1、考研数学一-120 及答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二元函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设总体 X 在区间-，上服从均匀分布，其中 0 是未知参数，从总体 X 中抽取样本值-4，-2，1，3，则 的最大似然估计值为（分数：4.00）A.-4B.1C.3D.43.设级数 发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 A 在区间1，7上服从均匀分布，则方程 x2+2Ax+9=0 有实根的概率为 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设上半球面 S：x 2+y2+z2=R2(z0，R0)，且 S 取上侧，则
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 ai(i=1，2，3)皆为正实数， 1 2 3，则方程 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题不成立的是（分数：4.00）A.设 A 是 n 阶矩阵，B.设 A 是 n 阶矩阵，C.设 A 是 n 阶矩阵，D.设 A 是 n 阶矩阵，8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列结论成立的是 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设平面 过直线 且平行于直线 （分数：4.00）填空项 1:_10.圆柱面 x2+y2=2ax 与抛物面 az=x2+y2(0)及平面 z=0 所围立体的体积为_（分数：4.00）
3、填空项 1:_11.设 l 是从点(1，1，1)到点(4，4，4)的直线段，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为 M(n)，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.若 A 为三阶方阵，|A|=2，则|(3A) -1-A*| 1（分数：4.00）填空项 1:_14.从正态总体 N(，8 2)中抽取样本容量为”的样本，样本均值为 ，如果在显著性水平 =0.05 下检验假设 H0:=0，H 1:0 的拒绝域为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：10.
4、00）_17. （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f“(x)0，f(a)=f(b)=0，试证： () (a，b)，有 f(x)0； () （分数：10.00）_19.设一盛有某种液体的旋转形容器过旋转轴的剖面尺寸大小及坐标系的选择如图 1-6-1 所示上部两边轮廓线为铅直线，下部轮廓线为抛物线，液体的比重为 ，原贮存液体深 5m，现将该液体抽至容器口水平面处排出试问欲使容器内液面下降 4m，需做多少功? （分数：10.00）_20.设 A 为正定矩阵，证明 A*也为正定矩阵（分数：10.00）_21. （分数：10.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为
5、（分数：11.00）_23.设随机变量 X 服从参数为 (0)的泊松分布，从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n。 ()推导统计量 的概率分布； ()证明： （分数：10.00）_考研数学一-120 答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.二元函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 因 * * 故 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在 * 即在原点处全增量 * 于是有 * 故全微分*存在，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可微，从而 f(x，y)在点(0，0)处连续 注：函数 f(x，y)在一点(x 0，
6、y 0)处连续是函数 f(x，y)在该点可微的必要条件；函数在一点有连续的偏导数是函数在这一点可微的充分条件 在本题中，f x(0，0)=0，f y(0，0)=0，而在(x，y)(0，0)，有 * 但当点(x，y)沿 x 轴(即 y=0)趋于点(0，0)时,*极限不存在，故 fx(x，y)在点(0，0)处不连续同理可知，f y(x，y)在点(0，0)处也不连续本例恰恰说明，函数在一点可微，只要求在该点两个偏导数存在，并非要求两个偏导数在该点连续可以证明，如果 f(x，y)有连续的偏导数 fx(x，y)，f y(x，y)，那么 f(x，y)一定可微2.设总体 X 在区间-，上服从均匀分布，其中
7、0 是未知参数，从总体 X 中抽取样本值-4，-2，1，3，则 的最大似然估计值为（分数：4.00）A.-4B.1C.3D.4 解析：分析 总体 X 的概率密度为 * 设总体 X 的样本值为,x 1，x 2，x 3，x 4，则似然函数为 * 当|x i|(i=1，2，3，4)时，L()0，且 越小，L()越大，因此取 的最大似然估计值为 *3.设级数 发散，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 * * 对于(D)，取*收敛，故(D)也不对 选项(B)正确.事实上，由*，故当 n 足够大时，有 an1,a 2n=anan1a n=an，从而*收敛.4.设随机变量 A 在区间1，7上
8、服从均匀分布，则方程 x2+2Ax+9=0 有实根的概率为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于当 =(2A) 2=419=4(A2-9)0， 即 A3 或 A-3 时方程有实根，随机变量 A 的概率密度为 * 因此所求概率为 *5.设上半球面 S：x 2+y2+z2=R2(z0，R0)，且 S 取上侧，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 设 S1与 S2分别表示 S 的前半部分与后半部分， * 这里 D 表示平面：yOz 上的区域：y 2-z2R 2，z0其余(A)，(C)，(D)全应为 06.设 ai(i=1，2，3)皆为正实数， 1 2 3，则方程 （分数
9、：4.00）A.B. C.D.解析：分析 记方程左端为 f(x)，通分后，分子记为 g(x) * g(x)= 1(x- 2)(x- 3)+ 2(x- 1)(x- 3)+ 3(x- 1)(x- 2)， 易见 g( 1)0，g( 2)0，g( 3)0，故 f(x)的零点与 g(x)的零点一致 因 g( 1)= 1( 1- 2)( 1- 3)0), g( 2)=a2( 2- 1)( 2- 3)0, g( 3)= 3( 3- 1)( 3- 2)0， 故 g(x)分别在( 1， 2)与( 2， 3)内都至少有 1 个零点，而 g(x)为二次多项式，至多有 2 个实零点，因此，g(x)恰好有 2 个实零点
10、，从而 f(x)=0 恰好有 2 个实根7.下列命题不成立的是（分数：4.00）A.设 A 是 n 阶矩阵，B.设 A 是 n 阶矩阵，C.设 A 是 n 阶矩阵，D.设 A 是 n 阶矩阵， 解析：分析 设 A 是 n 阶矩阵，因*阶矩阵 B，有 AB=0，取 B=E(n 阶单位矩阵)，就有 A=0；同样地，有 BTAB=ETAE=A=0，从而选项(A)，(B)排除掉*维列向量，有 A=0，分别取 1=1，0，0T， 2=0，1，0 T， n=0，0，1 T，代入 A=0，得aij=0，i=1，2，n；j=1，2，n故得 A=0因而选项(C)也排除掉 由排除法可知，应选(D) 实际上，当 A
11、 是反对称矩阵，即 AT=-A 时，则*维列向量 ，有 * 但 A0，即选项(D)不成立8.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列结论成立的是 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 因|AB|=|A|B|=0*|A|=0 或|B|=0，故选项(A)成立 *二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设平面 过直线 且平行于直线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-y-z+4=0）解析：分析 直线*作为两平面的交线，经过这交线的平面束方程为 x+2y-1+(3y+z-5)=0 即 x+(2+3)y+z-(1+5)=0， 其中 为引进的待定参数 由于要求平面 与直线*平行，
12、因此有 (-1)1+2(2+3)-3=0， 得 -1 代入平面束方程得所求平面 的方程为 x-y-z+4=010.圆柱面 x2+y2=2ax 与抛物面 az=x2+y2(0)及平面 z=0 所围立体的体积为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* 3.）解析：分析 积分区域 D 如图 1-6-2 阴影所示 * *11.设 l 是从点(1，1，1)到点(4，4，4)的直线段，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3*）解析：分析 l 是过空间两点的直线段，其参数方程为 *12.在区间0，1上函数 f(x)=nx(1-x)n的最大值记为 M(n)，则 （分数：4.00）填空项
13、 1:_ （正确答案：*）解析：分析 易知 f(0)=f(1)=0 f(x)=n(1-x)n-11-(n+1)x， * *为 f(x)在0，1上的最大值，即 M(n) *13.若 A 为三阶方阵，|A|=2，则|(3A) -1-A*| 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *14.从正态总体 N(，8 2)中抽取样本容量为”的样本，样本均值为 ，如果在显著性水平 =0.05 下检验假设 H0:=0，H 1:0 的拒绝域为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：64）解析：分析 由于检验假设 H。的检验统计量*，而 * *三、解答题(总题数：9，分数：91.00
14、)15. （分数：10.00）_正确答案：(原级数的收敛半径为 * 于是当-3x-13，即当-2x4，幂级数收敛 存端点 x=-2 处，级数为 * * 在端点 x=4 处，级数为 * 因 un0(n)，且|u n|u n+1|，故由莱布尼兹判别法知该交错级数收敛因此原级数的收敛域为(-2，4)解析：分析 先求出收敛区间，再讨论其端点的收敛性16. （分数：10.00）_正确答案：(* 故 ()当不包围原点，直接由高斯公式得 * ()当包围原点，由高斯公式可知，沿任一包围原点的封闭曲面外侧，此积分的值为常数若取单位球面 1：x 2+y2+z2=1 的外侧，则有*，即 *)解析：分析 利用高斯公式
15、。注意到当包围原点时，应先挖去它，再用高斯公式解之17. （分数：10.00）_解析：18.设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f“(x)0，f(a)=f(b)=0，试证： () (a，b)，有 f(x)0； () （分数：10.00）_正确答案：(若*(a，b)，使 f(x0)=0,f(x)在区间a，x 0上满足罗尔定理条件，则至少存在一点 1(a，x 0)，使 f( 1)=0同理，存在一点 2(x 0，b)，使 f( 2)=0于是 f(x)在区间 1， 2上满足罗尔定理条件，因此，至少存在一点 ( 1， 2)，使 f“()=0这与题设 f“(x)0 相矛盾，故*(a，b)，有 f(x)
16、0 ()令辅助函数 F(x)=e-xf(x)，则 F(a)=e-af(a)=0，F(b)=e -6f(b)=0, 且由题设知，F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，故由罗尔定理，至少存在一点 (a，b)，使F()=0，即 * 因 e- 0，故 f()=f()=0，即 f()=f()解析：分析 欲证()，正面证明不易处理，可采用反证法，结合罗尔定理加以证明证明()，先构造辅助函数，再用罗尔定理即可19.设一盛有某种液体的旋转形容器过旋转轴的剖面尺寸大小及坐标系的选择如图 1-6-1 所示上部两边轮廓线为铅直线，下部轮廓线为抛物线，液体的比重为 ，原贮存液体深 5m，现将该液体抽至容器口水平
17、面处排出试问欲使容器内液面下降 4m，需做多少功? （分数：10.00）_正确答案：(如图 1-6-3，由题设，可令下半部剖面的抛物线方程为 * x2=2p(y+3)，-3y0 当 x=4，y=0，得*，于是抛物线方程为 * 因此，整体剖面轮廓线(右半部)的方程为 * 取 y 为积分变量，对应y，y+dy的一薄层液体的体积为 dv=x 2dy，重量为 dP=x 2dy 将此薄层提升到容器口，经过的距离为 4-y，于是提升该薄层液体需做功 dW=x 2(4-y)dy 根据题设，由原深 5m 到深 1m，即相应地从原 y=2 到 y=-2，因此 *)解析：分析 这是一道定积分的应用题只要把所求功的
18、微元找出来，再作积分即可20.设 A 为正定矩阵，证明 A*也为正定矩阵（分数：10.00）_正确答案：(由题设，A 为正定矩阵，故知 A 为实对称矩阵，且|A|0从而 A 可逆， (A-1)T=(AT)-1=A-1， 故 A-1也为实对称矩阵又 A*=|A|A-1，|A|0，于是只要证 A-1为正定矩阵即可 设向量 x0，记 y=A-1x，由 A-1满秩，知 y0，于是 XTA-1x=(Ay)Tt=yTATy=yTAy0， 故 A-1为正定矩阵，从而 A*也为正定矩阵)解析：分析 欲证 A*为正定矩阵，转化为证明 A-1为正定矩阵21. （分数：10.00）_正确答案：(* * 则当 a=0
19、 时，f 的秩为 2； 当 a0 时，f 的秩为 3 ()f 的秩为 2，即 a=0 时，由|A-E|=0 得特征值 1= 2=4， 3=0。 1= 2=4 时，由(A-4E)X=0 取特征向量 * 当 3=0 时，由(A-0E)X=0，取特征向量* ()取 P=(P1，P 2，P 3)=*，则由正交变换 X=PY，可化二次型为标准形*)解析：分析 本题关键在于正确写出二次型的矩阵，然后根据二次型的秩来确定参数 22.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：11.00）_解析：分析 Y 是 X 的函数，记为 g(X)，则 * 可按照 y 的不同取值求得 FY(y)=PYy23.设随机变量 X 服
20、从参数为 (0)的泊松分布，从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n。 ()推导统计量 的概率分布； ()证明： （分数：10.00）_正确答案：(由于 X1，X 2，X n相互独立，都服从参数为 的泊松分布，因此 T2=X1+X2的所有可能取的值为 0，1，2，且 * 即 T2=X1+X2服从参数为 2 的泊松分布 对于 2ln，设 Tl=X1+X2+Xl服从参数为 l ，的泊松分布，则 Tl与 Xl+1相互独立，T l+1的 所有可能取的值为 0，1，2，且 * 即 Tl+1=X1+X2+Xl+1服从参数为(l+1) 的泊松分布，因此*服从参数为 n 的泊松分布 证：()因为 * 所以 * 即*是 = 2的一个无偏估计量)解析：分析 记 Tj=X1+X2+Xj，j=2，3，n根据 X1，X 2，X n相互独立，都服从参数为 的泊松分布，可得 Tn服从参数为 n 的泊松分布，E(T n)=n，*E(T n)2-E(Tn)= 2
