1、清华大学信号与系统真题 2010 年及答案解析(总分:99.99,做题时间:90 分钟)一、B/B(总题数:2,分数:40.00)(1).试证明: (分数:4.00)_(2).求 (分数:4.00)_(3).已知 X(k)=DFTx(n),0nN-1,0kN-1,请用 X(k)表示 X(z),其中 X(z)是 x(n)的 z 变换。(分数:4.00)_(4).已知 F(e-t2 )=e-f2 ,求 (分数:4.00)_(5).一个系统的输出 y(t)与输入 x(t)的零状态条件下的关系为 y(t)= (分数:4.00)_已知周期为 T 的信号 f(t)的傅里叶级数为 f(t)=f1(t)+f2
2、(t),其中 f1(t)= Fne-jnt ,f 2(t)= Fme-jmt ,其中 t(-,), (分数:20.00)(1).f1(t)与 f2(t)正交;(分数:4.00)_(2).,式中上标“”表示平均值。 (分数:4.00)_(3).已知某系统的系统函数为 (分数:4.00)_(4).对数字信号 x(n)每隔 M(M 为正整数)点抽取一点,称为降率采样,对数字信号降采样可能遇到的主要问题是什么?怎样解决呢?(分数:4.00)_(5).一个信号的单边拉氏变换存在的充分条件是什么?为什么?(分数:4.00)_二、B/B(总题数:1,分数:20.00)已知一个系统的输出 y(t)与输入 x(
3、t)的微分方程模型为 (分数:20.00)(1).系统的冲激响应 h(t);(分数:5.00)_(2).系统的零输入响应 yzi(t);(分数:5.00)_(3).系统的稳态响应 yss(t);(分数:5.00)_(4).系统有界输入有界输出(BIBO)稳定吗?为什么?(分数:5.00)_三、B/B(总题数:1,分数:10.00)已知一个离散时间 IIR 滤波器的输出 y(n)和输入 x(n)的差分方程描述为 y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=x(n)+ (分数:10.00)(1).若 a1=-2,a 2=1,求系统在 x(n)=u(n)-u(n-3)激励下的响应 y(n),n0;
4、(分数:5.00)_(2).若输入和滤波器抽头系数 a1和 a2,当 0n10 时,同上小题。但当 n10 时,a 1变为 1,a 2变为(分数:5.00)_四、B/B(总题数:1,分数:10.00)已知一个线性时不变(LTI)系统的冲激响应 h(t)为实基本信号。现采用以下方法重构 h(t):对该系统依次注入幅度为 1 的单频正弦信号,频率间隔为 0。当频率为 n 0(n=0,1,2,)时,记录系统输出的幅度 A(n 0)和输出与输入的相位差 (n 0)。(分数:9.99)(1).请给出根据 A(n 0)和 (n 0),(n=0,1,2,)计算系统冲激响应的一种方法;(分数:3.33)_(2
5、).当 h(t)是时限信号时,能根据 A(n 0)和 (n 0)在理论上精确计算 h(t)吗?为什么?条件是什么?请用图形解释或进行公式化解析解释;(分数:3.33)_(3).当 h(t)带限信号时,能采用 A(n 0)和 (n 0)精确计算 h(t)吗?为什么?(分数:3.33)_五、B/B(总题数:1,分数:10.00)1.傅里叶变换描述信号 f(t)在 t(-,)的全频谱特征。为了研究在 区间上的频谱组成,定义短时傅里叶变换(STFT),F(,)= f(t)g(t-)e -jt dt,其中 g(t)表示窗函数 g(t)=0, ,其中 T 为常数。己知有窗函数 和 g2(t)= (分数:1
6、0.00)_六、B/B(总题数:1,分数:10.00)2.数字滤波器结构如下图所示。(1)求该系统函数 H(z);(2)该系统有线性相位特征吗?为什么?(3)a0,a 1,a 2,a 3,a 4都是实数时,请论述 H(z)的零、极点规律;(4)请问上述结构能否实现全通滤波器?为什么?(5)上述滤波器结构的优点是什么?(分数:10.00)_清华大学信号与系统真题 2010 年答案解析(总分:99.99,做题时间:90 分钟)一、B/B(总题数:2,分数:40.00)(1).试证明: (分数:4.00)_正确答案:(解:根据傅里叶变换与逆变换的定义,得到: *)解析:(2).求 (分数:4.00)
7、_正确答案:(解:根据常用傅里叶变换,可知 FSa(t)=u(t+)-u(t-),再由卷积定理,可得:FSa2(t)=*u(+)-u(-)*u(+)-u(-)*又因为 Fcos(t)=(+)+(-),则由上题的结论,得到:*)解析:(3).已知 X(k)=DFTx(n),0nN-1,0kN-1,请用 X(k)表示 X(z),其中 X(z)是 x(n)的 z 变换。(分数:4.00)_正确答案:(解:对于长度为 N 的有限长序列,利用其 DFT 的 N 个样值,可以恢复其 z 变换函数: * 其中,*,是内插函数。)解析:(4).已知 F(e-t2 )=e-f2 ,求 (分数:4.00)_正确答
8、案:(解:根据傅里叶变换尺度变换可知:*所以:Fe -(t/)2 =*再由傅里叶变换微分性质可知,*,所以:*)解析:(5).一个系统的输出 y(t)与输入 x(t)的零状态条件下的关系为 y(t)= (分数:4.00)_正确答案:(解:是。若 x1(t)y 1(t),x 2(t)y 2(t),则根据积分的基本性质可知:ax1(t)+bx2(t)ay 1(t)+by2(t)所以该系统是线性的。)解析:已知周期为 T 的信号 f(t)的傅里叶级数为 f(t)=f1(t)+f2(t),其中 f1(t)= Fne-jnt ,f 2(t)= Fme-jmt ,其中 t(-,), (分数:20.00)(
9、1).f1(t)与 f2(t)正交;(分数:4.00)_正确答案:(根据定义,f 1(t)与 f2(t)的内积为:*即 f1(t)与 f2(t)是正交的。)解析:(2).,式中上标“”表示平均值。 (分数:4.00)_正确答案:(因为 f1(t)与 f2(t)是正交的,所以:*)解析:(3).已知某系统的系统函数为 (分数:4.00)_正确答案:(解:由系统函数可知:H(0)=1,即对直流分量的增益为 1;*,即对基波的增益为*,也就是幅度变为相反数,相位改变*。所以,输入信号为 x(t)=1-sintu(t)+x0(t),其中 x0(t)表示一个高频分量。)解析:(4).对数字信号 x(n)
10、每隔 M(M 为正整数)点抽取一点,称为降率采样,对数字信号降采样可能遇到的主要问题是什么?怎样解决呢?(分数:4.00)_正确答案:(解:主要问题有信噪比降低以及难以恢复信号。虽然降率采样有简化运算、提高处理速度的优点,但降率采样的采样速率也应满足采样定理。)解析:(5).一个信号的单边拉氏变换存在的充分条件是什么?为什么?(分数:4.00)_正确答案:(解:信号 f(t)是指数阶信号,也就是不能比指数函数增长得快,即 f(t)=O(e 0t)。这是因为拉氏变换中引入了衰减因子 e-s ,使得指数阶信号都能满足收敛条件。)解析:二、B/B(总题数:1,分数:20.00)已知一个系统的输出 y
11、(t)与输入 x(t)的微分方程模型为 (分数:20.00)(1).系统的冲激响应 h(t);(分数:5.00)_正确答案:(解:对*两边取拉氏变换得:sY(s)+Y(s)=s2X(s)+sX(s)+X(s)所以:*取拉氏逆变换,得到系统的冲激响应:h(t)=(t)+e -tu(t)。)解析:(2).系统的零输入响应 yzi(t);(分数:5.00)_正确答案:(解:令 x(t)=0,则:sY(s)+Y(s)-y(0 -)=0*。所以系统的零输入响应为:y zi(t)=e-tu(t)解析:(3).系统的稳态响应 yss(t);(分数:5.00)_正确答案:(解:因为 x(t)=sint 的拉氏
12、变换为*,所以:*求其拉氏逆变换,得到:y(t)=*(e -t+cost+sint)u(t)求*,得到系统的稳态响应:y ss(t)=*(cost+sint)u(t)解析:(4).系统有界输入有界输出(BIBO)稳定吗?为什么?(分数:5.00)_正确答案:(该系统不是 BIBO 稳定系统。因为冲激响应 h(t)=(t)+e -tu(t)含有 (t),即系统包含一个理想微分器。如果将阶跃信号(有界输入)加到这个系统上,输出将包含一个冲激(无界输出),显然这个系统是 BIBO 不稳定的。)解析:三、B/B(总题数:1,分数:10.00)已知一个离散时间 IIR 滤波器的输出 y(n)和输入 x(
13、n)的差分方程描述为 y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=x(n)+ (分数:10.00)(1).若 a1=-2,a 2=1,求系统在 x(n)=u(n)-u(n-3)激励下的响应 y(n),n0;(分数:5.00)_正确答案:(解:代入条件,得 y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=x(n)+*x(n-1),求其 z 变换,得:*所以系统函数为:*输入的 z 变换为:x(n)=u(n)-u(n-3)*X(z)=1+z -1+z-2。则输出的 z 变换为:*观察发现,这种方法很难算下去。又观察到输入 x(n)为限时信号,所以也可以递推求解:当 0n4 时:y(0)=x(0)=1y(
14、1)-2y(0)=x(1)+*y(2)-2y(1)+y(0)=x(2)+*y(3)-2y(2)+y(1)=x(3)+*当 n4 时,因为 y(n)-2y(n-1)+y(n-2)=0,n4,所以:*)解析:(2).若输入和滤波器抽头系数 a1和 a2,当 0n10 时,同上小题。但当 n10 时,a 1变为 1,a 2变为(分数:5.00)_正确答案:(解:当 0n10 时,输出与上文相同:当 0n4 时:y(0)=x(0)=1,y(1)-2y(0)=x(1)+*y(2)-2y(1)+y(0)=x(2)+*y(3)-2y(2)+y(1)=x(3)+*当 4n10 时:*当 n11 时,因为 y(
15、9)=39,*,y(n)+y(n-1)+*y(n-2)=0。得到特征方程为 2+*=0,特征根为 1,2=*,则有输出方程为 y(n)=(C1n+C2)*,代入起始条件,得到:*则可得:y(n)=(65412n-610476)*,n11)解析:四、B/B(总题数:1,分数:10.00)已知一个线性时不变(LTI)系统的冲激响应 h(t)为实基本信号。现采用以下方法重构 h(t):对该系统依次注入幅度为 1 的单频正弦信号,频率间隔为 0。当频率为 n 0(n=0,1,2,)时,记录系统输出的幅度 A(n 0)和输出与输入的相位差 (n 0)。(分数:9.99)(1).请给出根据 A(n 0)和
16、 (n 0),(n=0,1,2,)计算系统冲激响应的一种方法;(分数:3.33)_正确答案:(解:先构造系统函数的等间隔抽样:*这实际上是对频谱进行抽样,根据频域抽样知识有:* 截取一个周期,得到重构 h(t):h(t)=hT(t)u(t+T)-u(t-T)。)解析:(2).当 h(t)是时限信号时,能根据 A(n 0)和 (n 0)在理论上精确计算 h(t)吗?为什么?条件是什么?请用图形解释或进行公式化解析解释;(分数:3.33)_正确答案:(能。因为对时限信号进行频域抽样,相当于在时域形成重复的周期信号,因此只要不发生混叠,就可以恢复出原始时域信号。由频域抽样定理知当*时可恢复 h(t)
17、。示意图如下图所示。 * 由图可知,当抽样间隔*时,在时域不发生混叠,就可以恢复出原始信号。)解析:(3).当 h(t)带限信号时,能采用 A(n 0)和 (n 0)精确计算 h(t)吗?为什么?(分数:3.33)_正确答案:(不能。h(t)是带限电信号时一定不是时限信号,即在时域上可能是无限长的,因此在频域抽样时,无论抽样间隔取何值,时域上都会发生混叠,导致无法恢复 h(t)。)解析:五、B/B(总题数:1,分数:10.00)1.傅里叶变换描述信号 f(t)在 t(-,)的全频谱特征。为了研究在 区间上的频谱组成,定义短时傅里叶变换(STFT),F(,)= f(t)g(t-)e -jt dt
18、,其中 g(t)表示窗函数 g(t)=0, ,其中 T 为常数。己知有窗函数 和 g2(t)= (分数:10.00)_正确答案:(解:先证明 STFT 的一个性质:*式中,*=g(t-)e jt 。取傅里叶变换,得:G, (v)=*g(t-)e jt e-jvtdt=e-j(v-)t *g(t)e-j(v-)t dt=G(v-)e -j(v-)t由内积不变性得:*所以:F(,)=e -jt *F(v)G*(v-)e jvtdv上式指出,对 f(t)在时域加窗 g(t-),那么相应地在频域对 F(v)加窗 G(v-)。对于窗函数*,由常用傅里叶变换可知:*对于窗函数*,由常用傅里叶变换可知:*G
19、1(v)和 G2(v)的波形如下图所示。*从图中可以看出,在频域上加*窗后,相当于只保留所取的单个频率分量幅值;而加*窗后,相当于保留连续三个频点的幅值。)解析:六、B/B(总题数:1,分数:10.00)2.数字滤波器结构如下图所示。(1)求该系统函数 H(z);(2)该系统有线性相位特征吗?为什么?(3)a0,a 1,a 2,a 3,a 4都是实数时,请论述 H(z)的零、极点规律;(4)请问上述结构能否实现全通滤波器?为什么?(5)上述滤波器结构的优点是什么?(分数:10.00)_正确答案:(解:由结构图可知,N=9 为奇数,h(n)为偶对称。(1)通过观察滤波器结构图,容易得到系统函数为:H(z)=*h(n)(z-n+z-(8-n)+h(4)z-4=*an(z-n+z-(8-n)+a4z-4。(2)由于系统频率响应为:H(ej )=H(z)|z=ej =*an(e-jn +e-j(8-n) )+a4e-j4*可以看出,该系统具有线性相位特征。(3)该系统无极点,又因为系统函数满足 H(z)=z-(N-1)H(z-1)=z-8H(z-1),所以系统零点必定有重根。(4)不能。从系统频率响应可以看出,该系统的幅频响应不为 1,因而无法实现全通。(5)由于该系统具有线性相位,所以信号的处理中可以不再对相位进行考虑,节省了乘法器,提高了运算速度。)解析: