1、考研数学一-104 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合2.设 f(x0)=0,f“(x0)0，则必存在 0，使得_（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内是向上凸的B.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内是向上凹的C.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0)内单调增加，在(x 0，x 0+)内单调
2、减少D.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加3.设函数 z=z(x，y)存在二阶偏导数，且在 M0(x0，y 0)处取得极大值，则_（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)必是_（分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 具有密度函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3b+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有
3、唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根7.（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 其中 f 可导，且 f(0)0， （分数：4.00）填空项 1:_10.更换二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.星形线 （分数：4.00）填空项 1:_13.从 R2的基 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从于参数为
4、(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若PX1= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：9.00）_16.已知 （分数：9.00）_17.计算二重积分 （分数：11.00）_18.计算 （分数：11.00）_19.将函数 f(x)=2+|x|(-1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：10.00）_20.设矩阵 （分数：11.00）_21.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_22.设总体 XN(，8)，
5、 未知，X 1，X 2，X 36是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间，求置信度 （分数：11.00）_23.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，1)，而 X1，X 2，X 9，和 Y1，Y 2，Y 9分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量（分数：11.00）_考研数学一-104 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式|A|=0，则 A_（分数：4.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性
6、组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：考点提示 向量的线性表示本题考查|A|=0 的充分必要条件，而选项 A，B，D 都是充分条件，并不必要以 3 阶矩阵为例，若*条件 A，B 均不成立，但|A|=0若*则|A|=0，但第 3 列并不是其余两列的线性组合，可见 D 不正确这样，用排除法可知应选 C复习时，对于概念性的选择题，错误的最好能举一个简单的反例，正确的最好有一个简单的证明，这样可加深理解，能更透彻地把握概念|A|=0*A=( 1， 2， 3， 4)的列向量线性相关*有某 i可由其余的列向量线性表出2.设 f(x0)=0,f“(x0)0，则必存在 0，使得_（分数：4.00）A
7、.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内是向上凸的B.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)内是向上凹的C.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0)内单调增加，在(x 0，x 0+)内单调减少 D.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加解析：考点提示 函数单调性 *由极限的保号性，知必*使*又 F(x0)=0，当 x(x 0-，x 0)时，f(x)0，f(x)单调增加；当 x(x 0，x 0+，)时，f(x)0，f(x)单调减少3.设函数 z=z(x，y)存在二阶偏导数，且在 M0(x0，y 0)处取得极大值，则_（分数：4.00）A.B
8、.C. D.解析：考点提示 函数的极值当 z=f(x，y)在 M0点取得极大值时，函数 z=f(x，y 0)和 z=f(x0，y)也在 M0点取得极大值，由一元函数取得极值的第二充分条件知 C 成立4.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解)必是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 线性相关性的判定本题考查解的性质与解的结构，从 1， 2是 Ax=0 的基础解系，知 Ax=b 的通解形式为走k1 1+k2 2+，其中， 1， 2是 Ax=0 的
9、基础解系， 是 Ax=b 的解由解的性质知：*都是 Ax=0 的解，*那么 A 中没有特解 ，C 中既没有特解 ，且 1+ 2也不是 Ax=0 的解。D 中虽有特解，但 1， 1- 2的线性相关性不能判定，故 A，C，D 均不正确。5.设随机变量 X 具有密度函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 随机变量的分布问题*6.若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3b+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有唯一实根 C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根解析：考点提示 方程根个数的判定。设 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，则 f(x)=5x4+6ax2+3b
10、=5(x2)2+6a(x2)+3b由于(6a) 2-453b=12(3a2-5b)0，所以 f(x)=0 无实根。又 f(x)开口向上，故 f(x)0*根据连续函数的中值定理及 f(x)的严格单调增加性质，知 f(x)有唯一零点，即方程 f(x)=0 有唯一实根。7.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 不定积分原式=*8.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 随机变量的分布性质根据 t 分布的性质，X 2F(1，n)，再根据 F 分布的性质*F(n，1)，因此 Y=*F(n，1)故应选择C二、填空题(总题数：6，分数：24.0
11、0)9. 其中 f 可导，且 f(0)0， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：考点提示 求导数解题分析 因为*10.更换二次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 二重积分解题分析 关键是弄清积分区域由题设可知*11.设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 偏导数解题分析 因为*故*12.星形线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 用定积分来求旋转面的面积解题分析 因旋转曲面的面积为*
12、化成参数方程为*故*13.从 R2的基 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 过渡矩阵解题分析 设过渡矩阵为 P则( 1， 2)P=( 1， 2)所以 P=( 1， 2)-1( 1， 2)=*14.设随机变量 X 服从于参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从于参数为(3，p)的二项分布，若PX1= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 随机变量的计算解题分析 因 PX1=*故*解得*故 PY1=1-PY=0=*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求
13、 （分数：9.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求导法，得再对 y 求导，得)解析：考点提示 复合函数的导数16.已知 （分数：9.00）_正确答案：()解析：考点提示 定积分的汁算17.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(D 是正方形区域在 D 上被积函数分块表示为于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：)解析：考点提示 调整积分顺序求二重积分18.计算 （分数：11.00）_正确答案：(凡积分域是由抛物面与其他曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜在柱坐标系下，球面与抛物面的交线为故)解析：考点提示 二重积分19.将函数
14、 f(x)=2+|x|(-1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数 （分数：10.00）_正确答案：(按傅氏系数公式，先求 f(x)的傅氏系数 an与 bn因 f(x)为偶函数，b n=0(n=1，2，3，)，注意到 f(x)在-1，1分段单调，连续且 f(-1)=f(1)，于是有傅氏展开式为了求 的值，上式令 x=0，得现由所以)解析：考点提示 幂级数的展开式20.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)对线性方程组 AX= 的增广矩阵作行的初等变换，有因为方程组 AX= 有解但不唯一，所以秩 r(A)= 3，故 =-2(2) 对应特征方程为|E-A|=(-3)(+3)得
15、特征值为 1=3， 2=-3， 3=0对应特征向量分别为 1=(1，0，-1) T， 2=(1，-2，1) T， 3=(1，1，1) T将 1， 2， 3单位化，得令则有)解析：考点提示 矩阵的特征向量及特征值的计算问题21.求一个正交变换，化二次型 （分数：11.00）_正确答案：(二次型的矩阵是其特征多项式为所以 A 的特征值是 1= 2=0， 3=9对于 1= 2=0，由(0E-A)x=0，即得到基础解系 1=(2，1，0) T， 2(-2，0，1) T，即为属于特征值 =0 的特征向量对于 3=9，由(9E-A)x=0，即得到基础解系 3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已
16、经正交，只需对 1， 2正交化 1= 1=(2，1，0) T，把 1， 2， 3单位化，有那么经正交变换二次型 f 化为标准形 f= )解析：考点提示 化二次型为标准型22.设总体 XN(，8)， 未知，X 1，X 2，X 36是取自 X 的一个简单随机样本，如果以区间 作为 的置信区间，求置信度 （分数：11.00）_正确答案：(依题设，置信区间的长度为 2所以1-=2(2.12)-1=0.966所以以 )解析：考点提示 置信区间以及置信度23.设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0，1)，而 X1，X 2，X 9，和 Y1，Y 2，Y 9分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，求统计量（分数：11.00）_正确答案：(由于 X1，X 2，X 9是来自正态总体的样本，且都服从 N(0，1)，故由于 Y1，Y 2，Y 9相互独立，且都服从 N(01)，则又因为随机变量 ， 相互独立，由 t 分布知)解析：考点提示 随机变量的正态分布
