角阵*，由合同关系的传递性知 A 合同于 B*A、B 均合同于*成立5.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有：（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)0 解析：详解 由 f(x)=-f(-x)可知 f(x)为奇函
11、数，因奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，因此当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0评注 要明确以下几条 f的性质：(1)可导奇函数的导函数是偶函数(2)可导偶函数的导函数是奇函数(3)以 T 为周期的可导函数的导函数仍然以 T 为周期6.下列结论正确的是（分数：4.00）A.若 u=(x)在 x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定不可导B.若 u=(x)在 x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 y=f(x)在
12、 x0处一定不可导C.若 u=(x)在 x0处可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定可导 D.若 u=(x)在 x0处不可导，而 y=f(u)在 u0=(x 0)处不可导，则复合函数 y=f(x)在 x0处一定不可导解析：分析 用反例排除不正确答案详解 (A)不正确例如 u=(x)=x 2在 x=0 处可导，而 y=f(u)=|u|在 u=0 处不可导，但复合函数y=f(x)=x 2在 x=0 处可导(B)不正确例如 u=(x)=|x|在 x=0 处不可导，y=f(u)=u 2在 u=0 处可导，但复合函数 y=f(x)=x 2却在 x=0 处
13、可导(D)不正确例如 u=(x)=x+|x|在 x=0 处不可导，y=f(u)=u-|u|在 u=0 处不可导，但复合函数 y=f(x)=(x+|x|)-|x+|x|=0 却在 x=0 处可导由排除法可知(C)人选，也可以由定理直接看出(C)入选评注 对于常见不可导函数，如 f(x)=|x|，f(x)=*等应多加留意，往往可以作为做选择题时的典型反例7.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)，而且 X 与-X 有相同的分布函数，则（分数：4.00）A.F(x)=F(-x)B.F(x)=-F(-x)C.f(x)=f(-x) D.f(x)=-f(-x)解析：详解 利用分
14、布函数的性质 F(+)=1，F(-)=0 即可排除(A)，(B)，其次由*f(x)dx=1即可排除(D)，故选(C)评注 本题也可由分布函数的定义得到由-X 与 X 有相同的分布函数得-X 的分布函数P(-Xx)=P(X-x)=1-P(X-x)=1-P(X-x)=1-F(-x)=F(x)，即 1-F(-x)=F(x)，求导得 f(x)=f(-x)8.an与 bn符合下列哪一个条件，可由 发散推出 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 用比较判别法时应注意是否为正项级数本题可直接验证，也可举反例用排除法分析详解 因为*发散，所以*发散又 0|a n|b n，由正项级数的比较判别法可知，
15、*发散故(D)入选评注 反例：若*，则 anb n，a n|b n|，且*发散但*收敛，排除(A)，(B)；又*，则|an|b n|，且*发散，但*收敛排除(C)故正确选项为(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-1）解析：分析 f(x)在分段点 x=0 可导，必连续，于是有 f(0-)=f(0)=f(0+)，f -(0)=f+(0)，由此可定参数 a、b详解 由于 f(x)在 x=0 处可导，则 f(x)在 x=0 处连续，于是 f-(0)=f+(0)=f(0)，由于*，*于是-a=b又 *=1+2a则 9+6b=1+2a
16、因此 a=1，b=-1评注 本题为基础题型，综合考查了连续、导数的概念10.设曲线 ，则曲线在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *又 *所以，*因此，切线方程为*，即 *评注 (1)求*时，t 是变量，x 是常量，求*对 x 的导数时，x 是变量(2)*11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 将*化为*，进一步化为*求和即可详解 作幂级数*，令*，则*令 *，则*评注 幂级数求和一般方法有：利用已知函数的幂级数展开式、逐项求导、逐项积分或化为微分方程等12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 该题型是“
17、*”型，用洛必达法则详解 *评注 1有以下求导公式：*2等价无穷小代换+洛必达法则=求极限最佳方法13.设 n 阶方阵 A、B 相似，A 2=2E，则行列式|AB+A-B-E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 将 AB+A-B-E 分解为(A-E)(B+E)，然后由 AB 可推知 B+EA+E由此即可导出要计算的行列式详解 AB+A-B-E=(A-E)(B+E)由 AB 知，A+EB+E，于是|B+E|=|A+E|，故|AB+A-B-E|=|(A-E)(B+E)|=|A-E|B+E|=|A-E|A+E|=1(A-E)(A+E)|=|A2-E|=|E|=1评注 本
18、题综合考查了行列式、矩阵、相似等多个重要知识点14.设随机变量 X 服从 N(， 2)，(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 设 N(， 2)的分布函数为 F(x)，N(0，1)的分布函数为 (x)，则*详解 P(方程无实根)=P(16-4X0)=P(X4)=1-F(4)=*评注 1应掌握 N(， 2)和 N(0，1)之间的换算公式；2XN(， 2)，则*；XN(0，1)，则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 u(x，y，z)在由球面 S：x 2+y2+z2=2z 所包围的闭区域 上具有二阶连
19、续偏导数，且满足关系式 n为 S 的外法线方向的单位向量计算 （分数：10.00）_正确答案：(详解 设 n=cos，cos，cos，则由方向导数公式，)解析：分析 先求出方向导数，再用高斯公式评注 本题考查了方向导数、两类曲面积分的联系以及三重积分的计算16.设函数满足条件|f(x)-f(y)|k|x-y|，x，ya，b，0k1取 x0a，b，构造序列 fn(x0)：f1(x0)=f(x0)，f n+1(x0)=ffn(x0)，n=1，2，证明：(1) 绝对收敛；(2) （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)由已知，有|fn+1(x0)-fn(x0)|=ffn(x0)-ffn-1(x
20、0)|k|f n(x0)-fn-1(x0)|k n-1|ff(x0)-f(x0)|k n|f(x0)-x0|当 0k1 时， 收敛，收敛，即 绝对收敛(2)Sn=f2(x0)-f1(x0)+f3(x0)-f2(x0)+fn+1(x0)-fn(x0)=fn+1(x0)-f1(x0)，由(1)知 存在， )解析：分析 由已知条件可得|f n+1(x0)-fn(x0)|k n|f(x0)-x0|评注 *17.设 r （分数：10.00）_正确答案：(详解 类似可计算另两个偏导数于是原方程化为 改写为 r 2f“(r)+2rf(r)=r2lnr，即(r 2f(r)=r2lnr所以 由条件 f(r)在
21、r0 的小邻域内有界，所以应该 C1=0故 )解析：分析 根据 div(gradf(r)=*知，只需求出*，再由已知关系式转化为微分方程，然后再解此方程即可评注 微分方程*也可令 f(r)=u，转化为一阶线性微分方程*=lnr，再用标准公式求通解即可18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 F(x)=ef(x)arctanx，由积分中值定理得所以 即 而 在，1上用罗尔定理： (，1) )解析：分析 对于定积分表达式，经常使用积分中值定理此外和定积分表达式有关的找 的问题，经常设被积函数为辅助函数 F(x)评注 找中值
22、 的问题，设置辅助函数是关键对于已知条件由积分表达式给出的问题，设置辅助函数为被积函数即可以解决19.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，试证明 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 ，显然 (a)=0(x)单增(b)(a)=0，即 )解析：分析 将常数 b 设成 x，移项后构造辅助函数，然后利用单调性，证明不等式评注 本题也可用泰勒公式求解20.设方程组 （分数：11.00）_正确答案：(详解 S=n-r(A)，2=4-r(A)，r(A)=2，A 的三阶子行列式都为 0)解析：分析 由基础解系解向量个数 S=2 可求出 r(A)评注 若 r(A)=k，则所有的 k+1 阶
23、子行列式都是 0取某个特殊的子行列式可求出未知参数21.设 A、B 为两个 n 阶矩阵，已知：(1)A 有 n 个互异的特征值(2)A 的特征向量也是 B 的特征向量求证：AB=BA（分数：11.00）_正确答案：(详解 因为 A 有 n 个互异特征值 1， 2， n，所以 A 有 n 个线性无关的特征向量 1， 2， n，即A i= i i，i=1，2，n由(2)得 B i= i i，i=1，2，n 于是BA i=B( i i)= iB i= i i i=AB i对于 n 维向量空间 Rn中的任一向量 ，必存在唯一的 k1，k 2，k n，使=k 1 1+k2 2+kn n从而 )解析：分析
24、 若对*，有 AB=BA，则 AB=BA而 可表示为特征向量 1， 2， n的线性组合因此，只需证明对特征向量 i，有 AB i=BA i(i=1，2，n)即可而这利用特征值，特征向量的定义即可证明评注 本题也可用矩阵形式推导：令 1， 2， n是 A 的分别属于其不同特征值 1， 2， n的特征向量，则 1， 2， n线性无关，故 P= 1， 2， n可逆，且*22.设随机变量 X、Y 相互独立，且 （分数：11.00）_正确答案：(详解 设 U 的分布函数为 FU(u)，则FU(u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X+Yu|X=x 1)P(X=x1)+P(X+Yu|X=x 2)P(X=x
25、2)+P(X+Yu|X=x n)P(X=xn)=P(x1+Yu)P(X=x 1)+P(x2+Yu)P(X=x 2)+P(xn+Yu)P(X=x n)=P(Yu-x 1)p1+P(Yu-x 2)p2+P(Yu-x n)pn=FY(u-x1)p1+FY(u-x2)p2+FY(u-xn)pnf U(u)=FU(u)=f(u-x1)p1+f(u-x2)pz+f(u-xn)pn= )解析：分析 U 为离散型和连续型随机变量的和解这类问题的关键是全概公式评注 对二维随机变量的各种问题，经常使用全概公式，应熟练掌握求解该题的方法23.设 X1，X 2，X n+m(nm)独立同分布，且有有限期望与方差试求：
26、与 （分数：11.00）_正确答案：(详解 设 E(Xk)=a，D(X k)= 2，则cov(Y，Z)=E(Y-EY)(Z-EZ)又 DY=DZ=n 2，所以)解析：分析 利用期望、方差及协方差的运算性质进行计算即可评注 数字特征的计算一般通过分布利用定义进行讨论但对于抽象的随机变量，应注意利用运算性质进行推理本题中，*=E(X1-a)+(Xm-a)+(Xm+1-a)+(Xn-a)(Xm+1-a)+(xn-a)+(Xn+1-a)+(Xn+k-a)应注意(X 1-a)+(Xm-a)与(X m+1-a)+(Xn-a)以及(X n-1-a)+(Xn+k-a)相互独立，再利用相互独立随机变量积的数学期望等于数学期望的积，这样可方便地化简
