1、农学硕士联考数学-9 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0，令 ，S 2=f(b)(b-a)，S 3= （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 Amn为实矩阵，则线性方程组 Ax=0 只有零解是矩阵(A TA)为正定矩阵的_。 A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（分数：4.0
2、0）A.B.C.D.6.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，下列解向量组也是方程组 Ax=0 的基础解系的是_。 A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1 C. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1 D. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| )，则必有_。 AP(A|B)=P( |B) BP(A|B)P( （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 均服从正态分
3、布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=PX-4，p 2=PY+5，则_。 A.对任何实数 ，都有 p1=p2 B.对任何实数 ，都有 p1p 2 C.只有对 的个别值，才有 p1=p2 D.对任何实数 ，都有 p1p 2（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x,y)=xy，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶方阵且特征值为 1，2，3，则 （分数：4.00）填空项 1:
4、_14.设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1。（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)=|x2+3x+2|，求 f(x)。（分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.若 0x1，p1，试证 （分数：10.00）_19.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群总数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连
5、续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成比例，比例系数 k0，求 x(t)。（分数：10.00）_20.设 1， 2， 3， 4为 4 维列向量， 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3，且已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4有无穷多解，()求 a 的值；()求该方程组的通解。（分数：10.00）_21.已知 3 阶方阵 A 与 3 维列向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且 A3x=3Ax-2A2x。()求 A 的特征值；()计算|A+2E|。（分数：10.00）_22.已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装
6、有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： ()乙箱中次品件数 X 的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品为次品的概率。（分数：10.00）_23.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为（分数：14.00）_农学硕士联考数学-9 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，则 x=1 是间断点，故选 B。2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，则 f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小，故选 B。3
7、.已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于*；由极限的保号性知，存在 x=0 的一个去心邻域*(0，)，当 x*(0，)时，有 f(x)0=f(0)，则 f(x)在点 x=0 取得极小值，故选 D。4.设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0，令 ，S 2=f(b)(b-a)，S 3= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0 知，在a，b上 f(x)单调减小，曲线y=f(x)上凹，则由定积分的几何意义和 S1，S 2的几何意义知，S 1S 2S 3，故选 B
8、。5.设 Amn为实矩阵，则线性方程组 Ax=0 只有零解是矩阵(A TA)为正定矩阵的_。 A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 Ax=0 只有零解时，x0 时，Ax0，则 xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)0，矩阵(A TA)为正定矩阵；矩阵(A TA)为正定矩阵，当 x0 时，x T(ATA)x=(Ax)T(Ax)0，则 Ax0，Ax=0 只有零解，故选 C。6.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，下列解向量组也是方程组 Ax=0 的基础解系的是_。 A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4，
9、 4+ 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1 C. 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1 D. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由齐次线性方程组解的性质知，A、B、C、D 四个选项均为齐次方程组 Ax=0 的解，但是否为方程组 Ax=0 的基础解系，要看 A、B、C、D 四个选项中的向量组是否线性无关。由 A 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1得 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1=( 1， 2， 3， 4)*，由*，知矩阵*不可逆，则 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1线性相关
10、；由 B 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1得( 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1)=( 1， 2， 3， 4)*由*，知矩阵*可逆，则 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1线性无关；由 C 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1得，( 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1)=( 1， 2， 3， 4)*由*，知矩阵*不可逆，则 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 1线性相关；由 D 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1得( 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1)=( 1， 2， 3， 4)*由*，知矩阵*不可逆，则 1+ 2，
11、 2+ 3， 3- 4， 4- 1线性相关，故选 B。7.设 A，B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| )，则必有_。 AP(A|B)=P( |B) BP(A|B)P( （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 P(B|A)=P(B|*)得，* 化简得，P(AB)=P(A)P(B)，故选 C。8.设随机变量 X，Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=PX-4，p 2=PY+5，则_。 A.对任何实数 ，都有 p1=p2 B.对任何实数 ，都有 p1p 2 C.只有对 的个别值，才有 p1=p2 D.对任何实数 ，都有 p
12、1p 2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于*与 无关，且 p1=p2，故选 A。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e 6）解析：解析 *10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=0）解析：解析 *，则 x=0 为铅直渐近线。11.设 f(x,y)=xy，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x y-1+yxy-1lnx）解析：解析 *12.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*(1-e -4)）解析：解析 交换积分次序得，*。13.设 A 为 3 阶方阵且
13、特征值为 1，2，3，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 若 为 A 的特征值，则*为 A*的特征值，由于 A 为特征值为 1，2，3，则|A|=123=6，A *的特征值为 6，3，2。于是 A*的迹 trA*=A11+A22+A33=6+3+2=11,故*。14.设一批产品中一、二、三等品各占 60%、30%、10%，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 在取到的不是三等品，而取到的是一等品的样本点占总样本点的*，则取到的是一等品的概率为*。三、B解答题/B(总题数：9，分数
14、：94.00)15.设 f(x)=|x2+3x+2|，求 f(x)。（分数：10.00）_正确答案：(* 由导数定义知 x=-2 或 x=-1 时，f(x)的导数不存在。 则*。)解析：16.设 （分数：10.00）_正确答案：(* 得 x=ln2.)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由二重积分对称性知： * 由二重积分的几何意义知： * 则*。)解析：18.若 0x1，p1，试证 （分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=xp+(1-x)p，f(x)=pxp-1-p(1-x)p-1，令 f(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=0，得*当 0x*时，f(x)0
15、，当*x1 时，f(x)0，则*为 f(x)=xp+(1-x)p的最小值点。故*f(x)f(1)=f(0)=1，即*x p+(1-x)p1。)解析：19.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群总数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成比例，比例系数 k0，求 x(t)。（分数：10.00）_正确答案：(由题设可知 * 解得*。)解析：20.设 1， 2， 3， 4为 4 维列向量， 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2
16、 3，且已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4有无穷多解，()求 a 的值；()求该方程组的通解。（分数：10.00）_正确答案：()由已知得( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)=( 1， 2， 3)*由方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4有无穷多解知， 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3的秩小于 3，又 1， 2， 3线性无关，所以矩阵*一定不可逆，推出 a=2。()方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4可化为*因为 1， 2， 3线性无关，所以原方程组与方程组*同解。由此求出通解*。)解析：2
17、1.已知 3 阶方阵 A 与 3 维列向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且 A3x=3Ax-2A2x。()求 A 的特征值；()计算|A+2E|。（分数：10.00）_正确答案：()因为 A(x，Ax，A 2x)=(x，Ax，A 2x)*且 x，Ax，A 2x 线性无关，所以 P=(x，Ax，A 2x)可逆，由上式有 A=(x，Ax，A 2x)*(x，Ax，A 2x)-1，令*，则 A=PBP-1，即 A 与 B 相似。由于|B-E|=(1-)(+3)，知 A 的特征值为 1=0， 2=1， 3=-3。()|A+2E|=( 1+2)( 2+2)( 3+2)=-6。或|A+2E
18、|=|PBP -1+2E|=|P|B+2E|P-1|=|B+2E|=-6。)解析：22.已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： ()乙箱中次品件数 X 的数学期望； ()从乙箱中任取一件产品为次品的概率。（分数：10.00）_正确答案：()* ()*。)解析：23.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为（分数：14.00）_正确答案：(似然函数为*当 xi 时，*，L()没有驻点。当 x i，当 取 x1，x 2，x n中最小者时，L()取得最大值，即*=min(x 1，x 2，x n)为 的最大似然估计值。)解析：
