1、2014 年山东省泰安市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 20 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分 ) 1.(3 分 )在 ， 0， -1， - 这四个数中，最小的数是 ( ) A. B.0 C.- D.-1 解析： -1 - 0 . 答案： D. 2.(3 分 )下列运算，正确的是 ( ) A. 4a-2a=2 B. a6a 3=a2 C. (-a3b)2=a6b2 D. (a-b)2=a2-b2 解析： A、是合并同类项结果是 2a，不正确； B、是同底数幂的除法，底数不变指数相减，结果
2、是 a3； C、是考查积的乘方正确； D、等号左边是完全平方式右边是平方差，所以不相等 . 答案： C. 3.(3 分 )下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： B、圆锥主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误； C、三棱柱主视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项错误； D、长方体主视图和俯视图都为矩形，故此选项正确； 答案： D. 4.(3 分 )PM2.5 是指大气中直径 0.0000025 米的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为 ( ) A. 2.510 -7 B. 2.510 -6 C. 2510 -7 D. 0.2510 -5
3、 解析： 0.0000025=2.510 -6， 答案： B. 5.(3 分 )如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是 ( ) A. 1+6 180 B. 2+5 180 C. 3+4 180 D. 3+7 180 解析： A、 DGEF ， 3+4=180 ， 6=4 ， 3 1 ， 6+1 180 ，故本选项错误； B、 DGEF ， 5=3 ， 2+5=2+3= (180 -1 )+(180 -ALH )=360 -(1+ALH )=360 -(180 -A )=180+A 180 ，故本选项错误； C、 DGEF ， 3+4=180 ，故本选项错误； D、 DGEF
4、， 2=7 ， 3+2=180+A 180 ， 3+7 180 ，故本选项正确； 答案： D. 6.(3 分 )下列四个图形： 其中是轴对称图形，且对称轴的条数为 2 的图形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 第一个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第二个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第三个是轴对称图形，有 2 条对称轴； 第四个是轴对称图形，有 3 条对称轴； 答案： C. 7.(3 分 )方程 5x+2y=-9 与下列方程构成的方程组的解为 的是 ( ) A. x+2y=1 B. 3x+2y=-8 C. 5x+4y=-3 D. 3x-4y=-8 解析： 方
5、程 5x+2y=-9 与下列方程构成的方程组的解为 的是 3x-4y=-8. 答案： D 8.(3 分 )如图， ACB=90 ， D 为 AB 的中点，连接 DC 并延长到 E，使 CE= CD，过点 B作BFDE ，与 AE 的延长线交于点 F.若 AB=6，则 BF 的长为 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 解析： 如图， ACB=90 ， D 为 AB 的中点， AB=6， CD= AB=3. 又 CE= CD， CE=1 ， ED=CE+CD=4 . 又 BFDE ，点 D 是 AB 的中点， ED 是 AFB 的中位线， BF=2ED=8 . 答案： C. 9.(3
6、 分 )以下是某校九年级 10 名同学参加学校演讲比赛的统计表： 则这组数据的中位数和平均数分别为 ( ) A. 90， 90 B. 90， 89 C. 85， 89 D. 85， 90 解析： 共有 10 名同学，中位数是第 5 和 6 的平均数， 这组数据的中位数是 (90+90)2=90 ； 这组数据的平均数是： (80+852+905+952 )10=89 ； 答案： B. 10.(3 分 )在 ABC 和 A 1B1C1中，下列四个命题： (1)若 AB=A1B1， AC=A1C1， A=A 1，则 ABCA 1B1C1； (2)若 AB=A1B1， AC=A1C1， B=B 1，则
7、 ABCA 1B1C1； (3)若 A=A 1， C=C 1，则 ABCA 1B1C1； (4)若 AC： A1C1=CB： C1B1， C=C 1，则 ABCA 1B1C1. 其中真命题的个数为 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： (1)若 AB=A1B1， AC=A1C1， A=A 1，能用 SAS 定理判定 ABCA 1B1C1，正确； (2)若 AB=A1B1， AC=A1C1， B=B 1，不能判定 ABCA 1B1C1，错误； (3)若 A=A 1， C=C 1，能判定 ABCA 1B1C1，正确； (4)若 AC： A1C1=CB： C1B1，
8、 C=C 1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定 ABCA 1B1C1，正确 . 答案： B. 11.(3 分 )在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，它们的标号分别为 1， 2， 3， 4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： 画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 4 的有 10 种情况， 两次摸出的小球的标号之和大于 4 的概率是： = . 答案： C. 12.(3 分 )如图 是一个直角三角形纸片， A=30 ， BC=4cm，将
9、其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C 处，折痕为 BD，如图 ，再将 沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC 的延长线上的点 A处，如图 ，则折痕 DE 的长为 ( ) A. cm B.2 cm C.2 cm D.3cm 解析： ABC 是直角三角形， A=30 ， ABC=90 -30=60 ， 沿折痕 BD 折叠点 C 落在斜边上的点 C 处， BDC=BDC ， CBD=ABD= ABC=30 ， 沿 DE 折叠点 A 落在 DC 的延长线上的点 A 处， ADE=ADE ， BDE=ABD+ADE= 180=90 ， 在 RtBCD 中， BD=BCcos30=4 = cm， 在 RtA
10、DE 中， DE=BD tan30= = cm. 答案： A. 13.(3 分 )某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是 ( ) A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 解析： 设每盆应该多植 x 株，由题意得 (3+x)(4-0.5x)=15， 答案： A. 14.(3 分 )如图， ABC 中， ACB
11、=90 ， A=30 ， AB=16.点 P 是斜边 AB 上一点 .过点 P作 PQAB ，垂足为 P，交边 AC(或边 CB)于点 Q，设 AP=x， APQ 的面积为 y，则 y与 x 之间的函数图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析： 当点 Q 在 AC 上时， A=30 ， AP=x， PQ=xtan30= ， y= APPQ= x = x2； 当点 Q 在 BC 上时，如下图所示： AP=x ， AB=16， A=30 ， BP=16 -x， B=60 ， PQ=BP tan60= (16-x). = = . 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下
12、 . 答案： B. 15.(3 分 )若不等式组 有解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a -36 B. a -36 C. a -36 D. a -36 解析：， 解 得： x a-1， 解 得： x -37， 则 a-1 -37，解得： a -36. 答案： C. 16.(3 分 )将两个斜边长相等的三角形纸片如图 放置，其中 ACB=CED=90 ， A=45 ，D=30 .把 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15 得到 D 1CE1，如图 ，连接 D1B，则 E 1D1B 的度数为 ( ) A. 10 B. 20 C. 7.5 D. 15 解析： CED=90 ， D=30 ， D
13、CE=60 ， DCE 绕点 C 顺时针旋转 15 ， BCE 1=15 ， BCD 1=60 -15=45 ， BCD 1=A ， 在 ABC 和 D 1CB 中， ， ABCD 1CB(SAS)， BD 1C=ABC=45 ， E 1D1B=BD 1C-CD 1E1=45 -30=15 . 答案： D. 17.(3 分 )已知函数 y=(x-m)(x-n)(其中 m n)的图象如图所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由图可知， m -1， n=1， 所以 m+n 0， 所以 一次函数 y=mx+n 经过第二四象限，且与
14、y 轴相交于点 (0， 1)， 反比例函数 y= 的图象位于第二四象限， 纵观各选项，只有 C 选项图形符合 . 答案： C. 18.(3 分 )如图， P 为 O 的直径 BA 延长线上的一点， PC 与 O 相切，切点为 C，点 D 是 上一点，连接 PD.已知 PC=PD=BC.下列结论： (1)PD 与 O 相切； (2)四边形 PCBD 是菱形； (3)PO=AB； (4)PDB=120 . 其中正确的个数为 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解析： (1)连接 CO， DO， PC 与 O 相切，切点为 C， PCO=90 ， 在 PCO 和 PDO
15、中， ， PCOPDO (SSS)， PCO=PDO=90 ， PD 与 O 相切，故此选项正确； (2)由 (1)得： CPB=BPD ， 在 CPB 和 DPB 中， ， CPBDPB (SAS)， BC=BD ， PC=PD=BC=BD ， 四边形 PCBD 是菱形，故此选项正确； (3)连接 AC， PC=CB ， CPB=CBP ， AB 是 O 直径， ACB=90 ， 在 PCO 和 BCA 中， ， PCOBCA (ASA)， AC=CO ， AC=CO=AO ， COA=60 ， CPO=30 ， CO= PO= AB， PO=AB ，故此选项正确； (4) 四边形 PCBD
16、 是菱形， CPO=30 ， DP=DB ，则 DPB=DBP=30 ， PDB=120 ，故此选项正确； 答案： A. 19.(3 分 )如图，半径为 2cm，圆心角为 90 的扇形 OAB 中，分别以 OA、 OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.( -1)cm2 B.( +1)cm2 C.1cm2 D. cm2 解析： 扇形 OAB的圆心角为 90 ，假设扇形半径为 2， 扇形面积为： = (cm2)， 半圆面积为： 1 2= (cm2)， S Q+SM =SM+SP= (cm2)， S Q=SP， 连接 AB， OD， 两半圆的直径相等， AOD=BOD=45 ， S
17、 绿色 =SAOD = 21=1 (cm2)， 阴影部分 Q 的面积为： S 扇形 AOB-S 半圆 -S 绿色 = - -1= -1(cm2). 答案： A. 20.(3 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a， b， c 为常数，且 a0 )中的 x与 y 的部分对应值如下表： 下列结论： (1)ac 0； (2)当 x 1 时， y 的值随 x 值的增大而减小 . (3)3 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的一个根； (4)当 -1 x 3 时， ax2+(b-1)x+c 0. 其中正确的个数为 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析： 由图表中数据可得出：
18、 x=1 时， y=5 值最大，所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下， a 0；又 x=0 时， y=3，所以 c=3 0，所以 ac 0，故 (1)正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x= =1.5， 当 x 1.5 时， y 的值随 x 值的增大而减小，故 (2)错误； x=3 时， y=3， 9a+3b+c=3 ， c=3 ， 9a+3b+3=3 ， 9a+3b=0 ， 3 是方程 ax2+(b-1)x+c=0的一个根，故 (3)正确； x= -1 时， ax2+bx+c=-1， x= -1 时， ax2+(b-1)x+c=0， x=3 时， ax2+(
19、b-1)x+c=0，且函数有最大值， 当 -1 x 3 时， ax2=(b-1)x+c 0，故 (4)正确 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 4 小题，满分 12分。只要求填写最后结果，每小题填对得 3分 ) 21.(3 分 )化简 (1+ ) 的结果为 . 解析： 原式 = = =x-1. 答案： x-1 22.(3 分 )七 (一 )班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据整理如下表 (部分 )： 若该小区有 800 户家庭，据此估计该小区月均用水量不超过 10m3的家庭约有 560 户 . 解析： 根据题意得： =100(户 )， 15 x20
20、的频数是 0.07100=7 (户 )， 5 x10 的频数是： 100-12-20-7-3=58(户 )， 则该小区月均用水量不超过 10m3的家庭约有 800=560 (户 )； 答案： 560. 23.(3 分 )如图， AB 是半圆的直径，点 O 为圆心， OA=5，弦 AC=8， ODAC ，垂足为 E，交 O于 D，连接 BE.设 BEC= ，则 sin 的值为 . 解析： 连结 BC，如图， AB 是半圆的直径， ACB=90 ， 在 RtABC 中， AC=8， AB=10， BC= =6， ODAC ， AE=CE= AC=4， 在 RtBCE 中， BE= =2 ， sin
21、= = = . 答案： . 24.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，将 ABO 绕点 A 顺时针旋转到 AB 1C1的位置，点 B、O 分别落在点 B1、 C1处，点 B1在 x轴上，再将 AB 1C1绕点 B1顺时针旋转到 A 1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，将 A 1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A 2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去 .若点 A( ， 0)， B(0， 4)，则点 B2014的横坐标为 . 解析： 由题意可得： AO= ， BO=4， AB= ， OA+AB 1+B1C2= + +4=6+4=10， B 2的横坐标为： 10， B4的横坐标
22、为： 210=20 ， 点 B2014的横坐标为： 10=10070 . 答案： 10070. 三、解答题 (本大题共 5 小题，满分 48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 ) 25.(8 分 )某超市用 3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨 9000 元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了 20%，购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克，如果超市按每千克 9 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的 600 千克按售价的 8 折售完 . (1)该种干果的第一次 进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 解析： (
23、1)设该种干果的第一次进价是每千克 x 元，则第二次进价是每千克 (1+20%)x 元 .根据第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克，列出方程，解方程即可求解； (2)根据利润 =售价 -进价，可求出结果 . 答案 ： (1)设该种干果的第一次进价是每千克 x 元，则第二次进价是每千克 (1+20%)x 元， 由题意，得 =2 +300，经检验 x=5 是方程的解 . 答：该种干果的第一次进价是每千克 5 元； (2) + -6009+600980% -(3000+9000) =(600+1500-600)9+4320 -12000 =15009+4320 -12000 =13
24、500+4320-12000 =5820(元 ). 答：超市销售这种干果共盈利 5820 元 . 26.(8 分 )如图 ， OAB 中， A(0， 2)， B(4， 0)，将 AOB 向右平移 m 个单位，得到 OAB . (1)当 m=4 时，如图 .若反比例函数 y= 的图象经过点 A ，一次函数 y=ax+b 的图象经过A 、 B 两点 .求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若反比例函数 y= 的图象经过点 A 及 AB 的中点 M，求 m 的值 . 解析： (1)根据题意得出： A 点的坐标为： (4， 2)， B 点的坐标为： (8， 0)，进而利用待定系数法求一次函数解析式即
25、可； (2)首先得出 AB 的中点 M 的坐标为： (m+4-2， 1)则 2m=m+2，求出 m 的值即可 . 答案 ： (1)由图 值： A 点的坐标为： (4， 2)， B 点的坐标为： (8， 0)， k=42=8 ， y= ， 把 (4， 2)， (8， 0)代入 y=ax+b 得： ，解得： ， 经过 A 、 B 两点的一次函数表达式为： y=- x+4； (2)当 AOB 向右平移 m 个单位时， A 点的坐标为： (m， 2)， B 点的坐标为： (m+4， 0) 则 AB 的中点 M 的坐标为： (m+4-2， 1)2m=m+2 ，解得： m=2， 当 m=2 时，反比例函数
26、 y= 的图象经过点 A 及 AB 的中点 M. 27.(10 分 )如图， ABC=90 ， D、 E 分别在 BC、 AC 上， ADDE ，且 AD=DE，点 F是 AE 的中点， FD 与 AB 相交于点 M. (1)求证： FMC=FCM ； (2)AD 与 MC 垂直吗？并说明理由 . 解析： (1)根据等腰直角三角形的性质得出 DFAE ， DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出 DFCAFM (AAS)，即可得出答案； (2)由 (1)知， MFC=90 ， FD=EF， FM=FC，即可得出 FDE=FMC=45 ，即可理由平行线的判定得出答案 . 答案： (1)AD
27、E 是等腰直角三角形， F 是 AE 中点， DFAE ， DF=AF=EF， 又 ABC=90 ， DCF ， AMF 都与 MAC 互余， DCF=AMF ， 在 DFC 和 AFM 中， ， DFCAFM (AAS)， CF=MF ， FMC=FCM ； (2)ADMC ， 理由：由 (1)知， MFC=90 ， FD=EF， FM=FC， FDE=FMC=45 ， DECM ， ADMC . 28.(11 分 )如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， AC 与 BD 交于点 E， ADB=ACB . (1)求证： = ； (2)若 ABAC ， AE： EC=1： 2， F 是
28、BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形 . 解析： (1)利用相似三角形的判定得出 ABEACB ，进而求出答案； (2)首先证明 AD=BF，进而得出 ADBF ，即可得出四边形 ABFD 是平行四边形，再利用 AD=AB，得出四边形 ABFD 是菱形 . 答案 ： (1)AB=AD ， ADB=ABE ， 又 ADB=ACB ， ABE=ACB ， 又 BAE=CAB ， ABEACB ， = ， 又 AB=AD ， = ； (2)设 AE=x， AE ： EC=1： 2， EC=2x ， 由 (1)得： AB2=AE AC， AB= x， 又 BAAC ， BC=2 x， ACB=3
29、0 ， F 是 BC 中点， BF= x， BF=AB=AD ， 又 ADB=ACB=ABD ， ADB=CBD=30 ， ADBF ， 四边形 ABFD 是平行四边形， 又 AD=AB ， 四边形 ABFD 是菱形 . 29.(11 分 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 (-1， 4)，且与直线 y=- x+1 相交于 A、 B两点 (如图 )， A 点在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(-3， 0). (1)求二次函数的表达式； (2)点 N 是二次函数图象上一点 (点 N 在 AB 上方 )，过 N作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求 MN
30、 的最大值； (3)在 (2)的条件下，点 N 在何位置时， BM与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标 . 解析： (1)首先求得 A、 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； (2)设 M 的横坐标是 x，则根据 M和 N 所在函数的解析式，即可利用 x 表示出 M、 N 的坐标，利用 x 表示出 MN 的长，利用二次函数的性质求解； (3)BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，则 BC=MC，据此即可列方程，求得 x的值，从而得到 N 的坐标 . 答案 ： (1)由题设可知 A(0， 1)， B(-3， )， 根据题意得： ，解得： ， 则二次函数的解析式是： y=- - x+1； (2)设 N(x， - x2- x+1)，则 M、 P 点的坐标分别是 (x， - x+1)， (x， 0). MN=PN -PM=- x2- x+1-(- x+1)=- x2- x=- (x+ )2+ ， 则当 x=- 时， MN 的最大值为 ； (3)连接 MN、 BN、 BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形， 由于 BCMN ，即 MN=BC，且 BC=MC，即 - x2- x= ，且 (- x+1)2+(x+3)2= ， 解得： x=-1，故当 N(-1， 4)时， MN 和 NC 互相垂直平分 .
