1、考研数学（数学二）模拟试卷 438 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+ 0 x g(xt)dt， （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3.当 x0 时，f(lnx)= ，则 2 2 xf(x)dx 为( ) （分数：2.00）
2、A.B.C.D.4.设 z=z(x，y)由 f(azby，bxcz，cyax)=0 确定，其中函数 f 连续可偏导且 af 1 cf 2 0，则 （分数：2.00）A.aB.bC.cD.a+b+c5.设函数 f(x)在(，+)上连续，其导函数的图形如右图所示，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点6.设 D 为 y=x，x=0，y=1 所围成区域，则 arctanydxdy=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续
3、，则 （分数：2.00）A.0B.xzf“ 11 +yzf“ 22 +z 2 f“ 12C.z 2 f“ 12 +zf“ 32D.xzf“ 11 +yzf“ 228.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：2.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关9.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则( )（分数：2.00）A.A=OB.A 只有一个线性尢关的特征
4、向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角阵相似时，A=O二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)由 =x+1y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13. 0 1 dx 1x 1 f(x，y)dy+ 1 2 dx （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E= 1（分数：2.00）填空项
5、1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.证明：当 x1 且 x0 时， （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.设 u=f(x 2 +y 2 ，z)，其中 f 二阶连续可偏导，且函数 z=z(x，y)由 xy+e z =xz 确定，求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对 （分数：2.00）_22.一个容器的内表面侧面由曲线 x= (0x2，y0)绕 x 轴旋转而成，
6、外表面由曲线 x= 在点(2， )的切线位于点(2， （分数：2.00）_23.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数 k= （分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵，证明： ()r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T ； ()r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：2.00）_25.设 A= ，B 为三阶非零矩阵， （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 438 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择
7、题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+ 0 x g(xt)dt， （分数：2.00）A.f(0)为 f(x)的极大值B.f(0)为 f(x)的极小值C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：显然 f(0)=0，由 =2 得 g(0)=0，g(0)=2 由 0 x g(xt)dt 0 x g(u)du 得 f(x)=lncosx+ 0 x g(u)du f“
8、(x)= +g(x)，f“(0)=0 由极限的保号性，存在0，当 0x 时， 3.当 x0 时，f(lnx)= ，则 2 2 xf(x)dx 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 f(lnx)= 选(C)4.设 z=z(x，y)由 f(azby，bxcz，cyax)=0 确定，其中函数 f 连续可偏导且 af 1 cf 2 0，则 （分数：2.00）A.aB.b C.cD.a+b+c解析：解析：f(azby，bxcz，cyax)=0 两边对 x 求偏导得5.设函数 f(x)在(，+)上连续，其导函数的图形如右图所示，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.一个极小值
9、点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点解析：解析：设导函数的图形与 x 轴的交点从左至右依次为 A，B，C，在点 A 左侧 f(x)0，右侧 f(x)0所以点 A 为 f(x)的极大值点，同理可知点 B 与 C 都是 f(x)的极小值点关键是点 O 处，在它左侧f(x)0，右侧 f(x)0，而 f(x)在点 O 连续，所以点 O 也是 f(x)的极大值点(不论在 x=0 处 f(x)是否可导，见极值第一充分条件)，选(C)6.设 D 为 y=x，x=0，y=1 所围成区域，则 arctanydxdy=( ) （分数：2.00
10、）A.B. C.D.解析：解析：7.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则 （分数：2.00）A.0B.xzf“ 11 +yzf“ 22 +z 2 f“ 12C.z 2 f“ 12 +zf“ 32 D.xzf“ 11 +yzf“ 22解析：解析：8.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：2.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关 解析：解析
11、：设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n 因为 BA=C，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B) 若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，(A)不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若 n=s，则 A 的行向量组线性无关，(B)不对； 若 r(A)=s，因为 r(C)s，所以不能断定 C 的列向量组线性相关还是无关，(C)不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，选(D)9.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征
12、值全为 0，则( )（分数：2.00）A.A=OB.A 只有一个线性尢关的特征向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角阵相似时，A=O 解析：解析：若 A 的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵 P，使得二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=1）填空项 1:_ （正确答案：b=2）解析：解析：11.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 t=0 时，x=3，y=1，12.设 y=y(x)由 =x+1y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
13、答案：*）解析：解析：13. 0 1 dx 1x 1 f(x，y)dy+ 1 2 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二重积分的积分区域为 D=(x，y)1yx1+y 2 ，0y1， 14.微分方程 y“3y+2y=2e x 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3e x +3e 2x 2xe x）解析：解析：特征方程为 2 3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2，y“3y+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y 0 (x)=Axe x ，代入原方程为 A=2，原方程的通解为 y
14、=C 1 e x +C 2 e 2x 2xe x 由 15.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，3，0，则B 1 +2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-8）解析：解析：因为 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为 2，4，1，从而 AE 可逆， 由E+B=AB 得(AE)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.证明：当 x1 且 x0 时， （分数：2.00）_正确答案
15、：(正确答案：当 x0 时，令 f(x)=x+ln(1x)xln(1x)，显然 f(0)=0，因为 所以 f(x)在(，0)上单调减少，所以当 x0 时，f(x)f(0)=0，即 x+ln(1x)xln(1x)0，于是 当0x1 时，令 f(x)=x+ln(1x)xln(1x)，且 f(0)=0，因为 所以 f(x)在(0，+)内单调增加，于是 f(x)f(0)=0，故 )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 )解析：19.设 u=f(x 2 +y 2 ，z)，其中 f 二阶连续可偏导，且函数 z=z(x，y)由 xy+e z =xz 确定，求 （分
16、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xy+e z =xz 得 )解析：20.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=lnx，则 f(u)= 于是 )解析：21.设 f(x)在(0，+)内一阶连续可微，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=xt，则原方程变换为 0 x f(u)du=2 0 x f(t)dt+xf(x)+x 3 ，两边对 x求导得 f(x)=2f(x)+f(x)+xf(x)+3x 2 ，整理得 f(x)+ =3x此微分方程的通解为 f(x)= 由 f(1)=0，得 C= ，所以 f(
17、x)= )解析：22.一个容器的内表面侧面由曲线 x= (0x2，y0)绕 x 轴旋转而成，外表面由曲线 x= 在点(2， )的切线位于点(2， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =切线方程为 y= ，与 x 轴的交点坐标为(1，0) 切线旋转后的旋转体体积为 ，曲线旋转后的旋转体的体积为 此容器的质量为 容器内表面积为 )解析：23.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与 及 1+y 2 之积成反比，比例系数 k= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 )解析：24.设 A 是 n 阶矩阵，证明： (
18、)r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T ； ()r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即 )解析：25.设 A= ，B 为三阶非零矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 由 AX= 3 有解得 r(A)=r(A 3 )， ()由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而 r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系， )解析：
