1、考研数学一-102 及答案解析(总分：144.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续C.若D.若 f(x)在 x0的去心邻域内可导，f(x)在 x0处连续，且 存在，则 f(x)在 x0处可导，且3.设 A 为可逆矩阵，令 则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 在(-1，1
2、)上服从均匀分布，令 Y=X2，则 X 与 Y( )（分数：4.00）_5.二元函数 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处可偏导是函数 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处连续的( )（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既不充分又不必要条件6.当 x=-2 时，级数 条件收敛，则级数 的收敛半径为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本（分数：4.00）A.B.C.D.8.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P
3、=(-3 2，2 1，5 3)，则 p-1(A*+2E)P 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.两容器盛盐水 20L，浓度为 15g/L，现以 1L/min 的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀)，从第一只容器以 1L/min 的速度将溶液注入第二只容器，搅拌均匀后第二只容器以 1L/min 的速度排出，则经过 1 分钟第一只容器溶液浓度为原来的一半，t 时刻第二只容器含盐量为 2（分数：4.00）填空项
4、1:_12.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 为两个随机事件，P(B)=P(B|A)，P(A)=0.3，且 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：88.50)15.计算 （分数：9.00）_设 f(x)=1+x(0x1)（分数：9.00）(1).将 f(x)展开成余弦级数，并求 （分数：4.50）_(2).将 f(x)展开成正弦级数（分数：4.50）_16.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得（分数：11
5、.00）_17.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f(1)=1，且二元函数 z=(x2+y2)f(x2+y2)满足（分数：10.00）_18.计算曲面积分 （分数：11.00）_19.a，b 取何值时，方程组 （分数：10.00）_设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：12.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：6.00）_(2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：6.00）_有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有 3 个红球 2 个白球，第三个盒子里
6、有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数（分数：5.50）_(2).求所取到的红球不少于 2 个的概率（分数：2.75）_20.设总体 X 的密度函数为（分数：11.00）_考研数学一-102 答案解析(总分：144.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解*2.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导B.若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-
7、x 0| 内 f(x)连续C.若D.若 f(x)在 x0的去心邻域内可导，f(x)在 x0处连续，且 存在，则 f(x)在 x0处可导，且 解析：详解 *对任意的 a0，因为*不存在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；令*因为*f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为 f(x)在 x0处连续且在 x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有*其中 介于 x0与 x 之间，两边取极限得*存在，即 f(x)在 x0处可导，且*3.设 A 为可逆矩阵，令 则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详
8、解 *4.设随机变量 X 在(-1，1)上服从均匀分布，令 Y=X2，则 X 与 Y( )（分数：4.00）_解析：详解 因为 X 在(-1，1)上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为*由 E(X)=0，E(XY)=E(X 3)=0，得Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，则 X 与 y 不相关，对任意的*因为 PXx 0，Yx 0PxX 0PYx 05.二元函数 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处可偏导是函数 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处连续的( )（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既不充分又不必要条件 解析：详解
9、*在，根据对称性*也不存在，即 f(x，y)在(0，0)处不可偏导，所以 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)处可偏导既非 f(x，y)在点 M0(x0，y 0)连续的充分条件又非必要条件，选(D)6.当 x=-2 时，级数 条件收敛，则级数 的收敛半径为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为当 x=-2 时，级数*条件收敛，所以级数*的收敛半径为 4。而*且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径，又*的收敛半径为*，所以级数*的收敛半径为 R=2，选(A)7.设总体 X 服从标准正态分布，(X 1，X 2，X n)为总体的简单样本（分数：4.00）A.B.C.D. 解
10、析：详解 因为 X1，X 2，X n与总体服从相同的分布，所以*(A)不对；显然*相互独立，则*8.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(-3 2，2 1，5 3)，则 p-1(A*+2E)P 等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=2， 3=0，对应的特征向量为 1， 2， 3，则-3 2，2 1，5 3仍然是 A*+2E 的对应于特征值 2=-2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x，y)为连续函数，改变
11、为极坐标的累次积分为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *11.两容器盛盐水 20L，浓度为 15g/L，现以 1L/min 的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀)，从第一只容器以 1L/min 的速度将溶液注入第二只容器，搅拌均匀后第二只容器以 1L/min 的速度排出，则经过 1 分钟第一只容器溶液浓度为原来的一半，t 时刻第二只容器含盐量为 2（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 设 t 时刻第一、二只容器含盐分别为 m1(t)，m 2(t)g，m 1(0)=m
12、2(0)=300g，在时间*12.设 f(x)在区间-3，0)上的表达式为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：详解 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数，*13.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 AX=0 的解， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 显然*为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以*又因为|E+A|=0，所以 3=-1 为 A 的特征值，令 3=-1 对应的特征向量为*14.设 A，B 为两个随机事件，P(B)=P(B|A)，P(A)
13、=0.3，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为*所以由 P(B)=P(B|A)，得 P(AB)=P(A)P(B)，即事件 A，B 相互独立*解得*三、解答题(总题数：9，分数：88.50)15.计算 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：设 f(x)=1+x(0x1)（分数：9.00）(1).将 f(x)展开成余弦级数，并求 （分数：4.50）_正确答案：(将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则*取 x=0，则有*解得*)解析：(2).将 f(x)展开成正弦级数（分数：4.50）_正确答案：(将 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则an=0(n=0，1，2，)，
14、*)解析：16.设 f“(x)Ca，b，证明：存在 (a，b)，使得（分数：11.00）_正确答案：(*因为 f(x)Ca，b，所以 f(x)C 1， 2，由闭区间上连续函数最值定理，f“(x)在区间 1， 2上取得最小值和最大值，分别记为 m，M，则有*再由闭区间上连续函数的介值定理，存在 1， 2*(a，b)，使得 f“()=*)解析：17.设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0，f(1)=1，且二元函数 z=(x2+y2)f(x2+y2)满足（分数：10.00）_正确答案：(*根据对称性得*)解析：18.计算曲面积分 （分数：11.00）_正确答案：(补充 0：z=0(x
15、 2+y21)，取下侧，*由格林公式得*)解析：19.a，b 取何值时，方程组 （分数：10.00）_正确答案：(*当 a1 时，r(A)=r(A)=4，所以方程组有唯一解；当 a=1，b-1 时，r(A)r(*)，所以方程组无解；当 a=1，b=-1 时，方程组有无穷多个解，通解为X=k1(1，-2，1，0) T+k2(1，-2，0，1) T+(-1，1，0，0) T(k1，k 2为任意常数)解析：设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：12.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：6.00）_正确答案：(若 r(A)=1，则 A 为非零矩
16、阵且 A 的任意两行成比例，即*于是*显然 ， 都不是零向量且 A= T反之，若 A= T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r() Tr()=1又因为 ， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1)解析：(2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：6.00）_正确答案：(因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ，使得 A= T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0令 AX=X，因为 A2-kA，所以 2X=kX，或( 2-k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k因为 1+ 2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2= 3= n=0，由r(OE-A)=r(A)=1，得 A 一定可以对角化)解析：有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有 3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数（分数：5.50）_解析：(2).求所取到的红球不少于 2 个的概率（分数：2.75）_正确答案：(*)解析：20.设总体 X 的密度函数为（分数：11.00）_正确答案：(E(X)=0，*)解析：
