1、考研数学一-115 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为连续的偶函数，且以 2 为周期，x(-，+)， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 X1，X 2，X 16是来自正态总体 N(，4)的简单随机样本，样本均值为 如果检验假设H0=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列级数中，发散的是 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A 为 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列论断正确的是（分数：4.00）A.若
2、 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 仅有零解B.若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 有非零解C.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解D.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解5.设随机变量 ，且 （分数：4.00）_6.下列定积分解法正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D.7.交换二次积分的积分次序：设 f(x)连续，则 等于 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为可逆矩阵，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.若 AB=CB，则 A=CB.A 可经过初等行变换化为 EC.对矩阵(AE)施行若干次初等变换，当 A 变为 E 时，E 相应地变为 A-1D
3、.对矩阵二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点记为( n，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设平面 平行于两直线专 （分数：4.00）填空项 1:_11.交换二次积分的积分次序： 设 f(x，y)连续则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)由方程 x2+2xy-2xz+z2-1=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(A)=(E-A)(E+A)-1， （分数：4.00）_14.设二维随机变量(X，Y)在平面区域 D=(x，y)|0x1，0ye x上服从均匀分布，则 fY|X(y|
4、x)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 f(x)为连续、单减函数，x(-，+)，且 （分数：10.00）_16. 其中是锥面 （分数：10.00）_17.证明：(a+b) pa p+bp(a0，b0，0p1)（分数：10.00）_18.设有方程 （分数：10.00）_19.设平面力场的大小与作用点到原点的距离成正比(比例系数 k0)，方向为作用点向径方向按逆时针旋转 角，试求质点沿曲线 （分数：10.00）_20. 有非零解，且 （分数：10.00）_21.设 是线性方程组 AX=b 的解， 1， 2， s是其对应的齐次线性方程组的基础解系，
5、令 1=+ 1， 2=+ 2， s=+ s证明： () ， 1， 2， s线性无关； () 方程组 AX=b 的任一解可表示为 =k 0+k 1 1+k2 2+ks s， 其中 k0+k1+ks=1（分数：10.00）_22.设随机事件 A，B，C 两两独立，试证 A，B，C 相互独立的必要充分条件是 A 和 B-C 独立（分数：10.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_考研数学一-115 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)为连续的偶函数，且以 2 为周期，x(-，+)， （分数：4.00）A
6、.B. C.D.解析：分析* 故 F(x)为偶函数，即选项(B)对，(A)与(D)不对 选项(C)也不对事实上， 不妨设 f(x)=cosX，满足题设条件， * * 易知这不是周期函数2.设 X1，X 2，X 16是来自正态总体 N(，4)的简单随机样本，样本均值为 如果检验假设H0=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于检验统计量 * 因此在该假设检验中犯第一类错误的概率为 *3.下列级数中，发散的是 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 因* 故由比值判别法，知(A)收敛 由于有* 故由根值判别法，知(D)收敛
7、* 故(B)也收敛 * 故由根值法，知(C)发散 注：利用比值判别法或根值判别法时，必先判定所给级数为正项级数易知(A)，(C)，(D)皆为正项级数4.设 A 为 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列论断正确的是（分数：4.00）A.若 Ax=b 有无穷多解,则 Ax=0 仅有零解B.若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 有非零解 C.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解D.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解解析：分析 若 Ax=b 有无穷多解，则其解应是 Ax=0 的基础解系的线性组合与 Ax=b 的一个特解之和，于是，
8、Ax=0 有非零解，而不是仅有零解，故选项(B)正确，选项(A)不对选项(C)，(D)也不对事实上，当 Ax=0 仅有零解或有非零解，这只表明 A 的秩是 n 或是小于 n，不能判定 Ax=b 的系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩是否相等，从而 Ax=b 可能无解，故(C)，(D)不对。5.设随机变量 ，且 （分数：4.00）_解析：分析 因为 * 所以 * 由于 Y 的概率密度曲线 y=fY(x)关于直线 x= 2对称，当 x 2时，函数f Y(x)单调增加，当 x 2时，函数 fY(x)单调减小，f Y( 2)为函数 fY(x)的最大值，因此 P2=P|Y-2 2| 2)P|Y- 2| 26.下
9、列定积分解法正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因(A)，(B)，(C)被积式中都有间断点，故不能直接利用 Newton-Leibniz 公式，其解法都是错误的.唯有(D)正确事实上，(D)选项中，虽然 x=4 是被积函数的间断点，但在2，4)和(4，6上的原函数为*，且 F(x)在 x=4 连续，因此，原积分可按寻常定积分同样计算，得 *7.交换二次积分的积分次序：设 f(x)连续，则 等于 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 * *8.设 A 为可逆矩阵，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.若 AB=CB，则 A=CB.A 可经过初等行变换化为 E C
10、.对矩阵(AE)施行若干次初等变换，当 A 变为 E 时，E 相应地变为 A-1D.对矩阵解析：分析 (A)不对，因为矩阵乘积不满足消去律(C)，(D)也不对，因未指明是初等行变换还是初等列变换(B)正确二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 y=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点记为( n，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*.）解析：分析 * 切线方程为： y-1=n(x-1) 该切线与 x 轴的交点为 *10.设平面 平行于两直线专 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：16x+8y-16z+11=0）解析：分析 利用平面的点法式方程 由
11、题设，知平面 的法向量为 n=2，-2，1)1，2，2)=-32，1，-2) 设切点为(x 0，y 0，z 0)，则切点处曲面的法向量为2x 0，2y 0，-1)，故 * 因此，平面 的方程为 *11.交换二次积分的积分次序： 设 f(x，y)连续则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*.）解析：分析 作图 1-4-1，由先对 y 积分， * * *12.设 z=z(x，y)由方程 x2+2xy-2xz+z2-1=0 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 x 2+2xy-2xz+z2-1=0 两端对 x 求偏导，得 *13.设 f(A)=(E-A)
12、(E+A)-1， （分数：4.00）_解析：分析 利用矩阵运算规则 由设知 f(f(A)=E-f(A)E+f(A)-1 =E-(E-A)(E+A)-1E+(E-A)(E+A)-1-1 =(E+A)-(E-A)(E+A)-1(E+A)+(E-A)(E+A)-114.设二维随机变量(X，Y)在平面区域 D=(x，y)|0x1，0ye x上服从均匀分布，则 fY|X(y|x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 区域 D 的面积为 * 二维随机变量(X，Y)的概率密度为 * (X，Y)关于 X 的边缘概率密度为 * 当 0x1 时，有 *三、解答题(总题数：9，分数：90
13、.00)15.设 f(x)为连续、单减函数，x(-，+)，且 （分数：10.00）_正确答案：(由题设知 F(x)连续且可导,得 * 由 f(x)单减，故当 0tx，有 f(t)-f(x)0，再由定积分性质，知 F(x)0；当 xt0，有 f(t)-f(x)0，于是 * 总之，F(x)0，x(-，+)，从而 F(x)单增，x(-，+)解析：分析 欲证 F(x)单增，即要证 F(x)016. 其中是锥面 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 逐块计算 * 其中= 3+ 4， 3表示前块(即 3的法向量与 y 轴正向成锐角)， 4表示后块(即 4的法向量与 x 轴正向成钝角)，它们有共同的投影
14、域 Dyz * 其中= 3+ 4， 3表示右块(即 3的法向量与 y 轴正向成锐角)， 4表示左块(即 4的法向量与 y 轴正向成钝角)，D zx为其投影域 * 其中 Dxy为在 xOy 平面的投影域，因取下侧，故在 xOy 平面上的投影为负 解法二 利用高斯公式 添补辅助面两块： 上 与 下 ，使+ 上 + 下 成为封闭曲面，以便用高斯公式进行计算 * * 因此， * =2e(1-e)解析：分析 可以逐块进行计算，也可以利用高斯公式计算(此时要添补两块辅助面，使之成为封闭曲面)17.证明：(a+b) pa p+bp(a0，b0，0p1)（分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=(1+x
15、)p，g(x)=1+x p， f(0)=g(0)=1，f(x)，g(x)连续 (x0) 因为当 x0 时， * 所以有 f(x)g(x) (x0) 又令 (x)=f(x)-g(x)， 于是有 (x)=f(x)-g(x)0 而 (0)=f(0)-g(0)=0， 在0，x上，对 (x)应用拉格朗日定理， 有 (x)=(x)-(0)=()(x-0)0，(0，x). 即当 x0 时，(x)=f(x)-g(x)0，亦即当 x0 时，f(x)g(x) 因此，(1+z) p1-x p (x0) * 所以，(a+b) pa p+bp (原式中等号仅当 a 与 b 中至少有一个为零时成立)解析：分析 当 a=0
16、 或 b=0 时，原式显然成立 设 a0，b0，欲证 * 只要证明：当 x0，f(x)=(1+x) p，g(x)=1+x p时，有 f(x)g(x) 而要证明式成立，可令 (x)=f(x)-g(x)，并在0，x上对 (x)应用拉格朗日定理即可18.设有方程 （分数：10.00）_正确答案：(令 1+x=et，即 t=ln(1+x)，则方程 * 可化为 y“-2y+y=e -t， 其对应的齐次方程的通解为 y1=(C1+C2t)et， 非齐次方程的特解为* 故原方程的通解为 * 由初始条件 y(0)=y(0)=0，可求得 * 于是原方程所确定的函数为 *)解析：分析 若在方程两边对 x 求导，化
17、简可得*，且 y(0)=y(0)=0 这是形如 (ax+b)ny(n)+a1(a+b)n-1y(n-1)+an-1(ax+b)y+any=f(x)的欧拉方程，只要令 ax+b=et，就可把方程化为常系数线性方程19.设平面力场的大小与作用点到原点的距离成正比(比例系数 k0)，方向为作用点向径方向按逆时针旋转 角，试求质点沿曲线 （分数：10.00）_解析：20. 有非零解，且 （分数：10.00）_正确答案：(由于方程组有非零解，有 * 由于 A 是正定矩阵，必有 a0，可排除 a=0 或-1 当 a=3 时 * =(-4)(-1)(-10) A 的特征值全大于 0，知 A 正定，即 a=3
18、 适合于要求 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，经 X=PY 化二次型 XTAX 为标准形由于 YTY=YTPTPY=(PY)T(PY)=XTX=2， 可见* 因此 X TX=2 时，X TAX 的最大值是 20)解析：分析 考查齐次方程组有非零解的条件及矩阵正定的条件21.设 是线性方程组 AX=b 的解， 1， 2， s是其对应的齐次线性方程组的基础解系，令 1=+ 1， 2=+ 2， s=+ s证明： () ， 1， 2， s线性无关； () 方程组 AX=b 的任一解可表示为 =k 0+k 1 1+k2 2+ks s， 其中 k0+k1+ks=1（分数：10.00）_正确答案：(易
19、证 ， 1， 2， s线性无关 设存在 k，k 1，k 2，k s使得 k+k 1 1+k2 2+ks s=0 成立，则将 1=+1， 2=+ 2， s=+ s代入，整理，得 (k+k1+k2+ks)+k 1 1+k2 2+ks s=0 因 ， 1， 2， s线性无关，则 * 故 ， 1， 2， s线性无关 ()方程组 AX=b 的通解为 =+ 1 1+ 2 2+ s s =+ 1( 1-)+ 2( 2-)+ s( s-) =(1- 1- 2- s)+ 1 1+ s s 取 k0=1- 1- 2- s，k 1= 1，k s= s， 显然 k0+k1+ks=1，证毕)解析：分析 此题给出了非齐次
20、线性方程组的解的另一种形式22.设随机事件 A，B，C 两两独立，试证 A，B，C 相互独立的必要充分条件是 A 和 B-C 独立（分数：10.00）_正确答案：(必要性：设 A，B，C 相互独立，则 PA(B-C)=P(AB-AC)=P(AB)-P(ABC) =P(A)P(B)-P(A)P(B)P(C) =P(A)P(B)-P(B)P(C) =P(A)P(B)-P(BC) =P(A)P(B-C) 故事件 A 和 B-C 独立 充分性：设 A，B，C 两两独立且 A 和 B-C 独立，欲证 A，B，C 相互独立，只要证 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，由 PEA(B-C)=P(AB-A
21、C)=P(AB)-P(ABC) 于是有 P(ABC)=P(AB)-PEA(B-C)=P(A)P(B)-PA(B-C) =P(A)P(B)-P(A)P(B-C)=P(A)P(B)-P(A)P(B-BC) =P(A)P(B)-P(A)EP(B)-P(BC) =P(A)P(B)-P(A)P(B)+P(A)P(BC) =P(A)P(B)P(C) 注：题中的 B-C 若换为 B+C 或 BC，则相应的结论仍成立)解析：分析 事件 A，B，C 两两独立意指 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C) 事件 A，B，C 相互独立意指 A，B，C 两两独立且 P(
22、ABC)=P(A)P(B)P(C)23.设总体 X 的概率密度为 （分数：10.00）_正确答案：()由于 * 样本平均值为*=1，令 =*，即 2-3.50=1 解得*，因此 的矩估计值为*=0.29 ()对于给定的样本值，似然函数为 * 取对数，得 lnL()=6(ln4+ln)+4ln(0.5-) =6(ln4+ln)+4ln(1-2)-ln2， 将 lnL()对 求导数并令其等于零，得 * 解得 =0.3，即 的最大似然估计值为 *=0.3.)解析：分析 算出 E(X)及样本值的平均值*，即可得到 的矩估计值。根据样本值正确地写出似然函数 L()的表达式，是求 的最大似然估计值的关键对于样本值 x1，x 2，x n，似然函数*当x1=0.3 时，(0.3；)=4；当 x2=1.8 时，f(1.8；)=0.5-；当 x10=0.2 时，f(0.2；)=4对于给定的样本值，在(0，0.5)内的有 6 个数，在(1，3)内的有 4 个数，因此似然函数 L()=(4) 6(0.5-) 4
