1、农学硕士联考数学-4 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.在0，2上曲线 y=sinx的拐点是_。 A.(，0) B.(2，0) C.(0，0) D.无拐点（分数：4.00）A.B.C.D.3.设曲线 y=x2+ax+b和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_。 A.a=0，b=2 B.a=1，b=-3 C.a=-3，b=1 D.a=-1，b=-1（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 D：0x1，0y1，则 =_。 A B （分数：4.00）A
2、.B.C.D.5.设 A，B 均为 n阶方阵，且 R(A)=R(B)，则_。 A.R(A-B)=0 B.R(A+B)=2R(A) C.R(A，B)R(A)+R(B) D.R(A，B)=2R(A)（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列各函数中，可以做随机变量 X的分布函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y 同分布，概率密度函数为 ，且 Ea(X+2Y)= ，则 a的值为_。 AB C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项
3、1:_10.的水平渐近线的方程为 y= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2011)，则 f(0)= _。（分数：4.00）填空项 1:_12.函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知方程组 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X与 Y是两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 其中 f(u)具有 2阶导数，且 f(u)0，求 （分数：10.00）_16.计算积分 （分数：10.00）_17.求微分方程 （分数：10.00）_1
4、8.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)x 2。（分数：10.00）_20.设 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(1，3，t) T()问 t为何值时，向量组 1， 2， 3线性相关?()问 t为何值时，向量组 1， 2， 3线性无关?()当向量组 1， 2， 3线性相关时，将 3表示为 1， 2的线性组合。（分数：10.00）_21.设 （分数：10.00）_22.某商店收进甲厂生产的产品 30箱，乙厂生产的同种产品 20箱，甲厂每箱装 100个，废品率为 0.06，乙厂每箱装 120个，废品率为 0.05。 (
5、)求任取一箱，从中任取一个为废品的概率； ()若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率。（分数：10.00）_23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae-|x|。()求常数 A；()求随机变量 X的分布函数；()求随机变量 Y=X2的概率密度。（分数：14.00）_农学硕士联考数学-4 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 x=1为一个间断点(因为函数在 x=1处无定义)。 因为*，所以 x=1为第二类间断点；又 * 所以 x=0也为 f(x)的间断点，且为
6、第一类间断点。2.在0，2上曲线 y=sinx的拐点是_。 A.(，0) B.(2，0) C.(0，0) D.无拐点（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 y=cosx，y“=*，表明在区间(0，)上对应的曲线 y=sinx是凸曲线；在区间(，2)上对应的则是凹曲线。3.设曲线 y=x2+ax+b和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_。 A.a=0，b=2 B.a=1，b=-3 C.a=-3，b=1 D.a=-1，b=-1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 曲线 y=x2+ax+b和 2y=-1+xy3在点(1，-1)处相切，在该点处它们的
7、斜率相同，即有 2y(1)=(-1)3+3y(1)，2+a=1，又曲线 y=x2+ax+b过点(1，-1)，所以，1+a+b=-1，得 a=-1，b=-1。4.设 D：0x1，0y1，则 =_。 A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由轮换对称性知，*。5.设 A，B 均为 n阶方阵，且 R(A)=R(B)，则_。 A.R(A-B)=0 B.R(A+B)=2R(A) C.R(A，B)R(A)+R(B) D.R(A，B)=2R(A)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设*，很容易验证答案 C正确。6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 AB=0知
8、，B 的两列均为 Ax=0的解，而 Ax=0的基础解系所含解向量的个数为 3-R(A)。 当 t=-2时，R(A)=1；当 t-2 时，R(A)=2，此时 Ax=0至多只有一个线性无关的解向量，故 B的两个列向量必线性相关，故选 C。7.下列各函数中，可以做随机变量 X的分布函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 只有选项 C满足分布函数的性质*。8.设随机变量 X，Y 同分布，概率密度函数为 ，且 Ea(X+2Y)= ，则 a的值为_。 AB C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 * 于是 Ea(X+2Y)=aE(X)+2aE(Y)=*
9、，即*。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=2）解析：解析 可得*，所以 a=2。10.的水平渐近线的方程为 y= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *11.设 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2011)，则 f(0)= _。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2011!）解析：解析 因为 f(x)=(x-1)(x-2)(x-2011)+x(x-2)(x-2011)+x(x-2)(x-2010) 从第二项起后面每项都含 x，所以 f(0)=2011!。12.函数 （分数：4
10、.00）填空项 1:_ （正确答案：du| (1,1,1)=dx-dy）解析：解析 * *。13.已知方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 由题设知，必有行列式*=2+2=0，即 =-1。14.设 X与 Y是两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 Pmax(X，Y)0=PX0Y0=PX0+PY0-PX0，Y0 *。三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设 其中 f(u)具有 2阶导数，且 f(u)0，求 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：16.计算积分 （
11、分数：10.00）_正确答案：(*，由定积分的几何意义知，I 表示由上半圆(x-1) 2+y2=1，(y0)与直线 y=0，x=1 所围成的图形面积。故*。)解析：17.求微分方程 （分数：10.00）_正确答案：(这是一阶线性非齐次微分方程。 因为* 由公式可得通解为*，即 *。)解析：18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由区域 D的对称性与被积函数的奇偶性可知 原式=*。)解析：19.设 x(0，1)，证明：(1+x)ln 2(1+x)x 2。（分数：10.00）_正确答案：(考察函数 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln
12、(1+x)，f“(x)=*x-ln(1+x)，因为 ln(1+x)x，*x0，所以 f(x)在 x0 时单调上升，又 f(0)=0，则 f(x)0(*x0)，所以f(x)在 x0 时单调上升，又 f(0)=0，则在 x0 时，f(x)0 即(1+x)ln 2(1+x)x 2。)解析：20.设 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(1，3，t) T()问 t为何值时，向量组 1， 2， 3线性相关?()问 t为何值时，向量组 1， 2， 3线性无关?()当向量组 1， 2， 3线性相关时，将 3表示为 1， 2的线性组合。（分数：10.00）_正确答案：(设有常数 k1，k
13、2，k 3使得 k1 1+k2 2+k3 3=0即有方程组*，此时方程组的系数行列式为*()当 t=5时，方程组有非零解，所以 1， 2， 3线性相关。()当 t5 时，方程组仅有零解 k1=k2=k3=0，所以 1， 2， 3线性无关。()当 t=5时，设 3=x1 1+x2 2，即*，解得 x1=-1，x 2=2，于是 3=- 1+2 2。)解析：21.设 （分数：10.00）_正确答案：()*故 A的特征值为 1=1， 2=2， 3=4。对应 1=1，解方程( 1E-A)x=0，得 1=(1，-1，-1) T；对应 2=2，解方程( 2E-A)x=0，得 2=(0，1，-1) T；对应
14、3=4，解方程( 3E-A)x=0，得 3=(2，1，1) T。()A 有三个不同的特征值，对应的特征向量 1， 2， 3一定线性无关，因此 A能够对角化，令P=( 1， 2， 3)=*，得到 P-1AP=*。)解析：22.某商店收进甲厂生产的产品 30箱，乙厂生产的同种产品 20箱，甲厂每箱装 100个，废品率为 0.06，乙厂每箱装 120个，废品率为 0.05。 ()求任取一箱，从中任取一个为废品的概率； ()若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率。（分数：10.00）_正确答案：(记事件 A、B 分别为甲、乙两厂的产品，C 为废品，则 ()* 由全概率公式，得 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.056 ()* P(C|A)=0.06，P(C|B)=0.05 由全概率公式，得 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)0.056。)解析：23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)=Ae-|x|。()求常数 A；()求随机变量 X的分布函数；()求随机变量 Y=X2的概率密度。（分数：14.00）_正确答案：(*()*当 x0，*当 x0，*所以，分布函数为*()当 y0 时，F Y(y)=PYy=0，当 y0 时，FY(y)=PYy=PX 2y=*所以密度函数为*。)解析：
