1、考研数学一-121 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是_（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y33.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）
2、A.0B.1C.2D.34.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 n 阶方程 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， 3)，记向量组()： 1， 2， n()： 1， 2， n，()： 1， 2， n。如果向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关6.设 n 个随机变量 X1，X 2，X n，是独立同分布，且 D(Xi)= 2， ，则_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设向量组()： 1， 2， s，
3、其秩为 r1，向量组()： 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_（分数：4.00）A.向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B.向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C.向量组 1， 2， s， 1， 2， s，的秩为 r1+r2D.向量组 1， 2， s， 1， 2， s,的秩为 r18.若事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.P（C）=P（AB）B.P（C）=P（AB）C.P（C）P（A）+P（B）-1D.P（C）P（A）+P（B）-1二、填空题(总
4、题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_10.方程 xyz+ （分数：4.00）填空项 1:_11.以 y1=ex，y 2=e2xcosx 为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_（分数：4.00）填空项 1:_12.知当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E- T，B=E+ （分数：4.00）填空项 1:_14.甲袋中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红
5、球，10 只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a 和 b 为非零向量，且|b|=1， （分数：9.00）_16.设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：9.00）_17.在变力 F=yzi-zxj+xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：11.00）_18.设 f(x)连续，F(x)= （分数：11.00）_19.求 I= （分数：10.00）_20.设向量 1， 2， t是齐次方程组 AX=0 的一个基础解系，向
6、量 不是方程组 AX=0 的解，即A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t，线性无关。（分数：11.00）_21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：11.00）_23.设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 求统计量 Y= （分数：11.00）_考研数学一-121 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点
7、提示 级数敛散性的判定解题分析 *原级数绝对收敛应选 C2.设线性无关的函数 y1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是_（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 解析：考点提示 非齐次线性方程求解问题解题分析 非齐次线性方程的通解应该是相应齐次线性方程的通解加上一个非齐次线性方程的特解C 1y1+C2y2不是相应齐次方程的通解，显然 A 不对B 写成 C1(y1
8、-y3)+C2(y2-y3)，y 1-y3与 y2-y3是相应齐次方程的解，因而 B 是相应齐次方程的通解，而不是非齐次方程的通解C 写成 C1(y1+y3)+C2(y2+y3)-y3，y 1+y3与 y2+y3并非相应齐次方程的解，显然也不对应选 D实际上 D 可以写成 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，y 1-y3与 y2-y3显然是线性无关的相应齐次方程的解，y 3是非齐次方程的特解3.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点提示 分段函数求导解题分析 因 3x3处处任意阶可导，只需考
9、查 x2|x|*(x)，它是分段函数，x=0 是连接点*又 +(0)=(x 3)=(x3)+|x=0=0，(0)=(-x 3)-|x=0=0*(0)=0，即*同理可得*即*因 y=|x|在 x=0 不可导*“(0)不存在应选 C4.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 函数求导问题解题分析 F(x)=f(e -x)(e-x)=f(x)=-e-xf(e-x)-f(x)应选 A5.设 n 阶方程 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， 3)，记向量组()： 1， 2， n()： 1， 2， n，()： 1， 2
10、， n。如果向量组()线性相关，则_（分数：4.00）A.向量组()与()都线性相关B.向量组()线性相关C.向量组()线性相关D.向量组()与()中至少有一个线性相关 解析：考点提示 向量组相关性的判定解题分析 因为向量组()线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即|AB|=|A|B|=0因此|A|，|B|中至少有一个为 0，即 A 与 B 中至少有一个不可逆，亦即量组()与()中至少有一个线性相关，所以选 D6.设 n 个随机变量 X1，X 2，X n，是独立同分布，且 D(Xi)= 2， ，则_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 辛钦大数定律以及概率收敛的性质解题分析 因为*
11、由辛钦大数定律可知*根据概率收敛的性质可知*所以*故选 C7.设向量组()： 1， 2， s，其秩为 r1，向量组()： 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_（分数：4.00）A.向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B.向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C.向量组 1， 2， s， 1， 2， s，的秩为 r1+r2D.向量组 1， 2， s， 1， 2， s,的秩为 r1 解析：考点提示 向量组的线性无关解题分析 设 1， 2，*为 1， 2， s的极大无关组，则它也是 1， 2， s， 1， 2
12、， 3的极大线性无关组，所以 D 结论成立8.若事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.P（C）=P（AB）B.P（C）=P（AB）C.P（C）P（A）+P（B）-1 D.P（C）P（A）+P（B）-1解析：考点提示 独立性，概率的加法公式解题分析 弄清 C=AB+*，再逐一验证*则*由于*故 P(C)P(AB)又因为*可得*故选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点提示 隐函数求导解题分析
13、 方程两边对 x 两次求导，得eyy+6xy+6y+2x=0， eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0 以 x=0 代入原方程得 y=0以 x=y=0 代入，得 y=0再以 x=y=y=0 代入，得 y“(0)=-210.方程 xyz+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 隐函数的全微分解题分析 这是求隐函数在某点的全微分这里点(1，0，-1)的含意是 z=z(1，0)=-1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性，得*再由全微分四则运算法则，得*令 x=1，y=0，z=-1，得 dy=*，即 dz=dx-*为所求11.以 y1=ex，y 2=e2xcos
14、x 为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：r 3-5r2+9r-5=0）解析：考点提示 三阶常系数线性齐次方程解题分析 由 y1=ex，y 2=e2xcosx 为此齐次方程的解，知 r1=1，r 2,3=2i 是其特征方程的解，且最低的齐次方程的阶数为 3，故其特征方程为(r-1)(r-2-i)(r-2+i)=0，即 (r-1)(r 2-4r+5)=0故 r 3-5r2+9r-5=0则满足条件的最低阶数的常系数线性齐次方程为 y“-5y“+9y-5y=012.知当 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 等价
15、无穷小解题分析 由*以及*可得*13.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E- T，B=E+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点提示 矩阵的可逆性解题分析 因为 B=A-1，所以 AB=E，即*亦即*由于 T0，故*-1-2a=0再根据 a0，可解得 a=-114.甲袋中有 5 只白球，5 只红球，15 只黑球，乙袋中有 10 只白球，5 只红球，10 只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 考查随机事件之间的关系与运算及概率的运算性质解题分析
16、设 Ai：从甲袋取出的球的颜色依次为白、红、黑，B i：从乙袋中取出的球的颜色依次为白、红、黑(i=1，2，3)，C：取出的球颜色相同则 C=A 1B1+A2B2+A3B3，故 P(C)=P(A 1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a 和 b 为非零向量，且|b|=1， （分数：9.00）_正确答案：(观察知道，此题为 型，但不能用洛必达法则求解，应该以去掉分子中的模符号“|”为化简方向)解析：考点提示 求极限16.设 n 是曲面 2x
17、2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：9.00）_正确答案：(先求法向量 n 的方向余弦，再求 gradu= 最后按方向导数的计算公式求出(1) 曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)的法向量为4x，6y，2z| p=22，3，1在 P 点指向外侧，取正号，并单位化得(2) 求(3) 按方向导数计算公式，得)解析：考点提示 方向导数17.在变力 F=yzi-zxj+xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 （分数：11.00）_正确答案：(1) 先写出在变力 F 的作用下质点由原点沿直线运动到点 M(，)时所做的功 W 的
18、表达式点 O 到点 M 的线段记为 L，则(2) 计算曲线积分：L 的参数方程是 X=T，y=t，z=t，t0，1(3) 化为最值问题并求解：问题变成求 W= 在条件下的最大值与最大值点用拉格朗日乘子法求解令则有解此方程组：对前三个方程，分别乘以 ，得 (0 时)代入第四个方程得相应的 W= 当 =0 时相应的 ，=0，得 W=0因此实际问题存在最大值，所以当 ，= 时，W 取最大值 )解析：考点提示 曲线积分的综合题18.设 f(x)连续，F(x)= （分数：11.00）_正确答案：(因为所以原式=又因为)解析：考点提示 定积分的证明19.求 I= （分数：10.00）_正确答案：()解析：
19、考点提示 二重积分20.设向量 1， 2， t是齐次方程组 AX=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 AX=0 的解，即A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t，线性无关。（分数：11.00）_正确答案：(用定义法证明设有一组数 k，k 1，k 2，k 1，使得k+k 1(+ 1)+kt(+ t)=0，即上式两边同时左乘矩阵 A，有因为 A0，故从而，由式得)解析：考点提示 向量组的基础解系以及线性相关的证明21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：11.00）_正确答案：(二次型的秩为 2 是指二次型对应矩阵 A 秩为 2由于 A 是三阶矩阵，故行列式|A|=0，由此即可
20、求出参数 c再由|E-A|=0，求特征值此二次型对应矩阵为因秩(A)=2，故 解得 c=3容易验证，此时 A 的秩的确是 2另外，由|E-A|= )解析：考点提示 二次型的秩以及特征值22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：11.00）_正确答案：(1) 当 0x1 时，f X(x)=当 x0 或 x1 时，f X(x)=0，即类似地(2) 首先求 Z 的分布函数 FZ(z)当 z0 时，F Z(z)=0；当 z2 时，F Z(z)=1；当 0z2 时，z 的概率密度为)解析：考点提示 随机变量的分布函数23.设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 求统计量 Y= （分数：11.00）_正确答案：(解法 1 设 Zi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)为从总体 Z 中取出的样本容量为 n 的样本，则 E(Z i)=E(Xi)+E(Xn+i)=+=2，D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi与 Xn-i相互独立)= 2+ 2=2 2所以 ZN(2，2 2)由样本与总体同分布则样本方差为因为 S2是总体 Z 的方差的无偏估计量，所以所以 E(Y)=2(n-1) 2解法 2 设因为 相互独立，所以)解析：考点提示 随机变量样本总体方差以及无偏估计量的计算
