1、考研数学一-106 及答案解析(总分：194.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X 是一随机变量，x 0为任意实数，EX 是 X 的数学期望，则（分数：4.00）A.E(X-x0)2=E(X-EX)2B.E(X-x0)2E(X-EX) 2C.E(X-x0)2E(X-EX) 2D.E(X-x0)2=02.已知线性方程 Ax= 的增广矩阵可化为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 0P（分数：4.00）A.1，0PB.1，且 P(A|B)+P(A|B)=1，C.A 和 B 互不独立D.A 和 B 相互独立4.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个
2、邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在0，1上连续，且 F(x)=f(x)，a0，则 f(ax)dx=（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.n 维向量组 1， 2， s线性无关的充分条件是（分数：4.00）A. 1， 2， s中没有零向量B.向量组 1， 2， s的个数 snC. 1， 2， s中任意两个向量的分量不成比例D.某向量 可由 1， 2， s线性表出，且表示法唯一8.设数列 xn与 yn)满足 ，则以下断言正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.第一类曲面积分 （
3、分数：4.00）填空项 1:_10.设 为空间曲线： （分数：4.00）填空项 1:_11.arctan （分数：4.00）填空项 1:_12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_13.实对称矩阵 A 与 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0，1)，Y 在-1，3上服从均匀分布，则概率Pmax(X，Y)0=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：138.00)15.计算空间曲线积分 I= (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，其中曲线 L 为圆柱面 x2+y2=a2与平面（分数：10.0
4、0）_16.设函数 f(x)在区间(0，+)内有定义，且对任意 x，y(0，+)有 f(xy)=f(x)+f(y)，又有 f(1)=1，求 f(x)（分数：10.00）_17.设 f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的曲线，M(x，y)是该曲线上任意点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 面积之和为 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且满足方程 （分数：10.00）_19.设 f(u，)具有二阶连续导数，且满足 ，又 ，求 （分数：10.00）_20.已知齐次方程组其中 （分数：22.0
5、0）_21.设 A、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A *B-A*+B-E|的值（分数：22.00）_22.向平面区域 G：0y4-x 2，x0 内随机等可能地投掷一点求：(1)该点到 y 轴距离的分布密度；(2)过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望和方差（分数：22.00）_23.设总体 X 的密度函数为 （分数：22.00）_考研数学一-106 答案解析(总分：194.00，做题时间：9
6、0 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X 是一随机变量，x 0为任意实数，EX 是 X 的数学期望，则（分数：4.00）A.E(X-x0)2=E(X-EX)2B.E(X-x0)2E(X-EX) 2 C.E(X-x0)2E(X-EX) 2D.E(X-x0)2=0解析：分析 直接计算 E(X-x 0)2-E(X-EX)2即可详解 E(X-x 0)2-E(X-EX)2*可见 E(X-x0)2E(X-EX) 2故选(B)评注 数学期望 E(X-x0)2在 x0=EX 处达到最小值2.已知线性方程 Ax= 的增广矩阵可化为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 Ax= 有无
7、穷多组解，说明 r(A)=r(A*)3由此可确定参数 的取值详解 由题设，知 r(A)=r(A*)3，故必有 =0， 2-=0 即 =0应选(C)评注 当 =1 时，方程组有唯一解3.设 0P（分数：4.00）A.1，0PB.1，且 P(A|B)+P(A|B)=1，C.A 和 B 互不独立D.A 和 B 相互独立 解析：详解 由*即 A 与 B 相互独立，故应选(D)评注 由于上面的推导是可逆的，所以实际上我们得到了 A 与 B 相互独立的充要条件为*(0P(B)1)而上述条件又等价于*(0P(B)1)4.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A. B.C
8、.D.解析：分析 利用极限的保号性与多元函数极值的定义判定即可详解 由*知，存在点 P0(0，0)的某空心邻域 U(P0)，当(x，y)U(P 0)时，有*又必有*，且 1-cos(x2+y2)O，从而有f(x，y)0=f(0，0)，*(x，y)U(P 0)可见点(0，0)为 f(x，y)的极大值点故选(A)评注 多元函数与一元函数具有类似的保号性性质5.设 f(x)在0，1上连续，且 F(x)=f(x)，a0，则 f(ax)dx=（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 被积函数的中间变量为非积分变量，一般应先作变量代换详解 *因*故*因此应选(C)评注 对于积分问题*，一般均应考虑作
9、变量代换 u=g(x，t)然后再进行相关的讨论6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 连续：f(+0)=f(-0)，可导：f +(0)=f-(0)详解 *f(+0)=f(-0)=f(0)*该极限不一定存在所以(C)为答案评注 分段函数的连续性及可导性是常考题型，应熟练掌握7.n 维向量组 1， 2， s线性无关的充分条件是（分数：4.00）A. 1， 2， s中没有零向量B.向量组 1， 2， s的个数 snC. 1， 2， s中任意两个向量的分量不成比例D.某向量 可由 1， 2， s线性表出，且表示法唯一 解析：分析 通过反例用排除法即可找到正确选项详解 对于(A)：*，没
10、有零向量，但 1， 2线性相关，排除(A)；对于(B)：*，向量个数小于维数，但 1， 2线性相关，排除(B)；对于(C)：*，任意两个向量的分量不成比例，但 1， 2， 3线性相关(向量个数大于维数)，排除(C)；故选(D)若 可由 1， 2， s线性表示且表示法唯一，则秩 r( 1， 2， s)=r(， 1， 2， s)=s，故 1， 2， s线性无关评注 应注意充分条件、必要条件和充要条件的差异8.设数列 xn与 yn)满足 ，则以下断言正确的是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 可以举反例，排除(B)、(C)、(D)，也可以直接证明(A)是正确的结论详解 方法一(举反例排除
11、法)(B)反例：(x 0)为 1，0，1，0，yn为 0，1，0，1，排除(B)；(C)反例：x n为 1，0，1，0，yn为 0，0，0，0，排除(C)；(D)反例：同(B)，排除(D)，所以(A)为答案方法二对于(A)：*，所以(A)为答案评注 举反例是对于选择题的常用法，应学会各种举反例的方法二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.第一类曲面积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 由对称性*且 *详解 *评注 关于对称性：二重积分、三重积分、第一类曲线积分及第一类曲面积分有类似的结论10.设 为空间曲线： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0
12、）解析：分析 先求出梯度向量，代入被积表达式，而被积表达式恰好可表示为某函数的全微分，从而沿封闭曲线的积分为零详解 *评注 若存在 u(x，y，z)，使 du=P(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz，则 LPdx+Qdy+Rdz 与路径无关或 LPdx+Qdy+Rdz=011.arctan （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(x+1)arctan ）解析：详解 *评注 被积函数中出现反三角函数或对数函数，经常用分部积分12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 先确定积分区域，将其用一组不等式：axb， 1(x)y 2
13、(x)表示，即可得到所需答案详解 积分区域为由*及*所确定于是 D=D1+D2也可表示为*，x 2yx，故交换积分次序得二重积分*评注 为了帮助确定积分区域，可画一草图分析13.实对称矩阵 A 与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 A、B 合同*A 与 B 的正负特征值个数相同(即正负惯性指数相同)详解 * 1=2， 2=1， 3=-1A、B 合同*A、B 的正负惯性指数相同所以 xTAx 的规范型为：*评注 A 与 B 合同，它们的特征值不一定相同，但是它们的正负特征值的个数相同若 A、B 都是实对称矩阵，则 A 与 B 相似*A 与 B 合同14.设随机变量 X
14、 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0，1)，Y 在-1，3上服从均匀分布，则概率Pmax(X，Y)0=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 因为 P(max(X，Y)0)=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y0=1-PX0PY0)可见只需求出概率 PX0)、Py0)即可，而 X、Y 的分布是已知的，其概率可方便地确定详解 由题设，XN(0，1)，YU(-1，3)，可见概率*于是 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0)=1-P(X0，Y0*评注 本题也可转化为随机事件进行运算：记 A=“X0”，B=“Y0”，则*于是*一般地，Pmax(X，Y)
15、Z 0=P(XZ 0，YZ 0Pmin(X，Y)Z 0=PXZ 0，YZ 0三、解答题(总题数：9，分数：138.00)15.计算空间曲线积分 I= (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，其中曲线 L 为圆柱面 x2+y2=a2与平面（分数：10.00）_正确答案：(详解 方法一曲线 L 的参数方程为：所以I= asint-h(1-cost)(-asint)+h(1-cost)-acostacost+(acost-asint)hsintdt=-2(a+h)方法二其中为张在 L 上的平面，即 )解析：分析 空间曲线的第二类曲线积分有两种计算方法方法一：求出 L 的参数方程；方法二：用斯
16、托克斯公式化成第二类曲面积分评注 方法二中*使用的方法是第二类曲面积分的矢量点积法(见陈文灯等编的数学复习指南(理工类)16.设函数 f(x)在区间(0，+)内有定义，且对任意 x，y(0，+)有 f(xy)=f(x)+f(y)，又有 f(1)=1，求 f(x)（分数：10.00）_正确答案：(详解 令 x=y=1 得f(1)=2f(1)，f(1)=0所以)解析：分析 由 f(xy)=f(x)+f(y)可得 f(1)=0，及 f(x)满足的微分方程，解之得 f(x)评注 由特定的表达式，根据导数定义得到函数满足的微分方程是常考的题型，必须熟练掌握17.设 f(x)是第一象限内连接点 A(0，1
17、)，B(1，0)的曲线，M(x，y)是该曲线上任意点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 面积之和为 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由本题条件及下图知对 x 求导)解析：分析 由本题条件可得一带变限积分式的方程，然后对该方程求导可得微分方程评注 该题是微分方程的几何应用，几何应用问题还经常与切线，旅转体体积有关18.设函数 f(x)在区间a，b上连续，且满足方程 （分数：10.00）_正确答案：(详解 当 xa，b时，由已知条件有两边对 x 求导即 其通解为：=C(x-a)+f(a)，令 x=b，得 ，故)解析：分析 已知关
18、系式对任意 x1，x 2a，b成立可取 x1=a，x 2=x，则变换为熟悉的含有变上限积分的等式，求导后化为微分方程求解即可评注 对于常数等式或不等式问题，应设法转化为函数等式或函数不等式，这样就可借用函数的分析方法进行讨论19.设 f(u，)具有二阶连续导数，且满足 ，又 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 gx=yf 1+xf2，g“x2=yyf“11+xf“12+f2+xyf“21+xf“22=y2f“11+2xyf“12+x2f“22+f2，gy=xf1-yf2，g“y2=xxf“11-yf“12-f2-yxf“21-yf“22=x2f“11-2xyf“12+y2f“22-f
19、2)解析：分析 在复合函数求导时，经常将 fu写成 f1，f 写成 f2，因此*可写成 f“11+f“22=1，该题是典型的复合函数求导的问题评注 应注意 f1，f 2中的变量和 f 的变量有相同的形式，因此求二阶导数时，仍然是复合函数求导20.已知齐次方程组其中 （分数：22.00）_正确答案：(详解 (1)当 b0， 时，方程组只有零解(2)1当 b=0 时，方程组和 a1x1+a2x2+anxn=0 同解r(A)=1，基础解系解向量个数=n-r(A)=n-1， 1=(- 2， 1，0，0) T， 2=(- 3，0， 1，0) T n-1=(- n，0，0， 1)T为基础解系3当 )解析：
20、分析 系数矩阵 A 的行列式|A|0 时方程组只有零解；|A|=0 时，方程组有非零解评注 计算行列式时若各行(列)元素和为常数，经常将各列(行)加到第一列(行)然后该常数可提到行列式外面21.设 A、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵 A=(aij)满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，A ij为 aij的代数余子式，矩阵 B 满足|E+2B|=|E+3B|=0，计算行列式|A *B-A*+B-E|的值（分数：22.00）_正确答案：(详解 由 aij=Aij知 AT=A*，所以 AAT=AA*=|A|E，得 |A| 2=|A|3，所以 |A|=0 或 |A|=1因为 A0，不妨假定 a1
21、10，所以 |A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，所以 |A|=1因为 A 相似于 B，所以 A，B 有相同的特征值 1， 2， 3由|E+2B|=|E+3B|=0 知 ， 1 2 3=|A|所以 3=6，|A*B-A*+B-E|=|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|B-E|=|AT+E|B-E|因为 |A T+E|=|A+E|=( 1+1)( 2+1)( 3+1)=|B-E|=( 1-1)( 2-1)( 3-1)=所以 |A *B-A*+B-E|=|AT+E|B-E|= )解析：分析 由|A *B-A*+B-E|=|A*(B-E)+(B-E)
22、|=|A*+E|B-E|知，只需计算|A *+E|及|B-E|，问题即可解决评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理及利用特征值求行列式等多个知识点22.向平面区域 G：0y4-x 2，x0 内随机等可能地投掷一点求：(1)该点到 y 轴距离的分布密度；(2)过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望和方差（分数：22.00）_正确答案：(详解 如图，平面区域 G 的面积为由题设可知，二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为(1)随机点到 y 轴的距离(即随机变最 X)的概率密度(2)由题设所作曲边梯形面积为D(z)=E(Z2)-E(Z)2)解析：分析 (1)到 y 轴距离的分布密度，相当于求关于 X 的边缘概率密度；(2)先求出曲边梯形面积为X 的函数，再求此随机变量函数的数学期望与方差即可评注 本题综合考查了一维、二维随机变量的概率密度以及随机变量函数的数字特征问题23.设总体 X 的密度函数为 （分数：22.00）_正确答案：(详解 (1)(2)最大似然函数)解析：分析 矩估计：*评注 如果总体中有两个未知参数，则可由*求出这两个参数的矩估计量
