1、考研数学一-103 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 和 V（分数：4.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零2.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设总体 ZN(0， 2)，Z 1，Z 2，Z n为简单随机样本，则 2的无偏估计量为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为三阶方阵，A *为伴随
2、矩阵，且 ，则|(3A) -1-2A*|=（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)，g(x)在 x0处可导，且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，f“(x 0)，g“(x 0)均存在，则（分数：4.00）A.x0不是 f(x)g(x)的驻点B.x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点D.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点7.设 ，则级数（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，齐次线性方程组()Ax=0 有非零解，则非齐次线性方程组()A Tx
3、=b，对任何b=(b1，b 2，b n)T（分数：4.00）A.不可能有唯一解B.必有无穷多解C.无解D.可能有唯一解，也可能有无穷多解二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 E 为闭区间0，4内使被积函数有意义的一切值所构成的集合，则（分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系数a2n=_(n=1，2，)（分数：4.00）填空项 1:_11.直线 与 （分数：4.00）_12.设函数 y=y(x)由 ex+y-cos(xy)=0 确定，则 dy|x=0+_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶
4、矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X,Y)的联合分布为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 L 是不经过点(2，0)的分段光滑的简单闭曲线求 ，L 取正向（分数：10.00）_17.设对半空间 x0 中任意光滑闭曲面 S 均有（分数：10.00）_18.设 （分数：10.00）_19.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明：(1)在(a，b)内方程
5、 f(x)=0 至多有一个实根；(2)如果 f(x)为连续函数，且恒有 f(t)dtf(x)，试证明：对任意 x0，积分 （分数：10.00）_20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= -2x1x2-2x1x3+2x 2x3，通过正交变换化为标准形 （分数：11.00）_21.设 A 为 n 阶方阵，证明 r(ATA)=r(AAT)=r(A) （分数：11.00）_22.某人要测量 A、B 两地之间的距离，限于测量工具，将其分成 1200 段进行测量，设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从(-0.5，0.5)上的均匀分布试求总距离测量误差的绝对值不超过 20 千米的概率(2)=0.
6、977，(x)为 N(0，1)的分布函数)（分数：11.00）_23.设总体 X 的分布密度为 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本(n1)令试比较关于 的两个估计量 与 （分数：11.00）_考研数学一-103 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 和 V（分数：4.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：详解 方法一因 X 和 Y 独立同分布，所以E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)，E(U)=E(X
7、-Y)=E(X)-E(Y)=0，E(V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2E(X)，E(UV)=E(X-Y)(X+Y)=E(X2-Y2)=E(X2)-E(Y2)=0，cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V)=0， u =0由此可知选(D)方法二因 X 和 Y 独立同分布，所以cov(U，V)=cov(X-Y，X+Y)=cov(X，X)-cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=0，因此 u =0，故选(D)2.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查第一类曲面积分与第二类曲面积分对称性的
8、差异第一类曲面积分与三重积分的对称性类似，但第二类曲面积分必须考虑曲面的侧，其对称性刚好相反详解 注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x 与 xy 关于 x 为奇甬数*被积函数 x2关于 x 为偶数*特别要注意，第二类曲面积分有与 j 重积分不同的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x2对 x 为偶函数*被积函数 x 对 x 为奇函数*(这里设 S 取外侧)类似可得，*可见应选(C)评注 若对第二类曲面积分的对称性不熟悉，这里也可采用直接投影法化其为二重积分，再作比较3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 *评注
9、该题的另一种解法：设该函数为 u(x，y)，则*由*，可求出 a、b 的值4.设总体 ZN(0， 2)，Z 1，Z 2，Z n为简单随机样本，则 2的无偏估计量为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 直接验证*即可详解 因为 *所以*为 2的无偏估计量故选(B)评注 样本方差*为总体方差 DX 的无偏估计量，即 ES2=DX应注意这里的四个统计量与样本方差的差异5.设 A 为三阶方阵，A *为伴随矩阵，且 ，则|(3A) -1-2A*|=（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 A *=|A|A-1，|kA|=k n|A|(A 为 n 阶方阵)详解 *(C)为答案评注 应熟记
10、A，A *，A T之间的关系及相应的公式6.设 f(x)，g(x)在 x0处可导，且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0，f“(x 0)，g“(x 0)均存在，则（分数：4.00）A.x0不是 f(x)g(x)的驻点B.x0是 f(x)g(x)的驻点，但不是极值点C.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点 D.x0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点解析：分析 直接用第二充分条件判定即可详解 设 y=f(x)g(x)，y=f(x)g(x)+f(x)g(x)，y“=f“(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g“(x)由此知
11、 y(x0)=0，y“(x 0)=2f(x0)g(x0)0，所以 x0是 y=f(x)g(x)的驻点且是极小值点故选(C)评注 本题也可用取特殊值法得到答案：令 f(x)=g(x)=x，x 0=0，则可排除(A)、(B)、(D),故应选(C)7.设 ，则级数（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 交错级数使用莱布尼茨判别法，正项级数可使用比较判别法及它的极限形式详解 *是交错级数，unu n+1，且*所以*收敛，排除(B)(D)*，而且*发散，所以*发散，(C)为答案评注 对于正项级数*及*，若*，0A+，则*及*同时收敛，同时发散8.设 A 是 n 阶矩阵，齐次线性方程组()Ax=0
12、 有非零解，则非齐次线性方程组()A Tx=b，对任何b=(b1，b 2，b n)T（分数：4.00）A.不可能有唯一解 B.必有无穷多解C.无解D.可能有唯一解，也可能有无穷多解解析：分析 Ax=0 有非零解，充要条件是 r(A)n由此即可找到答案详解 因 Ax=0 有非零解，故|A|=|A T|=0，即 AT的列向量(A 的行向量)线性相关，则 r(AT)n，因此非齐次方程 ATx=b，当 r(AT*b)=r(AT)n 时，有无穷多解，当 r(AT*b)r(A T)时，无解，可见 ATx=b 对任何 b，不可能有唯一解，故选(A)评注 Ax=b 解的判定问题有两个主要思路：一是检验 r(A
13、*b)=r(A)是否成立；二是考虑 b 是否可由 A的列向量组线性表示二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 E 为闭区间0，4内使被积函数有意义的一切值所构成的集合，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *在0，4内有定义的区间为：E=0，2，3详解 原式=*评注 被积函数含有绝对值，相当于分段函数，应利用积分的可加性分段进行积分10.设 f(x)在区间-，上连续且满足 f(x+)=-f(x)，则 f(x)的傅里叶系数a2n=_(n=1，2，)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 根据傅里叶系数公式*为了利用条件 f(x+)=-f(
14、x)，可将此积分分解为从- 到 0 及从0 到 两部分分别积分，并对第一个积分作变换：x+=t，然后再将两积分合并详解 *前一积分中令 x+=t，则*所以 a 2n=0，(n=1，2，)评注 本题定积分的分解、合并技巧，在定积分的计算过程中经常会遇到，应学会这种处理方法11.直线 与 （分数：4.00）_解析：分析 公垂线是指下述两个平面的交线，一个平面过 L1与公垂线，另一个平面过 L2与公垂线公垂线虽然未知，但其方向向量可以求得，它就是 L1与 L2方向向量的向量积详解 L 1的方向向量为 S1=1，2，00，2，-1=-2，1，2)，L 2的方向向量为 S2=0，1，01，0，2)=2，
15、0，-1，所以公垂线的方向向量为S=S1S2=(-2，1，2)2，0，-1=-1，2，-2设过 L1且与 S 平行的平面为 1，则 1的方程为X+2y+5+(2y-z-4)=0， 1的法向量为 n1=1，2+2，-12.设函数 y=y(x)由 ex+y-cos(xy)=0 确定，则 dy|x=0+_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-dx）解析：详解 令 x=0，得 ey(0)-cos0=1，y(0)=0对 x 求导(1+y)e x+y+sin(xy)(y+xy)=0令 x=0，(1+y(0)e 0=0，y(0)=-1dy| x=0=y(0)dx=-dx评注 计算过程中不用求出 y
16、(x)的表达式，只要将 x=0 代入就容易得出正确结果13.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似标准形为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由|aE+bA|=0，可得*为 A 的特征值因此，本题可求出 A 的三个特征值 1， 2， 3详解 由|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0 知A 有特征值 1=-1， 2=-2， 3=-3，因为 A 与 B 相似，所以 1=-1， 2=-2， 3=-3也是 B 的三个特征值，故 B 的相似标准形为*评注 相似标准形不唯一，本题也可填*、*等14
17、.设二维随机变量(X,Y)的联合分布为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*，*）解析：分析 X、Y 相互独立*详解 X、Y 相互独立*由已知条件可得：*评注 只要存在某 i，j 使 pijp ipj，则 X、Y 不相互独立三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令*对方程组取极限“*”，得*)解析：分析 *为未知常数，同样*也是未知常数评注 对于极限、定积分、二重积分、三重积分等，都可以提类似的问题，例如：*，求 F(x)，g(x)16.设 L 是不经过点(2，0)的分段光滑的简单闭曲线求 ，L 取正向（分数：10.00）_正确
18、答案：(详解 *1当 L 中不包括(2，0)时，*2当 L 中包括(2，0)时，取 L1：(2-x) 2+y2= 2，取正向(0，充分小)则*(D1为圆周 L1的内部)解析：分析 对于围绕闭路的曲线积分，使用格林公式若*，则 I=0，否则计算相应的二重积分当闭路内有奇点时要另外取闭曲线 L1，将奇点挖去评注 当 L 内部有奇点时，取曲线 L1将奇点挖去，关键是曲线 L1应取得合适本题中取 L1：(2-x)2+y2= 2，则被积函数的分母为 2，则对于 L2的曲线积分，奇点就消失了17.设对半空间 x0 中任意光滑闭曲面 S 均有（分数：10.00）_正确答案：(详解 记 S 围成的区域为 ，先
19、由高斯公式得*由 的任意性得*改写成 *这是伯努利方程，解这个方程得*因此 *其中 C0，为任意常数)解析：分析 先由高斯公式引出微分方程，再求解此微分方程即可评注 对于本题的伯努利方程，可令 y(x)=u-1(x)，则化为*，按标准的一阶线性微分方程求解公式即可得：*于是*(x0)，其中 C0，为任意常数18.设 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)1因为根式中有 xn和*项，使用夹逼定理时必须知道 xn和*的大小由*，得*即 当 0x2 时，*，当 x2 时，*2由 1知，讨论极限时必须分段如下：(0，1，(1，2)，2，+)(i)当 0x1 时，*(ii)当 1x2 时(注意：
20、*)，此时 xn1，*，*即*(iii)当 x2 时(注意：*)此时*(2)因为 f(1+0)=f(1-0)=f(1)，f(x)在 x=1 连续f(2+0)=f(2-0)=f(2)，f(x)在 x=2 连续f(x)是(0，+)上的连续函数)解析：分析 n时的极限与 x 的不同取值有关评注 确定 f(x)的定义域分成(0，1，(1，2)，2，+)是关键19.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明：(1)在(a，b)内方程 f(x)=0 至多有一个实根；(2)如果 f(x)为连续函数，且恒有 f(t)dtf(x)，试证明：对任意 x0，积分 （分数：1
21、0.00）_正确答案：(详解 (1)用反证法设 f(x)=0 在(a，b)中至少有两个实根，例如 f(x1)=f(x2)=0，其中：ax 1x 2b令 (x)=f(x)e g(x)，则 (x 1)=(x 2)=0则由罗尔定理：*(a，b)使 F()=0则 f()+f()g()=0 与题设矛盾，所以在(a，b)内 f(x)=0 至多有一个实根(2)今*，则 F(x)=f(x)由条件知 F(x)F(x)，取 g(x)=-x，则 g(x)=-1，所以 F(x)F(x)相当于 F(x)+F(x)g(x)0由(1)知 F(x)在(-，+)至多有一个实根因为 F(0)=0，所以*)解析：分析 使用反证法，
22、并构造辅助函数 (x)=f(x)e g(x)评注 由若干小题构成一个大题，经常做后面小题时要用到前面小题的结论20.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= -2x1x2-2x1x3+2x 2x3，通过正交变换化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：(详解 二次型及其对标准形的矩阵分别为*A 的特征值为 2，2，|A-E|=0，则*于是 2+2+1=0，解得 =-1又 AB，于是 2+2+=a 11+a22+a33=3，则 =-1可知 A 的特征值为 2，2，-1(i)A 的属于 =2 的特征向量：*x1=-x2-x3，*单位化，得*( 1， 2已经正交)(ii)A 的属于 =-1 的特征向
23、量：*单位化，得*所用正交变换矩阵 Q=( 1， 2， 3)=*由通过变换 x=Qy 可化为*这里 xTx=yTQTQy=yTy=3于是 *故 f 在 xTx=3 下的最大值是 6)解析：分析 通过正交变换化二次型为标准形，说明前后二次型所对应矩阵是相似的，由此可求出参数、 的取值，再按通常方法求正交矩阵 Q 即可化为标准形后，条件 XTX=3 可等价表示为 YTY=3再将标准形适当放大，即可利用条件 YTY=*求得最大值评注 若 A、B 相似，则最常用的两个结论是：*，由此可确定有关参数；本题 1， 2已经正交，否则应先将 1， 2正交化再单位化21.设 A 为 n 阶方阵，证明 r(ATA
24、)=r(AAT)=r(A) （分数：11.00）_正确答案：(详解 由上面分析知，只要证明：A TAx=0 与 Ax=0 同解设 是 Ax=0 的解，即 A=0，A TA=0，即 也是 ATAx=0 的解反之设 是 ATAx=0 的解，即 ATA=0， TATA=0，(A) TA=0，A=0，即 是 Ax=0 的解A TAx=0 与 Ax=0 同解r(A TA)=r(A)同理可证 r(AAT)=r(AT)r(A TA)=r(AAT)=r(A)=r(AT)解析：分析 方程组 Ax=0 与方程组 Bx=0 同解*两个方程组有相同的基础解系*r(A)=r(B)评注 Ax=0 的基础解系解向量的个数
25、S 有公式：S=n-r(A)由此可知两方程组同解必然它们系数矩阵的秩相等(反之不然)22.某人要测量 A、B 两地之间的距离，限于测量工具，将其分成 1200 段进行测量，设每段测量误差(单位：千米)相互独立，且均服从(-0.5，0.5)上的均匀分布试求总距离测量误差的绝对值不超过 20 千米的概率(2)=0.977，(x)为 N(0，1)的分布函数)（分数：11.00）_正确答案：(详解 X i表示第 i 段上的测量误差，则XiU(-0.5，0.5)(i=1，2，1200)，E(Xi)=0，* (i=1，2，1200)由中心极限定理：*近似服从 N(0，100)，所以 *=(2)-(-2)=
26、2(2)-1=20.977-1=0.954)解析：分析 设每段测量误差为随机变量 Xi，则 XiU(-0.5，0.5)(i=1，2，1200)，求*评注 该题是用中心极限定理求解的典型问题23.设总体 X 的分布密度为 X1，X 2，X n是取自总体 X 的一个简单随机样本(n1)令试比较关于 的两个估计量 与 （分数：11.00）_正确答案：(详解 应在无偏估计虽中比较有效性，因此首先验证两个估计量*与*的无偏性由于总体 X 服从参数为 -1的指数分布，有 EX=( -1)-1=而*为计算*，需先求出*的分布*计算看出，*服从参数为 的指数分布*由于 n1，故*，即*比*有效)解析：分析 比较*的有效性，即比较方差*的大小因此应先求出*的分布，再求其方差评注 *
