1、考研数学一-100 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是_。（分数：4.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从于一维正态分布C.X，Y 分别服从于一维正态分布D.当参数 =0 时，X，Y 相互独立2.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_（分数：4.00）A.当 n
2、为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点4.当 x0 时，曲线 y=xsin （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2为样本方差，则_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(z)=maxFX(x)，F Y(y)B
3、.FZ(z)=minFX(x)，F Y(y)C.FZ(z)=1-1-FX(x)1-FY(y)D.FZ(z)=FY(y)7.设 I= ，其中 是由 z= 与 z=1 所围立体，则 I=_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率PX+Y1)=_（分数：4.00）A.1-B.1-eC.eD.2e二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 yOz 平面上的投影方程为_（分数：4.00）填空项 1:_
4、11.已知两条直线的方程是 L1： （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13.已知三维线性空间的一组基底为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)， 3(0，1，1)，则 =(2，0，0)在上述基底下的坐标是_（分数：4.00）填空项 1:_14.二维随机变量(X，Y)在区域 D：(x，y)|axb，cyd 上服从均匀分布，则 X 的边缘密度函数为fX(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分
5、数：9.00）_16.求微分方程 y“+4y+4y=e-2x的通解(一般解)（分数：9.00）_17.计算三重积分 其中 是由曲面 z= （分数：11.00）_18.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：11.00）_19.设函数 f(x)在a，b)上满足 af(x)b，|f(x)|q1，令 un=fun-1)，n=1，2，3，；u 0a，b证明： （分数：10.00）_20.设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：(1) 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：11.00）_2
6、1.设线性方程组 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)求： （分数：11.00）_23.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_考研数学一-100 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是_。（分数：4.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从于一维正态分布C.X，Y 分别服从于一维正态分布D.当参数 =0 时，X，Y
7、 相互独立解析：考点提示 密度函数解题分析 因 X，Y 的边缘概率密度函数分别为*其联合密度函数为*因当 0 时，f X(x)fY(y)f(x，y)，故 X，Y 不相互独立选择 A2.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 函数极值和可导的判定解题分析 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正负号*(在 x=0 的某空心邻域)由 1-cosx0，有 f(x)0，即 f(x)在 x=0 取极小值应选 D3.设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f“(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则_（分数：4.00
8、）A.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点B.当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点C.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点D.当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点 解析：考点提示 函数的极值解题分析 因为*(由题设 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0)所以当|x|很小时，f(x)-f(0)与*f (n+1)(0)xn+1同号，而 f(n+1)(0)0当 n 为偶数时，*f (n+1)(0)xn+1在 x=0 点两侧异号，f(0)不是极值点；当 n 为奇数时，在 x=0 两侧均有*f(n+1)(0)xn+10，即 f(x)f(0)，亦即 x=0
9、 为 f(x)的极小值点因此选 D4.当 x0 时，曲线 y=xsin （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 渐近线以及间断点解题分析 只有间断点 x=0，*=0，没有铅直渐近线又*有水平渐近线 y=1应选 A5.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2为样本方差，则_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 随机样本的性质解题分析 根据简单随机样本的性质，可知 X1，X 2，X n相互独立且都服从分布 N(0，1)，于是有*相互独立都服从 2分布，自由度分别为 1 与 n-1因此*应选 D进一步分析可知选项 A，B，
10、C 均不正确*6.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数是_（分数：4.00）A.FZ(z)=maxFX(x)，F Y(y)B.FZ(z)=minFX(x)，F Y(y)C.FZ(z)=1-1-FX(x)1-FY(y) D.FZ(z)=FY(y)解析：考点提示 随机变量的分布律解题分析 F Z(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z=1-PXzYz=1-PXzPYz=1-1-FX(x)1-FY(y)7.设 I= ，其中 是由 z= 与 z=1 所围立体，则 I=_（分数：4.00）A.B. C.D.
11、解析：考点提示 三重积分解题分析 设圆锥上侧、球面上侧所围区域为 1，球面与平面 z=1，圆锥面所围区域为 2(如图所示)，则*8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率PX+Y1)=_（分数：4.00）A.1- B.1-eC.eD.2e解析：考点提示 随机变量的概率密度解题分析 由题设知 fX(x)=*因为随机变量 X 和 Y 相互独立，所以二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=*所以 PX+Y1=1-PX+Y1*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）
12、解析：考点提示 函数极限解题分析 原式=*而*故*10.球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 yOz 平面上的投影方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 求曲线方程解题分析 由 x+z=1 得 x=1-z，将其代入方程 x2+y2+z2=9 中，得(1-z)2+y2+z2=9，即投影曲线方程为*11.已知两条直线的方程是 L1： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-3y+z+2=0）解析：考点提示 求平面方程解题分析 所求平面 过直线 L1，因而过 L1上的点(1，2，3)； 过 L1平行于 L2，于是 平行于不共线的向量 l
13、1=(1，0，-1)，l 2=(2，1，1)(分别是直线 L1与 L2的方向向量)于是平面 的方程*即 x-3y+z+2=0 为所求12.微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xcosx+Ccosx）解析：考点提示 一阶线性非齐次方程的通解解题分析 这是标准形式的一阶线性非齐次方程，由于*通解为 y=xcosx+Ccosx13.已知三维线性空间的一组基底为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)， 3(0，1，1)，则 =(2，0，0)在上述基底下的坐标是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1，1，-1)）解析：考点提
14、示 向量的线性表示解题分析 实际上是将向量 用 1， 2， 3线性表示。*即 = 1+ 2- 3，故 在 1， 2， 3下的坐标为(1，1，-1)14.二维随机变量(X，Y)在区域 D：(x，y)|axb，cyd 上服从均匀分布，则 X 的边缘密度函数为fX(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 二维随机变量的边缘密度函数解题分析因*则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数，并求级数 （分数：9.00）_正确答案：(1) 因为 f(x)简单，先求 f(x)的展开式，然后逐项积分得 f(x)的展开
15、式因又 f(0)= 两边积分得因为 f(x)在 处连续，所以(2) 令又 因此 )解析：考点提示 求幂级数的和函数16.求微分方程 y“+4y+4y=e-2x的通解(一般解)（分数：9.00）_正确答案：(所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程特征方程 r2+4r+4=(r+2)2=0 有二重根 r1=r2=-2，而非齐次项 e-2x中 a=-2 为重特征根，因而非齐次方程有如下形式的解Y-x2ae-2x代入方程可得 a= 故所求通解为)解析：考点提示 二阶线性非齐次方程的通解17.计算三重积分 其中 是由曲面 z= （分数：11.00）_正确答案：( 关于 yz 平而对称，对 x 为奇函数 是
16、由球心在原点半径为 1 的上半球面与顶点在原点、对称轴为 z 轴、半顶角为 的锥面所围成，故可选用球坐标变换，则)解析：考点提示 三重积分18.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：11.00）_正确答案：(要对 f(x)在0，1上使用罗尔中值定理，问题在于证明 f(x)在0，1上有两个等值点由积分中值定理，得又由罗尔中值定理， c(0，x 0) )解析：考点提示 积分中值定理19.设函数 f(x)在a，b)上满足 af(x)b，|f(x)|q1，令 un=fun-1)，n=1，2，3，；u 0a，b证明： （分数：10.00）_正确答案：(因为|un+1-un|=|f
17、(un)-f(un-1)|=|f( 1)|un-un-1|q|u n-un-1|=q|f(un-1)=f(un-2)|=q|f( 2)|un-1-un-2|q 2|un-1-un-2|q n|u1-u0|又级数 收敛，所以，级数 )解析：考点提示 级数的敛散性20.设向量组 1， 2， 3线性相关，向量组 2， 3， 4线性无关，问：(1) 1能否由 2， 3线性表出?证明你的结论(2) 4能否由 1， 2， 3线性表出?证明你的结论（分数：11.00）_正确答案：(1) 1能由 2， 3线性表示因为已知 2， 3， 4线性无关，所以 2， 3线性无关，又因为 1， 2， 3线性相关，所以 1
18、可以由 2， 3线性表出(2) 4=k1 1+k2 2+k3 3由(1)知，可设 1=l2 2+l3 3，那么代入上式整理得 4=(k1l2+k2) 2+(k1l3+k3) 3即 4可以由 2， 3线性表出，从而 2， 3， 4线性相关这与已知矛盾因此， 4不能由 1， 2， 3线性表出)解析：考点提示 向量的线性表示21.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(设 B=( 1， 2， 3)，其 i=(i=1，2，3)为三维列向量由于 B0，所以至少有一个非零的列向量，不妨设 10，由于AB=A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=0A 1=0即 1为齐次线性方程组 AX=
19、0 的非零解于是系数矩阵的列阵的行列式必为零，即)解析：考点提示 线性方程组中常数的确定22.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)求： （分数：11.00）_正确答案：(由题设可知， 又由于 X 与 Y 相互独立，所以(X，Y)的密度为于是)解析：考点提示 随机变量的函数分布23.设随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从均值为 1、标准差(均方差)为 （分数：11.00）_正确答案：(由于独立的正态变量 X 与 Y 的线性组合仍服从正态分布，且EZ=2EX-EY+3=5，DZ=4DX+DY=9因此 Z 的概率密度函数为 fZ(z)= )解析：考点提示 概率密度函数
