1、清华大学信号与系统真题 2010 年及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：2，分数：40.00)(1).试证明： （分数：4.00）_(2).求 （分数：4.00）_(3).已知 X(k)=DFTx(n)，0nN-1，0kN-1，请用 X(k)表示 X(z)，其中 X(z)是 x(n)的 z 变换。（分数：4.00）_(4).已知 F(e-t2 )=e-f2 ，求 （分数：4.00）_(5).一个系统的输出 y(t)与输入 x(t)的零状态条件下的关系为 y(t)= （分数：4.00）_已知周期为 T 的信号 f(t)的傅里叶级数为 f(t)=f1(t)+f2
2、(t)，其中 f1(t)= Fne-jnt ，f 2(t)= Fme-jmt ，其中 t(-，)， （分数：20.00）(1).f1(t)与 f2(t)正交；（分数：4.00）_(2).，式中上标“”表示平均值。 （分数：4.00）_(3).已知某系统的系统函数为 （分数：4.00）_(4).对数字信号 x(n)每隔 M(M 为正整数)点抽取一点，称为降率采样，对数字信号降采样可能遇到的主要问题是什么?怎样解决呢?（分数：4.00）_(5).一个信号的单边拉氏变换存在的充分条件是什么?为什么?（分数：4.00）_二、B/B(总题数：1，分数：20.00)已知一个系统的输出 y(t)与输入 x(
3、t)的微分方程模型为 （分数：20.00）(1).系统的冲激响应 h(t)；（分数：5.00）_(2).系统的零输入响应 yzi(t)；（分数：5.00）_(3).系统的稳态响应 yss(t)；（分数：5.00）_(4).系统有界输入有界输出(BIBO)稳定吗?为什么?（分数：5.00）_三、B/B(总题数：1，分数：10.00)已知一个离散时间 IIR 滤波器的输出 y(n)和输入 x(n)的差分方程描述为 y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=x(n)+ （分数：10.00）(1).若 a1=-2，a 2=1，求系统在 x(n)=u(n)-u(n-3)激励下的响应 y(n)，n0；
4、（分数：5.00）_(2).若输入和滤波器抽头系数 a1和 a2，当 0n10 时，同上小题。但当 n10 时，a 1变为 1，a 2变为（分数：5.00）_四、B/B(总题数：1，分数：10.00)已知一个线性时不变(LTI)系统的冲激响应 h(t)为实基本信号。现采用以下方法重构 h(t)：对该系统依次注入幅度为 1 的单频正弦信号，频率间隔为 0。当频率为 n 0(n=0，1，2，)时，记录系统输出的幅度 A(n 0)和输出与输入的相位差 (n 0)。（分数：9.99）(1).请给出根据 A(n 0)和 (n 0)，(n=0，1，2，)计算系统冲激响应的一种方法；（分数：3.33）_(2
5、).当 h(t)是时限信号时，能根据 A(n 0)和 (n 0)在理论上精确计算 h(t)吗?为什么?条件是什么?请用图形解释或进行公式化解析解释；（分数：3.33）_(3).当 h(t)带限信号时，能采用 A(n 0)和 (n 0)精确计算 h(t)吗?为什么?（分数：3.33）_五、B/B(总题数：1，分数：10.00)1.傅里叶变换描述信号 f(t)在 t(-，)的全频谱特征。为了研究在 区间上的频谱组成，定义短时傅里叶变换(STFT)，F(，)= f(t)g(t-)e -jt dt，其中 g(t)表示窗函数 g(t)=0， ，其中 T 为常数。己知有窗函数 和 g2(t)= （分数：1
6、0.00）_六、B/B(总题数：1，分数：10.00)2.数字滤波器结构如下图所示。(1)求该系统函数 H(z)；(2)该系统有线性相位特征吗?为什么?(3)a0，a 1，a 2，a 3，a 4都是实数时，请论述 H(z)的零、极点规律；(4)请问上述结构能否实现全通滤波器?为什么?(5)上述滤波器结构的优点是什么?（分数：10.00）_清华大学信号与系统真题 2010 年答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：2，分数：40.00)(1).试证明： （分数：4.00）_正确答案：(解：根据傅里叶变换与逆变换的定义，得到： *)解析：(2).求 （分数：4.00）
7、_正确答案：(解：根据常用傅里叶变换，可知 FSa(t)=u(t+)-u(t-)，再由卷积定理，可得：FSa2(t)=*u(+)-u(-)*u(+)-u(-)*又因为 Fcos(t)=(+)+(-)，则由上题的结论，得到：*)解析：(3).已知 X(k)=DFTx(n)，0nN-1，0kN-1，请用 X(k)表示 X(z)，其中 X(z)是 x(n)的 z 变换。（分数：4.00）_正确答案：(解：对于长度为 N 的有限长序列，利用其 DFT 的 N 个样值，可以恢复其 z 变换函数： * 其中，*，是内插函数。)解析：(4).已知 F(e-t2 )=e-f2 ，求 （分数：4.00）_正确答
8、案：(解：根据傅里叶变换尺度变换可知：*所以：Fe -(t/)2 =*再由傅里叶变换微分性质可知，*，所以：*)解析：(5).一个系统的输出 y(t)与输入 x(t)的零状态条件下的关系为 y(t)= （分数：4.00）_正确答案：(解：是。若 x1(t)y 1(t)，x 2(t)y 2(t)，则根据积分的基本性质可知：ax1(t)+bx2(t)ay 1(t)+by2(t)所以该系统是线性的。)解析：已知周期为 T 的信号 f(t)的傅里叶级数为 f(t)=f1(t)+f2(t)，其中 f1(t)= Fne-jnt ，f 2(t)= Fme-jmt ，其中 t(-，)， （分数：20.00）(
9、1).f1(t)与 f2(t)正交；（分数：4.00）_正确答案：(根据定义，f 1(t)与 f2(t)的内积为：*即 f1(t)与 f2(t)是正交的。)解析：(2).，式中上标“”表示平均值。 （分数：4.00）_正确答案：(因为 f1(t)与 f2(t)是正交的，所以：*)解析：(3).已知某系统的系统函数为 （分数：4.00）_正确答案：(解：由系统函数可知：H(0)=1，即对直流分量的增益为 1；*，即对基波的增益为*，也就是幅度变为相反数，相位改变*。所以，输入信号为 x(t)=1-sintu(t)+x0(t)，其中 x0(t)表示一个高频分量。)解析：(4).对数字信号 x(n)
10、每隔 M(M 为正整数)点抽取一点，称为降率采样，对数字信号降采样可能遇到的主要问题是什么?怎样解决呢?（分数：4.00）_正确答案：(解：主要问题有信噪比降低以及难以恢复信号。虽然降率采样有简化运算、提高处理速度的优点，但降率采样的采样速率也应满足采样定理。)解析：(5).一个信号的单边拉氏变换存在的充分条件是什么?为什么?（分数：4.00）_正确答案：(解：信号 f(t)是指数阶信号，也就是不能比指数函数增长得快，即 f(t)=O(e 0t)。这是因为拉氏变换中引入了衰减因子 e-s ，使得指数阶信号都能满足收敛条件。)解析：二、B/B(总题数：1，分数：20.00)已知一个系统的输出 y
11、(t)与输入 x(t)的微分方程模型为 （分数：20.00）(1).系统的冲激响应 h(t)；（分数：5.00）_正确答案：(解：对*两边取拉氏变换得：sY(s)+Y(s)=s2X(s)+sX(s)+X(s)所以：*取拉氏逆变换，得到系统的冲激响应：h(t)=(t)+e -tu(t)。)解析：(2).系统的零输入响应 yzi(t)；（分数：5.00）_正确答案：(解：令 x(t)=0，则：sY(s)+Y(s)-y(0 -)=0*。所以系统的零输入响应为：y zi(t)=e-tu(t)解析：(3).系统的稳态响应 yss(t)；（分数：5.00）_正确答案：(解：因为 x(t)=sint 的拉氏
12、变换为*，所以：*求其拉氏逆变换，得到：y(t)=*(e -t+cost+sint)u(t)求*，得到系统的稳态响应：y ss(t)=*(cost+sint)u(t)解析：(4).系统有界输入有界输出(BIBO)稳定吗?为什么?（分数：5.00）_正确答案：(该系统不是 BIBO 稳定系统。因为冲激响应 h(t)=(t)+e -tu(t)含有 (t)，即系统包含一个理想微分器。如果将阶跃信号(有界输入)加到这个系统上，输出将包含一个冲激(无界输出)，显然这个系统是 BIBO 不稳定的。)解析：三、B/B(总题数：1，分数：10.00)已知一个离散时间 IIR 滤波器的输出 y(n)和输入 x(
13、n)的差分方程描述为 y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=x(n)+ （分数：10.00）(1).若 a1=-2，a 2=1，求系统在 x(n)=u(n)-u(n-3)激励下的响应 y(n)，n0；（分数：5.00）_正确答案：(解：代入条件，得 y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=x(n)+*x(n-1)，求其 z 变换，得：*所以系统函数为：*输入的 z 变换为：x(n)=u(n)-u(n-3)*X(z)=1+z -1+z-2。则输出的 z 变换为：*观察发现，这种方法很难算下去。又观察到输入 x(n)为限时信号，所以也可以递推求解：当 0n4 时：y(0)=x(0)=1y(
14、1)-2y(0)=x(1)+*y(2)-2y(1)+y(0)=x(2)+*y(3)-2y(2)+y(1)=x(3)+*当 n4 时，因为 y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=0，n4，所以：*)解析：(2).若输入和滤波器抽头系数 a1和 a2，当 0n10 时，同上小题。但当 n10 时，a 1变为 1，a 2变为（分数：5.00）_正确答案：(解：当 0n10 时，输出与上文相同：当 0n4 时：y(0)=x(0)=1，y(1)-2y(0)=x(1)+*y(2)-2y(1)+y(0)=x(2)+*y(3)-2y(2)+y(1)=x(3)+*当 4n10 时：*当 n11 时，因为 y(
15、9)=39，*，y(n)+y(n-1)+*y(n-2)=0。得到特征方程为 2+*=0，特征根为 1,2=*，则有输出方程为 y(n)=(C1n+C2)*，代入起始条件，得到：*则可得：y(n)=(65412n-610476)*，n11)解析：四、B/B(总题数：1，分数：10.00)已知一个线性时不变(LTI)系统的冲激响应 h(t)为实基本信号。现采用以下方法重构 h(t)：对该系统依次注入幅度为 1 的单频正弦信号，频率间隔为 0。当频率为 n 0(n=0，1，2，)时，记录系统输出的幅度 A(n 0)和输出与输入的相位差 (n 0)。（分数：9.99）(1).请给出根据 A(n 0)和
16、 (n 0)，(n=0，1，2，)计算系统冲激响应的一种方法；（分数：3.33）_正确答案：(解：先构造系统函数的等间隔抽样：*这实际上是对频谱进行抽样，根据频域抽样知识有：* 截取一个周期，得到重构 h(t):h(t)=hT(t)u(t+T)-u(t-T)。)解析：(2).当 h(t)是时限信号时，能根据 A(n 0)和 (n 0)在理论上精确计算 h(t)吗?为什么?条件是什么?请用图形解释或进行公式化解析解释；（分数：3.33）_正确答案：(能。因为对时限信号进行频域抽样，相当于在时域形成重复的周期信号，因此只要不发生混叠，就可以恢复出原始时域信号。由频域抽样定理知当*时可恢复 h(t)
17、。示意图如下图所示。 * 由图可知，当抽样间隔*时，在时域不发生混叠，就可以恢复出原始信号。)解析：(3).当 h(t)带限信号时，能采用 A(n 0)和 (n 0)精确计算 h(t)吗?为什么?（分数：3.33）_正确答案：(不能。h(t)是带限电信号时一定不是时限信号，即在时域上可能是无限长的，因此在频域抽样时，无论抽样间隔取何值，时域上都会发生混叠，导致无法恢复 h(t)。)解析：五、B/B(总题数：1，分数：10.00)1.傅里叶变换描述信号 f(t)在 t(-，)的全频谱特征。为了研究在 区间上的频谱组成，定义短时傅里叶变换(STFT)，F(，)= f(t)g(t-)e -jt dt
18、，其中 g(t)表示窗函数 g(t)=0， ，其中 T 为常数。己知有窗函数 和 g2(t)= （分数：10.00）_正确答案：(解：先证明 STFT 的一个性质：*式中，*=g(t-)e jt 。取傅里叶变换，得：G, (v)=*g(t-)e jt e-jvtdt=e-j(v-)t *g(t)e-j(v-)t dt=G(v-)e -j(v-)t由内积不变性得：*所以：F(,)=e -jt *F(v)G*(v-)e jvtdv上式指出，对 f(t)在时域加窗 g(t-)，那么相应地在频域对 F(v)加窗 G(v-)。对于窗函数*，由常用傅里叶变换可知：*对于窗函数*，由常用傅里叶变换可知：*G
19、1(v)和 G2(v)的波形如下图所示。*从图中可以看出，在频域上加*窗后，相当于只保留所取的单个频率分量幅值；而加*窗后，相当于保留连续三个频点的幅值。)解析：六、B/B(总题数：1，分数：10.00)2.数字滤波器结构如下图所示。(1)求该系统函数 H(z)；(2)该系统有线性相位特征吗?为什么?(3)a0，a 1，a 2，a 3，a 4都是实数时，请论述 H(z)的零、极点规律；(4)请问上述结构能否实现全通滤波器?为什么?(5)上述滤波器结构的优点是什么?（分数：10.00）_正确答案：(解：由结构图可知，N=9 为奇数，h(n)为偶对称。(1)通过观察滤波器结构图，容易得到系统函数为：H(z)=*h(n)(z-n+z-(8-n)+h(4)z-4=*an(z-n+z-(8-n)+a4z-4。(2)由于系统频率响应为：H(ej )=H(z)|z=ej =*an(e-jn +e-j(8-n) )+a4e-j4*可以看出，该系统具有线性相位特征。(3)该系统无极点，又因为系统函数满足 H(z)=z-(N-1)H(z-1)=z-8H(z-1)，所以系统零点必定有重根。(4)不能。从系统频率响应可以看出，该系统的幅频响应不为 1，因而无法实现全通。(5)由于该系统具有线性相位，所以信号的处理中可以不再对相位进行考虑，节省了乘法器，提高了运算速度。)解析：
