1、考研数学一-130 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设级数 收敛，下述论断正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 A,B,C 皆为三阶矩阵，BC,AB=AC,则 A 应为 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，a0 是一常数，则可以作为某随机变量的概率密度的是（分数：4.00）A.af(x).B.f(ax).C.f(x)+a.D.f(x+a).4.设直 （分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.下列命题正确的是 设 A，X，Y 为 n 阶矩
2、阵，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：4.00）A.若 A2=0，则 A=0B.若 A2=A，则 A=0 或 A=EC.若 AX=AY,且 A0，则 X=Y.D.若|A|=0,则|A *=0|.7.下列各题计算过程中正确无误的是 （分数：4.00）A.B.C.D.8.从正态总体 N(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n则可以作为未知参数 2( 20)的无偏估计量的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f 具有二阶连续偏导数, （分数：4.00）填空项 1:_10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)连续，交
3、换二次积分的顺序： （分数：4.00）填空项 1:_12.设 y1=xex与 y2=exsinx 为 n 阶常系数(实)线性齐次微分方程的两个特解，则正整数 n 的最小值为 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(，-，1) T是 AX=0 的解， 2=(，1，-) T是(A+E)X=0 的解，则常数 = 1（分数：4.00）填空项 1:_14.将一枚匀称的骰子重复抛掷 n 次，所掷出点数的平均值记为 ,根据辛钦大数定律，对于任意给定的正数 ，有 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设内壁为抛物面 z=x2+y2的容
4、器，原装有 8cm 3的水，现又注入 64cm 3的水，试问现水面比原水面（分数：10.00）_16.在变力 F=(1+y2)i+(x-y)j，的作用下，一质点沿线 y=ax(1-x)从点(0，0)移至点(1，0)，试确定参数a，使变力 F 做的功最小。（分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内有二阶导数，f (a)=f (b)=0，且存在 c(a，6)，使 f (c)0，试证：存在一点 (a，b)，使 f“()0（分数：10.00）_18.设 xn是方程 tanx-x 的正根，且从小到大排列：x 1x 2x n试证：级数 （分数：10.00）_19.设河宽为 a，
5、流速为 v1(常数)，两岸码头 O、A 之连线垂直于水流方向(即可令 OA 为 x 轴，O 为原点，水流方向与 y 轴平行)，船自 A 以速度 v2(v 1)开向 O 点，航向指向 O，试求航线方程及横渡一次所需的时间（分数：10.00）_20.已知 A、B 为四阶矩阵，若满足 AB+2B=0，r(B)=2，且行列式 |A+E|=|A-2E|=0 ()求 A 的特征值； ()证明 A 可对角化； ()计算行列式|A+3E|（分数：10.00）_21.试求一正交变换，使二次型 （分数：10.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX=1=0.4，PX=3=0.6，
6、Y 服从参数为 5 的指数分布，Z=XY求： ()Z 的分布函数 Fz(z)和概率密度 fZ(z)； ()Z 的数学期望 E(Z)和方差 D(Z)（分数：10.00）_23.设 XN(， 2)，其中 和 2为未知参数从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2 () 求 ； () 判断 （分数：10.00）_考研数学一-130 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设级数 收敛，下述论断正确的是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由题设知，a n0，从而存在正整数 N，当 nN，有
7、|a n|1，于是*，故*绝对收敛，正确 *2.若 A,B,C 皆为三阶矩阵，BC,AB=AC,则 A 应为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由*，知 B-C 的每一列都是 AX=0 的解向量 由 BC，从而 B-C0,故 AX=0 有非零解因此应有|A|=0 容易验证，上述 4 个选项中，只有 * 即选项(D)正确3.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，a0 是一常数，则可以作为某随机变量的概率密度的是（分数：4.00）A.af(x).B.f(ax).C.f(x)+a.D.f(x+a). 解析：分析 随机变量 X 的概率密度 f(x)具有如下性质： * 对于 a0，有 a
8、f(x)0，因此排除(A) 对于 a1，有*，因此排除(B) 对于 a0，有*，因此排除(C) 由于 f(x+a)0，*，因此选(D) 实际上，对于随机变量 Y=X-a，其分布函数为 FY(x)=PYx)=PX-ax)=P(Xx+a)=F X(x+a)， Y 的概率密度为 fY(x)=Fx(x+a)=f(x+a)， 其中 FX(x)是随机变量 X 的分布函数4.设直 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 直线 l1的方向向量 v1=4，1，-2， 直线 l2的方向向量 * * 从而排除选项(C)，(D) 余下考虑 l1与 l2是否相交 * 得 t=-3，于是得交点(-6，-3，9)
9、故选(A)5. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因* * 因此，I 1为正，I 2为负，即选项(D)正确6.下列命题正确的是 设 A，X，Y 为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：4.00）A.若 A2=0，则 A=0B.若 A2=A，则 A=0 或 A=EC.若 AX=AY,且 A0，则 X=Y.D.若|A|=0,则|A *=0|. 解析：分析 取*，有 A2=0，但 A0，故选项(A)不对 取*，有 A2=A，但 A0，AE，故选项(B)不对 * 有 AX=AY，且 A0，但 XY，故选项(C)不对 由排除法，因此，选项(D)正确 事实上，由 AA*=|A|E，
10、当|A|=0，有 * 故|A *|=07.下列各题计算过程中正确无误的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 (A)不对因 n 是正整数，故 lnn 与 n 都不是连续函数，从而不可导，不能使用洛比达法则正确的做法是： * (B) 不对因为*已不是未定型，不能使用洛比达法则事实上， * (C) 不对(C)中的极限是存在的，但不能用洛比达法则事实上， *8.从正态总体 N(0， 2)中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n则可以作为未知参数 2( 20)的无偏估计量的是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于 X1，X 2，X n相互独立且都服从正态分布 N(0， 2)，
11、因此 * 易知 *二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f 具有二阶连续偏导数, （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 因* 同理得* 故 * *10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 由方程确定 z=z(x，y)， 方程两边对 x 求偏导，得 * 方程两边对 y 求偏导，得 * 因此， *11.设 f(x，y)连续，交换二次积分的顺序： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 将“先对 x 后对 y”的积分顺序改变为“先对 y 后对 x”的积分顺序如图 1-3-1 所示， * *12.设 y1=xe
12、x与 y2=exsinx 为 n 阶常系数(实)线性齐次微分方程的两个特解，则正整数 n 的最小值为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：分析 由 y1=xex是方程的一个特解，故知 r=1 至少是二重特征根；y 2=exsinx 是方程的一个特解，故知 1+i 是一个特征根，由于是实系数，故 1-i 也是一个特征根因此，特征方程至少是 4 次的，从而 n的最小值为 413.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(，-，1) T是 AX=0 的解， 2=(，1，-) T是(A+E)X=0 的解，则常数 = 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0 或 2）解析：分析
13、1=(，-，1) T是 AX=0 的解，即 A 1=0=0 1，则 1可看做是 A 的属于特征值 0 的特征向量同理由*，知 2是 A 的属于特征值-1 的特征向量，又 A 为实对称矩阵，则 1， 2必正交，由此可求得 值14.将一枚匀称的骰子重复抛掷 n 次，所掷出点数的平均值记为 ,根据辛钦大数定律，对于任意给定的正数 ，有 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：. ）解析：分析 设 X1，X 2，X n是各次掷出的点数，则 X1，X 2，X n相互独立，服从相同的分布：PXi=k=*(k=1，2，6；i=1，2，n)，且 E(Xi)=*(i=1，2，n)根据辛钦大数定律，对于任意
14、给定的正数 ，有 *三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设内壁为抛物面 z=x2+y2的容器，原装有 8cm 3的水，现又注入 64cm 3的水，试问现水面比原水面（分数：10.00）_正确答案：(在 z 轴上取点(0，0，z)，过此点作平行于 xOy 面的平面，与抛物面 z=x2+y2相截，得截面积 S(z)=(x 2+y2)=z， 故水面高为 h 时容器内水的体积为 )解析：分析 利用定积分，先求出容器容积的一般表达式，再由题设，分别算出装有不同容积的水的高度即可16.在变力 F=(1+y2)i+(x-y)j，的作用下，一质点沿线 y=ax(1-x)从点(0，0)移至点(1，0
15、)，试确定参数a，使变力 F 做的功最小。（分数：10.00）_正确答案：(功的微元 dW=FdS，即 dW=1+y2，x-ydx，dy=(1+y2)dx+(x-y)dy， 于是 令 ，这是唯一驻点，故当 时，W 取极小值 ，即为最小值因此，当 )解析：分析 采用微元分析法先写出功的微元表达式，再积分，然后按求极值的方法，定出功的最小值，从而确定参数 a17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内有二阶导数，f (a)=f (b)=0，且存在 c(a，6)，使 f (c)0，试证：存在一点 (a，b)，使 f“()0（分数：10.00）_正确答案：(由题设知，f(x)在a，c，c，b上满足
16、拉格朗日中值定理的条件，于是有 因为 f(a)=f(b)=0，f(c)0， 故 f( 1)0，f( 2)0 又由题设知，f(x)在 1， 2 a，b上满足拉格朗日定理条件，于是有 )解析：分析 本题的证明要连续应用拉格朗日中值定理18.设 xn是方程 tanx-x 的正根，且从小到大排列：x 1x 2x n试证：级数 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：分析 正项级数比较判别法19.设河宽为 a，流速为 v1(常数)，两岸码头 O、A 之连线垂直于水流方向(即可令 OA 为 x 轴，O 为原点，水流方向与 y 轴平行)，船自 A 以速度 v2(v 1)开向 O 点，航向指向 O，试求航
17、线方程及横渡一次所需的时间（分数：10.00）_正确答案：(设航线方程为 y=f(x)，在航线上时刻 t 所对应的点为 M(x，y)(如图 1-3-2 所示)，于是有 记 ，代入得齐次方程 设横渡一次所需时间为 T，则有 )解析：分析 按题意，建立平面直角坐标系写出在航线上时刻 t 所对应的点 M(x，y)处的速度的水平分量与垂直分量，由此得出航线的微分方程，从而解得航线方程即为所求再由速度的水平分量表达式及所求出的航线方程，算出横渡一次所需的时间20.已知 A、B 为四阶矩阵，若满足 AB+2B=0，r(B)=2，且行列式 |A+E|=|A-2E|=0 ()求 A 的特征值； ()证明 A
18、可对角化； ()计算行列式|A+3E|（分数：10.00）_正确答案：()由 A、B 满足 AB+2B=0，知 AB=-2B，又 r(B)=2，则-2 为 A 的二重特征值，且存在两个线性无关的特征向量由|A+E|=|A-2E|=0，知-1，2 也为 A 的特征值故 A 的特征值为-2，-2，-1，2 ()由()知，二重特征根-2 有两个线性无关的特征向量又不同特征根所对应的特征向量线性无关，故 A 存在 4 个线性无关特征向量，则可对角化 ()A+3E 的特征值为 1，1，2，5，则|A+3E|=10)解析：分析 此题重点考查特征值的性质及矩阵可对角化的条件21.试求一正交变换，使二次型 （
19、分数：10.00）_正确答案：( 由|A-E|=0，求得其特征值 , 2=2, 3=-1 由 ，求得一特征向量 由(A-2E)X=0，求得一特征向且 . 由(A+E)X=0，求得一特征向量 则令 ，所求正交变换为 X=PY， 化二次型为标准形 )解析：分析 这是一常规题，解题关键在于正确写出二次型的矩阵22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 的概率分布为 PX=1=0.4，PX=3=0.6，Y 服从参数为 5 的指数分布，Z=XY求： ()Z 的分布函数 Fz(z)和概率密度 fZ(z)； ()Z 的数学期望 E(Z)和方差 D(Z)（分数：10.00）_正确答案：(Y 的概率密度 f
20、Y(y)和分布函数 FY(y)分别为 从而有 ()由于 X 与 Y 相互独立，根据全概率公式，得 () 解法一 因为 所以 D(Z)=E(Z2)-E(Z)2=0.464-(0.44)2=0.2704 解法二 因为 )解析：分析 根据全概率公式和随机变量的独立性，用 y 的分布函数 FY(y)表达 FZ(z)，用 Y 的概率密度fY(y)表达 fZ(z)，再用 E(Y)表达 E(Y2)，用 E(Y2)表达 E(Z2)，从而求得 D(Z)23.设 XN(， 2)，其中 和 2为未知参数从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2 () 求 ； () 判断 （分数：10.00）_正确答案：(由于 XN(， 2)，因此 与 S2相互独立，有 因为 所以 () 解法一 由于 因此( +S2)2不是(+ 2)2的无偏估计量 解法二 由于 与 S2相互独立，有 因此( )解析：分析 由*与 S2相互独立及*，E(S 2)=D(X)= 2，*，可求得()及*
