1、行列式、矩阵(三)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：44，分数：100.00)1.行列式： （分数：2.00）A.B.C.D.2.n(n1)阶行列式 D 没有一行元素为 0 且行列式中任意两列不成比例，则_。A行列式 D 的值一定为 0 B行列式 D 的值一定不为 0C行列式 D 的值一定大于 0 D行列式 D 的值不一定为 0（分数：2.00）A.B.C.D.3.已知三阶行列式 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设三阶行列式 D=|，|0，且|+a，+a，+a|=2D，则 a=_。A1 B2 C3 D4（分数：2.00）A.B.C.D.5.
2、 （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知|，|=3， 均为 3 维列向量，则|-+，2-7，3+5+2|=_。A9 B-9 C15 D-15（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 1， 2， 1， 2， 3是四维列向量，且|A|=| 1， 1， 2， 3|=5，|B|=| 2， 1， 2， 3|=-2，|A+B|等于_。A20 B24 C16 D6（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A，B 是 n 阶方阵(n2)，则必有_。A|A+B|=|A|+|B| B|AB|=|BA|C|A-B|=|A|-|B| D|A-B|=|B-A|（分数：2.00）A.B.C.D.9.设行列式 （分数
3、：2.00）A.B.C.D.10.记行列式 （分数：2.00）A.B.C.D.11. （分数：2.00）A.B.C.D.12. （分数：2.00）A.B.C.D.13. （分数：2.00）A.B.C.D.14. （分数：2.00）A.B.C.D.15. （分数：2.00）A.B.C.D.16.A，B 均是 n 阶对称矩阵，且 AB=BA。则 AB 是_。A对称矩阵 B反对称矩阵 C对角阵 D数量阵（分数：2.00）A.B.C.D.17.A=E- T，B=E+2 T，设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 3 阶矩阵 A=( 1， 2， 3)，已知|A|=5，|2 1+ 2
4、- 3，- 1+2 2， 2+ 3|为_。A10 B20 C30 D40（分数：2.00）A.B.C.D.19.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2)是可逆矩阵，并且 A3=3A-2A 2，设 3阶矩阵 B，使得 A=PBP-1，则|A+E|=_。A4 B-4 C2 D-2（分数：2.00）A.B.C.D.20.四阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，并且 ，则 B=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 1=(5，1，-5) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(1，-2，1) T，A 1=(4，3) T，A 2=(7，-8)
5、 T，A 3=(5，-5)T，则 A=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 A，B，C，D 是 n 阶矩阵，A 可逆 （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 （分数：2.00）A.B.C.D.24.下列命题错误的有_个。(1)若 A2=0，则 A=0；(2)若 A2=A，则 A=0 或 A=E；(3)若 AX=AY，且 A0，则 X=Y。A0 B1 C2 D3（分数：2.00）A.B.C.D.25.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，则 BTAB 为_。A对称矩阵 B反对称矩阵 C对角阵 D上三角阵（分数：2.00）A.B.C.D.26.设 ，求 Ak
6、=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.计算下列乘积：（分数：2.00）A.B.C.D.28.以下矩阵中，可逆的有_个。（分数：2.00）A.B.C.D.29.解下列矩阵方程：（分数：2.00）A.B.C.D.30.设方阵 A 满足 A2-A-2E=0，求(A+2E) -1=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.设 ，AB=A+2B，求 B=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.32.设 P-1AP=A，其中 ，求 A2=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.33.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，下列叙述正确的
7、有_个。(1)若|A|=0，则|A *|=0； (2)|A|=|A| n-1；(3)若|A|0，则|A *|0； (4)若 A0，则 A*0。A1 B2 C3 D4（分数：3.00）A.B.C.D.34.设 （分数：3.00）A.B.C.D.35.已知 ，则 An=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.36.已知 （分数：3.00）A.B.C.D.37.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 的伴随矩阵是_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.38.A 是 n 阶可逆矩阵，(A *)*=_。A|A|A B|A| n-1A C|A| n-2A D|A| n-3A（分数：3.
8、00）A.B.C.D.39.设 =(1，0，1) T，=(0，1，1) T， ，A=P -1 TP，求 A2009=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.40.已知 3 阶行列式|，|=3，求|3-+2，-+，2+5-7|=_。A-135 B-115 C115 D135（分数：3.00）A.B.C.D.41.已知 ，(A-E)B=A，求 A=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.42.已知 ，A *X=A-1+2X，求 X=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.43.设 ，求(A *)-1=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4
9、4.设 A，B 是两个 3 阶矩阵，|A -1|=2，|B -1|=3，求|A *B-1-A-1B*|=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.行列式、矩阵(三)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：44，分数：100.00)1.行列式： （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (k-1) 2-4-120，(k-1) 216，所以 k5 且 k-3，选 C。2.n(n1)阶行列式 D 没有一行元素为 0 且行列式中任意两列不成比例，则_。A行列式 D 的值一定为 0 B行列式 D 的值一定不为 0C行列式 D 的值一定大于 0 D行列式
10、 D 的值不一定为 0（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 可举反例： ，而3.已知三阶行列式 ，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 。因为后一个行列式的二、三列对应成比例，故其值为 0。所以，4.设三阶行列式 D=|，|0，且|+a，+a，+a|=2D，则 a=_。A1 B2 C3 D4（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 |+，+，+a|=|，+a，+a|+|a， 十 a，+a|=|，+a|+|，a，+a|+|a，+a|+|a，a，+a|=|，|+|，a|+|，a，|+|a，a，|+|a，a，a|=|，|+a 3|，|=|，|+a 3|，|=(1+a 3
11、)|，|所以 1+a3=2 故 a=1，选 A。5. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 6.已知|，|=3， 均为 3 维列向量，则|-+，2-7，3+5+2|=_。A9 B-9 C15 D-15（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 7.已知 1， 2， 1， 2， 3是四维列向量，且|A|=| 1， 1， 2， 3|=5，|B|=| 2， 1， 2， 3|=-2，|A+B|等于_。A20 B24 C16 D6（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 |A+B|=| 1+ 2，2 1，2 2，2 3|=| 1，2 1，2 2，2 3|+| 2，2 1，2 2，2
12、3|=8| 1， 1， 2， 3|+8| 1， 1， 2， 3|=8|A|+8|B|=58-28=24，选 B。8.设 A，B 是 n 阶方阵(n2)，则必有_。A|A+B|=|A|+|B| B|AB|=|BA|C|A-B|=|A|-|B| D|A-B|=|B-A|（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 |AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|，选 B。9.设行列式 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 先替换10.记行列式 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为11. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12. （分数：2.00）A.B. C.D
13、.解析：解析 13. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 14. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 15. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 16.A，B 均是 n 阶对称矩阵，且 AB=BA。则 AB 是_。A对称矩阵 B反对称矩阵 C对角阵 D数量阵（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 (AB) T=AB，即 BTAT=BA=AB，选 A。17.A=E- T，B=E+2 T，设 n 维行向量 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 AB=(E- T)(E+2 T)=E+ T-2 T T=E+ T- T=E，选 C。18.设 3 阶矩
14、阵 A=( 1， 2， 3)，已知|A|=5，|2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3|为_。A10 B20 C30 D40（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (2 1+ 2- 3，- 1+2 2， 2+ 3)=( 1， 2， 3) 。原式=| 1， 2， 3|19.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A，A 2)是可逆矩阵，并且 A3=3A-2A 2，设 3阶矩阵 B，使得 A=PBP-1，则|A+E|=_。A4 B-4 C2 D-2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 A=PBP-1，所以 PB=AP=(A，A 2，A 3)=(A，A
15、2，3A-2A 2)=(，A，A 2)。又 P 可逆，所以 ，|A+E|=|P(B+E)P -1|=|P|B+E|P-1|B+E|=20.四阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，并且 ，则 B=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ABA-1=BA-1+3E AB=B+3A A*(AB)=A*(B+3A)|A|B=A*B+3|A|E。|A*|=8，即|A| 4-1=|A|3=8，所以|A|=2，(2E-A *)B=6E。所以 B=6(2E-A*)-1，而(2E-A *)-1= 。所以21.设 1=(5，1，-5) T， 2=(1，-3，2) T，
16、3=(1，-2，1) T，A 1=(4，3) T，A 2=(7，-8) T，A 3=(5，-5)T，则 A=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=22.设 A，B，C，D 是 n 阶矩阵，A 可逆 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 23.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 (1) ，所以 ABBA。(2)但故(A+B) 2A 2+2AB+B2。(3)(A+B)(A-B)=而 A2-B2=24.下列命题错误的有_个。(1)若 A2=0，则 A=0；(2)若 A2=A，则 A=0 或 A
17、=E；(3)若 AX=AY，且 A0，则 X=Y。A0 B1 C2 D3（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 (1)取 ，A 2=0，但 A0。(2)取 ，A 2=A，但 A0 且 AE。(3)取25.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，则 BTAB 为_。A对称矩阵 B反对称矩阵 C对角阵 D上三角阵（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 已知：A T=A，则(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB从而有 BTAB 也是对称矩阵，选 A。26.设 ，求 Ak=_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 利用数学归纳法证明：当
18、 k=1 时，显然成立。假设 k 时成立，则 k+1 时有由数学归纳法原理知：27.计算下列乘积：（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (1)(2)(3)(4)28.以下矩阵中，可逆的有_个。（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 (1) ，|A|=1，A 11=5，A 21=2(-1)，A 12=2(-1)，A 22=1。因为 故(2)|A|=2，故 A-1存在，且A11=-4，A 21=2，A 31=0，A12=-13，A 22=6，A 32=-1，A13=-32，A 23=14，A 33=-2。故(3) ，|A|=24，A 21=A31=A41=A32=A42=A43=
19、0，A 11=24，A 22=12，A 33=8，A 44=6，因为 ，故(4)|A|=10，故 A-1存在，且A11=1，A 21=-2，A 31=0，A 41=0；A12=-2，A 22=5，A 32=0，A 42=0；A13=0，A 23=0，A 33=2，A 43=-3；A14=0，A 24=0，A 34=-5，A 44=8。从而 。(5) ，由对角矩阵的性质知29.解下列矩阵方程：（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (1)(2)(3)(4)30.设方阵 A 满足 A2-A-2E=0，求(A+2E) -1=_。A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
20、由 A2-A-2E=0 得 A2-A=2E，两端同时取行列式：|A 2-A|=2。即|A|A-E|=2，故|A|0，所以 A 可逆。又因为 A+2E=A2，|A+2E|=|A 2|=|A|20，故 A+2E 也可逆。由 A2-A-2E=0 A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E A-1= (A-E)。又由 A2-A-2E=0 (A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4E。所以(A+2E) -1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1。故(A+2E) -1=31.设 ，AB=A+2B，求 B=_。A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解
21、析：解析 由 AB=A+2B 可得(A-2E)B=A，故 B=(A-2E)-1A=32.设 P-1AP=A，其中 ，求 A2=_。A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 P -1AP=A，故 A=PAP-1，所以 A2=PA2p-1。又|P|=3， ，且而 ，故33.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，下列叙述正确的有_个。(1)若|A|=0，则|A *|=0； (2)|A|=|A| n-1；(3)若|A|0，则|A *|0； (4)若 A0，则 A*0。A1 B2 C3 D4（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 (1)用反证法思考，假设|A *|0，则有
22、 A*(A*)-1=E。由此得 A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0，所以 A*=0。这与|A *|0 矛盾，故当|A|=0 时，有|A *|=0。(2)由于 AA*=|A|E，取行列式得到：|A|A *|=|A|n。若|A|0，则|A *|=|A|n-1；若|A|=0，由(1)知|A *|=0，此时命题也成立，故有|A *|=|A|n-1。(3)由(2)可知，|A *|=|A|n-10，此命题成立。(4)可取反例，如34.设 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 ，令 则故所以35.已知 ，则 An=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 A
23、=E+J，其中 ，J 3=J4=0，所以，36.已知 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 |P|0 所以 P 可逆，37.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 的伴随矩阵是_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 CC*=|C|E=|A|B|E，所以38.A 是 n 阶可逆矩阵，(A *)*=_。A|A|A B|A| n-1A C|A| n-2A D|A| n-3A（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 A*(A *)*=|A*|E，又|A *|=|A|n-1，因为|A|0，所以 A*可逆。又 ，所以(A *)*=|A*|(A*)-1=39.设 =
24、(1，0，1) T，=(0，1，1) T， ，A=P -1 TP，求 A2009=_。A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 A=P -1 TP，A 2=P-1PP -1P=P -1 T TP=P-1( T)2P，A3=P-1( T)3P，所以 A2009=P-1( T)2009P，但 ，不易计算。而 ，这是入手点。因此，A 2009=P-1( T) 2008 TP=P-11 2008 TP=P-1 TP=A。因此，所以40.已知 3 阶行列式|，|=3，求|3-+2，-+，2+5-7|=_。A-135 B-115 C115 D135（分数：3.00）A. B.C.D.
25、解析：解析 矩阵(3-+2，-+，2+5-7)=(，)行列式|3-+2，-+，2+5-7|= =3(-45)=-135，故选 A。41.已知 ，(A-E)B=A，求 A=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由(A-E)B=A，得AB=EB=A AB-A=B A(B-E)=B A=B(B-E)-1又因此，42.已知 ，A *X=A-1+2X，求 X=_。A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 A *X=A-1+2X，得 AA*X=AA-1+2AX，|A|X=E+2AX (|A|E-2A)X=E X=(|A|E-2A)-1，又有 ，所以有。利用求逆公式可求得43.设 ，求(A *)-1=_。A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 利用公式(A *)-1=(|A|A-1)-1= 求得所以44.设 A，B 是两个 3 阶矩阵，|A -1|=2，|B -1|=3，求|A *B-1-A-1B*|=_。A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 利用 A*=|A|A-1进行化简。|A*B-1-A-1B*|=| A|A-1-A-1|B|B-1|=|(|A|-|B|)A-1B-1|=(|A|-|B|)3|A-1|B-1| 再根据|AA -1|=|A|A-1|=|E|=1 可得，代入式可得
