1、农学硕士联考数学-3 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x0)=f“(x0)=0， （分数：4.00）A.B.C.D.4.积分 的大小是_，其中 D是由直线 x=0，y=0，x+y= （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 均为 n阶矩阵，满足 AB=0，若 R(A)=n-1，则_。 A.R(B)=1 B.R(B)1 C.R(B)1 D.R(B)1（分数：4.00）A.B.C
2、.D.6.设 A为 n阶方阵，则下列_不成立。A若 A可逆，则矩阵 A的属于特征值 的特征向量也是矩阵 A-1的属于特征值 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设有二维随机变量(X，Y)，已知 D(X)=9，D(Y)=4，X，Y 的相关系数为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(1，2 2)，X 1，X 2，X n为 X的样本，则_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_10.的水平渐近线的方程为 Y= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_11.设有长为 12厘米的非均匀杆 AB
3、，AM 部分的质量与动点 M到端点 A的距离 x的平方成正比，杆的全部质量为 360克。则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M处的线密度 (x)= 2。（分数：4.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A为 3阶矩阵，A *为其伴随矩阵，|A|=2，则|2A|A *|=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设事件 A，B 的概率分别为 ，当 A与 B独立时， （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，其中 t=t(x)由 确定，求 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在(-
4、，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，计算定积分（分数：10.00）_17.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。（分数：11.00）_18.设 D=(x，y)|x|+|y|1，计算二重积分 （分数：11.00）_19.设 x(-，+)，证明： （分数：10.00）_20.设 3阶方阵 A的特征值为 1，0，-1，对应的特征向量为 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1) T， 3=(-2，-1，2) T。()求方阵 A；()令 P=-2 2，3 3， 1，求 P-1AP。（分数：10
5、.00）_21.设 1， 2， 3为 3阶方阵 A的 3个不同的特征值，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3，试证 ，A，A 2 线性无关。（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D中服从均匀分布，求()(X，Y)的联合密度函数；()X，Y 边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)，并判断 X，Y 是否相互独立；()PYX。（分数：10.00）_23.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X的边缘密度函数及随机变量 Z=2X+1的方差 D(Z)。（分数：11.00）_农学硕士联考数
6、学-3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是_。ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，所以当 x0 +时，*等价的无穷小量。故应选 B。2.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 这函数的定义域为(-，+)。 当 x0 时，这函数的导数是 * 当 x=0时，函数的导数不存在，在(-，0)内 y0，因此函数*在(-，0上单调减少。在(0，+)内，y0，因此函数*在0，+)上单调增加。3.设 f(x0)=f“(x0)=0， （分数：4.00）A.B.C.
7、D. 解析：解析 由导数的定义及极限的保号性：*可得，当 xx 0时，f“(x)0，当 xx 0时，f“(x)0。即 f“(x)在 x0两侧符号改变。故选 D。4.积分 的大小是_，其中 D是由直线 x=0，y=0，x+y= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为积分域 D在直线 x+y=1的下方，所以对任意点(x，y)D，均有*x+y1，从而有x+y(x+y) 20，而 ln(x+y)0，故由二重积分的性质得 I1I 2I 3。5.设 A，B 均为 n阶矩阵，满足 AB=0，若 R(A)=n-1，则_。 A.R(B)=1 B.R(B)1 C.R(B)1 D.R(B)1（分数：4
8、.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 AB=0，所以 R(A)+R(B)n，又 R(A)=n-1，故 R(B)1。故选 C。6.设 A为 n阶方阵，则下列_不成立。A若 A可逆，则矩阵 A的属于特征值 的特征向量也是矩阵 A-1的属于特征值 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 特征向量应为方程(E-A)x=0 的非零向量，而不是全部的向量。故选 B。7.设有二维随机变量(X，Y)，已知 D(X)=9，D(Y)=4，X，Y 的相关系数为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，所以*，D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)=9+4-4=9。故选 B
9、。8.设 XN(1，2 2)，X 1，X 2，X n为 X的样本，则_。ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 XN(1，2 2)，*，则*。故应选 C。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *10.的水平渐近线的方程为 Y= 1。 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 *11.设有长为 12厘米的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M到端点 A的距离 x的平方成正比，杆的全部质量为 360克。则杆的质量表达式 m(x)= 1，杆在任一点 M处的线密度 (x)=
10、2。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5x。）解析：解析 由已知，m(x)=kx 2，令 x=12,得 360=k122，则*，从而*。在任一点 M处的线密度*。12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *13.设 A为 3阶矩阵，A *为其伴随矩阵，|A|=2，则|2A|A *|=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：16384）解析：解析 |2A|=2 3|A|=82=16，|2A|A*|=|16A*|=163|A*|=163|A|3-1=1634=16384。14.设事件 A，B 的概率分别为 ，当 A
11、与 B独立时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A)P(B)=*。三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，其中 t=t(x)由 确定，求 （分数：10.00）_正确答案：(由复合函数求导法则： * 因此，*。)解析：16.设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，计算定积分（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：17.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1
12、)附近的凹凸性。（分数：11.00）_正确答案：(由 x=ylny+y，有 x(y)=lny+2，则*，*，由 y(1)=1有*且 y“(x)在 x=1处连续，由保号性定理，在 x=1附近 y“(x)0。所以曲线 y=y(x)在点(1，1)附近也有 y“(x)0，故曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是凸的。)解析：18.设 D=(x，y)|x|+|y|1，计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(积分区域 D关于 x轴、y 轴及原点对称，而|y|在 D上是关于 y且关于 x为偶函数，x 在 D上是关于 x的奇函数，设 D1为积分区域第一象限部分，则*)解析：19.设 x(-，+)，证明
13、： （分数：10.00）_正确答案：(令*，则*令 f(x)=0得驻点 x=0，由*可知，x=0 为极小值点，也是最小值点，即f(x)的最小值为 f(0)=0，于是 f(x)0 x(-，+)，即*。)解析：20.设 3阶方阵 A的特征值为 1，0，-1，对应的特征向量为 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1) T， 3=(-2，-1，2) T。()求方阵 A；()令 P=-2 2，3 3， 1，求 P-1AP。（分数：10.00）_正确答案：()A( 1， 2， 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)=( 1，0，- 3)=( 1， 2， 3)*() 1=-2 2， 2=3 3， 3=
14、 1分别是 0，-1，1 对应的特征向量，于是A( 1， 2， 3)=(0 1，- 2， 3)=( 1， 2， 3)*即*，故*。)解析：21.设 1， 2， 3为 3阶方阵 A的 3个不同的特征值，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3，试证 ，A，A 2 线性无关。（分数：11.00）_正确答案：(令 k1+k 2A+k 3A2=0，即有 k1( 1+ 2+ 3)+k2( 1 1+ 2 2+ 3 3)+*=0，整理得(k1+ 1k2+*) 1+(k1+ 2k2+*) 2+(k1+ 2k2+*) 3=0，因为 1， 2， 3线性无关，所以有*其系数行列式为*所以必有 k1
15、=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关。)解析：22.设二维随机变量(X，Y)在曲线 y=x2与 x=y2所围成的区域 D中服从均匀分布，求()(X，Y)的联合密度函数；()X，Y 边缘密度函数 fX(x)，f Y(y)，并判断 X，Y 是否相互独立；()PYX。（分数：10.00）_正确答案：()区域 D的面积为*(X，Y)的联合密度为*()当 0x1 时，*所以 X的边缘密度函数为*当 0y1 时，*所以 Y的边缘密度函数为*因为f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立。()*。)解析：23.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X的边缘密度函数及随机变量 Z=2X+1的方差 D(Z)。（分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的联合密度函数为*于是 X的边缘密度函数为*D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=4E(X)2-(E(X)2=*。)解析：
