1、考研数学一-113 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设平面曲线 l： ， ，y0，其所围成的区域分别记为 D 和 D1，则有(D 1为 l1与 x 轴围成的区域)（分数：4.00）A.B.C.D.2.设三阶方阵 A、B 满足 A-1BA=6A+BA，且 ，则 B=（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，则二项分布的参数 n，P 的值是（分数：4.00）A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.14
2、.已知 f(x)在(-，)内具有二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.点 P(0，1，1)满足方程 2exyz-yz-2x=1，则存在点 P 的邻域，在该邻域内该方程（分数：4.00）A.只能确定具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.只能确定具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)C.只能确定具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)6.设 A 为 45 矩阵，r（分数：4.00）A.=4，B 为 42 矩阵，则下列命题中不正确的是(A) B.(AC.有唯一解D.必有无穷多解7.对于常数 k0，级数 （
3、分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A、B、C 是三个随机事件，P(ABC)=0，且 0P(C)1，则一定有（分数：4.00）A.P(ABC)=P()P()P()B.P(A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C)C.P(A+B+C)=P()+P()+P()D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.交换二重积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)满足 ，当 x0 时，lncosx 2是比 xnf(x)高阶的无穷小量，而 xnf(x)是比 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵
4、（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A、B 是两个随机事件，P(A) =0.4，P(B) =0.5，P(A|B)=P(A| )，则 P(A （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u(x，y)于圆盘 D：x 2+y2 内有二阶连续偏导数，且 ，求 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足证明： 收敛，而 （分数：10.00）_17.设 f(x)，g(x)在 x0的某邻域内具有二阶连续导数，且 （分数：10.00）_18.计算 I= （分数：10.00）_19.(1)设 f(x)在区间0，1上连续，试证明存在 (0，
5、1)使（分数：10.00）_20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值；(2)若二次型的规范型为 （分数：11.00）_21.已知 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=Q-1AQ= （分数：11.00）_22.设 X1，X 2，X 3，X 4相互独立同分布于 P(Xi=0)=0.6，P(X i=1)=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_23.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n为取自 X 的一组简单随机样本(1)求 2的最大似然估计；(2)求 =P(X1)的最大似然估计（分数：11.00）_考研数
6、学一-113 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设平面曲线 l： ， ，y0，其所围成的区域分别记为 D 和 D1，则有(D 1为 l1与 x 轴围成的区域)（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题考查曲线积分和二重积分的对称性质详解 由对称性知*且 *故有 *因此正确选项为(A)对于(B)，*因此 *对于(C)，左端为 0，但右端为*，不相等；对于(D)，左端为*，但*，因此左、右两端也不相等评注 本题若先计算出积分值，再进行比较，则将问题弄复杂了，而应尽量利用对称性进行比较类似对称性问题还可从三重积分、曲面积分等进
7、行考查2.设三阶方阵 A、B 满足 A-1BA=6A+BA，且 ，则 B=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 将 A-1BA=6A+B 按矩阵运算规则移项化简，然后得出正确结论详解 由 A-1BA=6A+BA，右乘 A-1得 A-1B=6E+B，左乘 A 得 B=6A+AB，(E-A)B=6A*(B)为答案评注 该题是矩阵运算的基本题3.已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，则二项分布的参数 n，P 的值是（分数：4.00）A.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4 C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.1解析：分析 这是一
8、个已知数学期望与方差，反求参数的问题利用二项分布的期望与方差即得详解 因为 XB(n，p)所以*故选(B)4.已知 f(x)在(-，)内具有二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 条件*相当于 f(0)=0，f(0)=1，然后用单调性或极值与最值即可导出不等式详解 由题设*知，f(0)=0，f(0)=1令 F(x)=f(x)-x，则 F(x)=f(x)-1，F“(x)=f“(x)0于是 F(x)在(-，)内单调增加，且 F(0)=0当 x(-，0)时，F(x)F(0)=0；当 x(0，)时，F(x)F(0)=0可见 F(x)在点 x=0 处取极小值，也即最小值，从而有 F
9、(x)F(0)=0，即 f(x)x，x(-，)，故选(D)评注 本题也可由泰勒公式，有 f(x)=f(0)+f(0)x+*f“()x 2，由 f“(x)0 知，当 x(-，)时，有 f(x)f(0)+f(0)x=x故应选(D)。5.点 P(0，1，1)满足方程 2exyz-yz-2x=1，则存在点 P 的邻域，在该邻域内该方程（分数：4.00）A.只能确定具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.只能确定具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)C.只能确定具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y) 解析：分析 该题是关于
10、 F(x，y，z)=2e xyz-yz-2x-1=0 是否存在隐函数 x=x(y，z)，y=y(x，z)，z=z(x，y)的问题详解 F(x，y，z)=2e xyz-yz-2x-1，F(0，1，1)=0，*由隐函数存在定理，存在点 P 的某邻域，在该邻域内存在具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)，z=z(x，y)，所以(D)为答案评注 自 2005 年起，考研数学大纲规定：数学一新增加隐函数存在定理考点。6.设 A 为 45 矩阵，r（分数：4.00）A.=4，B 为 42 矩阵，则下列命题中不正确的是(A) B.(AC.有唯一解 D.必有无穷多解解析：分析 齐次方程组解的判定问题完全转化
11、为系数矩阵秩的判定，而非齐次线性方程组解的判定，则应考虑系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等注意本题要找的是不正确的命题详解 因为*，由齐次线性方程解的判定知，(A)、(B)两项均成立又 r(A*B*b)=r(A*B)=47，可见(D)也成立，但*与*不一定相等，因此(C)为不正确命题，应选(C)评注 若 r(Amn)=m，即 A 为行满秩的矩阵，则 r(A)=r(A*b)=m，从而 Ax=b 必有解7.对于常数 k0，级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 对于正项级数，比较判别法的极限形式：若*为两个正项级数，且*，0A+，则*和*有相同的敛散性详解 考察*发散，*发散，原级数
12、不绝对收敛对于交错级数*由莱布尼茨判别法，级数收敛，所以级数条件收敛，(C)为答案评注 绝对收敛*收敛8.设 A、B、C 是三个随机事件，P(ABC)=0，且 0P(C)1，则一定有（分数：4.00）A.P(ABC)=P()P()P()B.P(A+B)|C)=P(A|C)+P(B|C) C.P(A+B+C)=P()+P()+P()D.解析：分析 本题考查随机事件的运算性质，根据加法公式、乘法公式和条件概率逐项分析即可详解 (A)：由于不知道 P(A)或 P(B)是否为零，因此(A)不一定成立；(B)：P(A+B)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AC)+P(BC
13、)，*可见(B)为正确选项；(C)：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)，由于不能确定 P(AC)、P(AB)、P(BC)的概率是否全为零，因此，(C)项不一定成立；(D)：*而*=P(AB)-P(ABC)，其值是否为零不能判断，因此，(D)也不一定成立评注 随机事件的运算及其概率是常考题型之一，应注意随机事件的运算与代数运算的差异，熟练掌握加法公式、乘法公式和条件概率等运算公式二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.交换二重积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 先画出积分区域，注意到本题内层积
14、分*的上限比下限小，应先交换上、下限详解 *积分区域为*，如图所示*也可表示为*故交换积分次序有*评注 交换积分次序是常规问题，但本题的关键是内层积分的上限比下限小，应先交换其上、下限，才便于确定积分区域10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 弧长微元 ds 关于 z 轴的转动惯量为(x 2+y2)ds，因此整条曲线关于 z 轴的转动惯量可用第一类曲线积分计算： (x2+y2)ds详解 根据题意，转动惯量为*评注 本题在计算过程中利用了轮换对称性：*而 是以 a 为半径的圆周，故 ds=2a11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：分析 带有反三角函
15、数的积分常用的方法是：1令 arctanx=t；2分部积分详解 方法一方法二）解析：12.设 f(x)满足 ，当 x0 时，lncosx 2是比 xnf(x)高阶的无穷小量，而 xnf(x)是比 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 *相当于已知当 x0 时，f(x)-x 2，再将 lncosx2及*均用等价无穷小量表示，然后作比较即可确定 n详解 由*知，当 x0 时，f(x)-x 2，于是 xn(x)-x n+2又当 x0 时，*再根据题设有：2n+24可见 n=1评注 无穷小量的比较问题(当 x0 时)，一般可先将其各自化为关于 xk的等价无穷小，再比较阶次的高低
16、13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1 或 3）解析：分析 *详解 因为 r(A*)=1，r(A)=4-1=3*r(A)=3，a=1 或 a=3评注 1A 和 A*的各种关系式都是常考的内容，必须熟练掌握2本题也可由|A|=0，求出 a 的值14.设 A、B 是两个随机事件，P(A) =0.4，P(B) =0.5，P(A|B)=P(A| )，则 P(A （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *相互独立，从而 A、*也独立，因此即可计算*详解 由*可推知 P(AB)=P(A)P(B)，即 A、B 相互独立，于是 A 与*也相互独立，从而有*评注 A
17、、B 独立的等价形式有：P(AB)=P(A)P(B)；P(A|B)=P(A|*)；P(B|A)=P(B|*)；P(A|B)+P*=1；P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u(x，y)于圆盘 D：x 2+y2 内有二阶连续偏导数，且 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 n=(cos，cos)，则于是，令 t=r2，则记 ，则因此 故 )解析：分析 先将方向导数*的表达式写出来，把对弧长的曲线积分化为对坐标的曲线积分，这样便可利用格林公式得解评注 本题考查了二类曲线积分的联系及格林公式注意，设 n=cos，cos时，如图所
18、示，其中、 分别是外法线与 x 轴和 y 轴正向的夹角，则逆时针切线正向与 x 轴、y 轴正向夹角分别为 1和 1，且有*；于是*即 切矢量为 s=-cos，cos，从而有-cos ds=dx，cos ds=dy或：cos ds=-dx，cos ds=dy16.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足证明： 收敛，而 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由 (令 x-t=u)，知且有 f(0)=0，f(0)=1根据 f(x)的表达式知，f(x)为连续函数，故存在 a0，当 z-a，a时，f(x)0，即 f(x)在-a，a内单调增加，于是 f(x)f(0)=0，(x0)可见， N0，当 n
19、N 时，且因此交错级数 收敛，故 收敛又 ，而 发散，故 )解析：分析 先由关系式*可确定 f(0)=0，f(0)=1，且知 f(x)仍连续，于是可推知在 x=0 某邻域内f(x)单调增加，即：当 x0 时，f(x)0可见*为交错级数，*为正项级数，再按相应方法判定其敛散性即可评注 本题 f(x)满足：f“(x)-f(x)=-sinx，f(0)=0，f(0)=1，解此微分方程可求得具体 f(x)的表达式，再代入*及*，然后判定其敛散性，不过这样讨论起来将十分繁杂事实上，只需利用 f(0)=10 及f(x)的连续性，即可得在 x=0 的某邻域内 f(x)0 及 f(x)单调增加的结论，而*当 n
20、 充分大时，也只需利用 f(x)在 x0 某充分小邻域内的性质17.设 f(x)，g(x)在 x0的某邻域内具有二阶连续导数，且 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)由 知所以 f(x 0)=g(x0)，即 y=f(x)及 y=g(x)相交于 x=x0，由洛必达法则：知 所以 f(x 0)=g(x0)，即 y=f(x)及 y=g(x)在 x=x0相切(2)由洛必达法则)解析：分析 本题考查导数的几何意义当 f(x0)=g(x0)时，两曲线相切，当 f“(x0)=g“(x0)时两曲线在 x0的某邻域中具有相同凹凸性及在 x=x0时有相同曲率评注 该题综合了凹凸性、两曲线相切及两曲线具有
21、相同凹凸性等知识点，该题难度不大18.计算 I= （分数：10.00）_正确答案：(详解 的单位法向量 ，则)解析：分析 将第二类曲面积分化成第一类曲而积分后，即可得解评注 本题中的 f(x，y，z)是虚设的，将第二类曲面积分转化成第一类曲面积分后就可以消去如看不到这一点，就不知如何进行计算了19.(1)设 f(x)在区间0，1上连续，试证明存在 (0，1)使（分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)令则 F(0)=F(1)=0由罗尔定理 (0，1)使 F()=0，即得 (2)(反证法)假设存在 0 1 21，使二式相减，得)解析：分析 构造辅助函数 F(x)使*，可得*评注 证明 的唯一
22、性有两个方法：方法一是证明函数单调；方法二是用反证法20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值；(2)若二次型的规范型为 （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)所以特征值由小到大排列为： 1=a-2， 2=a， 3=a+1(2)因为规范型为 )解析：分析 二次型的规范型为*，则正惯性指数为 2，负惯性指数为 0它对应矩阵的特征值一定是两个特征值为正，一个特征值为零评注 若 r(A)=r，正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 p+q=r21.已知 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使 QTAQ=Q-1AQ= （分数：11.00）_正确答案
23、：(详解 (1)由题设 A 的三个特征值为 1= 2=-1， 3=2，且|A|= 1 2 3=2又由A*=，知 AA*=A，A=|A|=2，可见 是属于特征值 3=2 的一个特征向量设 1= 2=-1 的特征向量为 ，则由 A 为实对称矩阵知 xT 3=0，即-x 1-x2+x3=0解得 ，将 1， 2正交化：再将 1， 2， 3单位化：则 即为所求正交矩阵(2)由 A i= i i，有 A 1， 2， 3= 1 1， 2 2， 3 3，于是 A= 1 1， 2 2， 3 3 1， 2， 3-1从而 )解析：分析 (1)由 A*=，立即想到利用 AA*=|A|E 化简，先得到 A 的属于一个特
24、征值的特征向量，再利用正交性，可求出 A 的所有特征向量，从而可确定正交矩阵 Q；(2)注意利用(A *)-1=*又*，知(A *)-1的特征值为*，即*故(A *)-1的正惯性指数为 1，负惯性指数为 2评注 本题 A 为实对称矩阵，其常用性质是：不同特征值对应特征向量正交，正是利用这一性质，可由一部分特征值的特征向量求另一部分特征值的特征向量22.设 X1，X 2，X 3，X 4相互独立同分布于 P(Xi=0)=0.6，P(X i=1)=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_正确答案：(详解 的取值为-1，0，1P(X=-1)=P(X1X4=0，X 2X3=1)=P
25、(X1X4=0)P(X2X3=1)=P(X1=0X 4=0)P(X2=1)P(X3=1)=P(X1=0)+P(X4=0)-P(X1=0)P(X4=0)P(X2=1)P(X3=1)=0.840.40.4=0.1344同理可算出(由读者自己完成)P(X=1)=0.1344P(X=0)=1-P(X=-1)-P(X=1)=0.7312X 的分布律为： )解析：分析 *的取值为-1，0，1评注 计算中应注意计算 P(X=-1)的方法23.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n为取自 X 的一组简单随机样本(1)求 2的最大似然估计；(2)求 =P(X1)的最大似然估计（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)似然函数于是 令 ，得 2的最大似然估计：(2)由最大似然估计的性质知 的最大似然估计：所以 的最大似然估计： )解析：分析 求 2的极大似然估计是常规问题，关键是求 =P(X1)的最大似然估计这里需要利用性质：若*为 的极大似然估计，g(x)为连续严格单调增函数，则*是 g()的最大似然估计评注 1*是将 2作为变量并对其求导，而不是对 求导2当总体 X 为离散型随机变量时，似然函数应为*
