1、考研数学（数学二）模拟试卷 425 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点3.下列等式或不等式中正确的共有 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.设函数 f() （分数：2.00）A.f()有间断点B.f()在(，)上连续，但在(，)内有不可导的点C.f()在(，)内处处可导，但 f()在(，)上不连续D.f()在(，)上连续5.设 f()，g()在点 0
2、 处可导且 f( 0 )g( 0 )0，f( 0 )g( 0 )0，则（分数：2.00）A. 0 不是 f()g()的驻点B. 0 是 f()g()的驻点，但不是 f()g()的极值点C. 0 是 f()g()的驻点，且是 f()g()的极小值点D. 0 是 f()g()的驻点，且是 f()g()的极大值点6.设 f() （分数：2.00）A.当 a3 或 a0 时，f()不可能无零点B.当 a0 时，f()不可能仅有一个零点C.当 a3 时，f()不可能仅有一个零点D.当3a0 时，f()不可能仅有两个零点7.下列二元函数在点(0，0)处可微的是（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A
3、（分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2D.a09.n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r()r()，并且 stB.r()r()nC.r()r()，并且()可以用()线性表示D.()和()都线性无关，并且 st二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()arctan(1)，且 f(0)0，则 0 1 f()d 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 zz(，y)满足 ，z(，0)e ， （分数：2.00）填空项 1:_12.函数 F() （分数：2.00）填空项 1:_13.设 F() （分数：2.
4、00）填空项 1:_14.设 f(，y)为连续函数，且 f(，y) （分数：2.00）填空项 1:_15.设实对称矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：te -t ，y2te -2t (t0) () 证明该参数方程确定连续函数 yy()，1，) () 证明 yy()在1，)单调上升且是凸的 () 求 yy()的渐近线（分数：2.00）_18.()求积分 f(t) 0 1 ln d(t) ()求 （分数：2.00）_19.设 f()
5、（分数：2.00）_20.设 uu(，y)在全平面有连续偏导数， ()作极坐标变换 rcos，yrsin，求 的关系式； ()若 0 ( （分数：2.00）_21.求二重积分： ()J 2 yddy，D(，y)12，0y， 2 y 2 2 ()J （分数：2.00）_22.设有一容器由平面 z0，z1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 r(z) 的圆面若以每秒 v 0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 zz(t)与相应的水体积 VV
6、(t)之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系： z 3 (z1) 3 1 （分数：2.00）_23.()设 f()在(a，)可导且 f()A，求证：若 A0，则 f()；若A0，则 )f() ()设 g()在a，)连续，且 a g()d 收敛，又 （分数：2.00）_24.设 1 (1，3，5，1) T ， 2 (2，7，4) T ， 3 (5，17，1，7) T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个
7、4 维向量（分数：2.00）_25.已知三元二次型 T A 的平方项系数都为 0，(1，2，1) T 满足 A2 求 T A的表达式 求作正交变换 Qy，把 T A 化为标准二次型（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 425 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点 C.连续点D.第二类间断点解析：解析：先求出 g(f()3.下列等式或不等式中正确的共有 （分数：2.00）A.1 个B.2 个
8、 C.3 个D.4 个解析：解析：这是已知导数求某数列的极限若已知 f(b)a，可求得数列极限 只要其中数列 n 满足 n 0 为了用条件 f(1)a。将所求极限 I 改写成求导数的形式 4.设函数 f() （分数：2.00）A.f()有间断点B.f()在(，)上连续，但在(，)内有不可导的点C.f()在(，)内处处可导，但 f()在(，)上不连续 D.f()在(，)上连续解析：解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题 f()的定义域是(，)，它被分成两个子区间(一，0和(0，+)在(一，0内 f() 2 ，因而它在(，0上连续，在(，0)内导函数连续，且 f
9、(0)0；在(0，)内 f() 2 cos ，因而它在(0，)内连续且导函数连续 注意 0f(0)，因而 f()在(，)连续可见 A 不正确又因 即 f()在 0 右导数 f + (0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f()在(，)上处处存在可见 B 不正确 当 0 时， f() 于是 5.设 f()，g()在点 0 处可导且 f( 0 )g( 0 )0，f( 0 )g( 0 )0，则（分数：2.00）A. 0 不是 f()g()的驻点B. 0 是 f()g()的驻点，但不是 f()g()的极值点C. 0 是 f()g()的驻点，且是 f()g()的极小值点D. 0 是 f()
10、g()的驻点，且是 f()g()的极大值点 解析：解析：由于f()g() f( 0 )g( 0 )f( 0 )g( 0 )0，因此 0 是 f()g() 由条件 f( 0 )g( 0 )0 f( 0 )0，g( 0 )0(或 f( 0 )0，g( 0 )0)由 及极限的保号性质 0，当 ( 0 ， 0 )， 0 时 ( 0 ， 0 )时 f()0(0)，g()0(0)； ( 0 ， 0 )时 f()0(0)，g()0(0) ( 0 ， 0 )， 0 时 f()g()0f( 0 )g( 0 ) 6.设 f() （分数：2.00）A.当 a3 或 a0 时，f()不可能无零点 B.当 a0 时，f
11、()不可能仅有一个零点C.当 a3 时，f()不可能仅有一个零点D.当3a0 时，f()不可能仅有两个零点解析：解析：为确定 f() a 的零点个数先考察 f()的单调性求出 现列表格标出 f()的正负号区间，相应地得到 f()的单调性区间： 所以 f()在(，3)和(3，)内单调减少，在(3，3)内单调增加 yf()在每个单调性区间上是否存在零点取决于单调性区间端点的函数值或极限值是否异号 故还要算出： f()a， f()，f(3)3a，7.下列二元函数在点(0，0)处可微的是（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)0按可微定义，若 f(0，0
12、)0，则 f(，y)在点(0，0)处可微，且 0 即无穷小量(p0)，其中 B 选项中的 f(，y)满足：8.设 A （分数：2.00）A.a2B.a2C.0a2 D.a0解析：解析：用顺序主子式 A 的 3 个顺序主子式为 2，4a 2 ，2aa 2 ，它们都大于 0 的条件是0a29.n 维向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t 等价的充分必要条件是（分数：2.00）A.r()r()，并且 stB.r()r()nC.r()r()，并且()可以用()线性表示 D.()和()都线性无关，并且 st解析：解析：()与()等价的充分必要条件是 r()r()r(，) 选项 A 缺
13、少条件 r(，)r() 选项 B 是()与()等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数 选项D()和()都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如 ()： 1 (1，0，0，0)， 2 (0，1，0，0)，()： 1 (0，0，1，0)，设 2 (0，0，0，1) ()和()都无关，并且st2，但是()和()不等价 选项 C()可以用()线性表示，则 r()r(，)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f()arctan(1)，且 f(0)0，则 0 1 f()d 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(2)）解析：解析：已知 f()arctan
14、(1)，求，I 0 1 f()d，我们不必先求出 f()，而是把求 I 转化为求与 f()有关的定积分，就要用分部积分法或把 f() f(0) 0 f(y)dy，再积分 利用分部积分法可得 11.已知 zz(，y)满足 ，z(，0)e ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 由 z(，0)e C 2 ()e 因此，z(，y) 12.函数 F() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， ）解析：解析：由题设知 F()是(，)上连续的偶函数，且由 F()在(，0，在0，) 由于 F(0)0，又 因此，函数 F()的值域区间是0， arct
15、an2)13.设 F() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F() 0 f(y)dy，被积函数 f(y)是含参变量 y 的变限积分 f(y)连续， F()f()， 14.设 f(，y)为连续函数，且 f(，y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：注意 f(u，v)dudv 为常数，记为 A，由于 y 2 对 u、v 为常数，因此对 u，v 积分时可提出积分号外 f(，y) Ay 2 求 f(，y)归结为求常数 A等式两边在 D 积分得 作极坐标变换 又 y 2 d0(D 关于 y 轴对称，被积函数对 为奇函数)， 将它
16、代入式 A(1 ) 因此 f(，y) 15.设实对称矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a0 或4）解析：解析：A 的正，负惯性指数分别为 2 和 1 的充分必要条件是A0(A 的对角线元素有正数，不可能特征值都负)求出 Aa 2 4a， 得答案三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：te -t ，y2te -2t (t0) () 证明该参数方程确定连续函数 yy()，1，) () 证明 yy()在1，)单调上升且是凸的 () 求 yy()
17、的渐近线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 t 1e -t 0(t0)， t (0)0 te -t 在0，)单调上升，值域为(0)， (t)1，) te -t 在0，)存在反函数，记为 tt()，它在1，)连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性 y2t()e -2t() y()在1，)连续 ()由参数式求导法 2(1e -t )0(t0，即 1) 于是 yy()在1，)单调上升又 因此 yy()在1，)是凸的 () t )解析：18.()求积分 f(t) 0 1 ln d(t) ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f() （
18、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 0，1 时，显然 f()连续在 0 处，由 f()在点0 处不连续，且点 0 是 f()的第一类间断点 在 1 处，由 f()在点 1 处既左连续又右连续，于是 f()在点 1 处连续 因此 f()在(，0)，(0，)连续，0 是 f()的第一类间断点 ()题()中已证明这个分段函数在(，0，(0，1连续，且 f()存在，要判断 f()在(，1上的有界性，只需再考察 f()，即 因 f()在(，0连续，又f()存在 f()在(，0有界f()在(0，1连续，又 f()存在 f()在(0，1有界因此 f()在(，1有界 )解析：20.设 uu(，y)
19、在全平面有连续偏导数， ()作极坐标变换 rcos，yrsin，求 的关系式； ()若 0 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()uu(，y)u(rcos，rsin)，由复合函数求导法 ()由题()，0(r0) 又 u(rcos，rsin)对 r 在0，)上连续 u 作为 r， 的函数，当 固定时，u 作为 r 的函数在0，)为常数 )解析：21.求二重积分： ()J 2 yddy，D(，y)12，0y， 2 y 2 2 ()J （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 是圆周 2 y 2 2(1) 2 y 2 1)的 外部与梯形(，y)12，0y的公共部分如图所示 在 O
20、y 直角坐标系中选择先 y 后 的积分顺序，D 表 示为 ()D 是圆域： 作极坐标变换 rcos，yrsin，并由 D 关于 轴对称， 轴上方部分为 D 1 ： 0 ，0racos )解析：22.设有一容器由平面 z0，z1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0，z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径 r(z) 的圆面若以每秒 v 0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 zz(t)与相应的水体积 VV(t)之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系： z 3 (
21、z1) 3 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积 y(t)之间的关系是 V(t) 0 z(t) S(z)dz 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)z 2 (1z) 2 现由 v 0 及 z(0)0，求 z(t) 将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dzv 0 dt，即z 2 (1z) 2 dz dt (*) 两边积分并注意 z(0)0，得 z 3 (z1) 3 1 (*) ()求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即 因此，求 取最大值时
22、z 的取值归结为求 f(z)z 2 (1z) 2 在0，1上的最小值点由 f(z)22(1z) r(z)在 z 在0，1上取最小值故 z 时水表面上升速度最大 ()归结求容器的体积，即 V 0 1 S(z)dz 0 1 z 2 (1z) 2 d ， 因此灌满容器所需时间为 (秒) 或由于灌满容器所需时间也就是 z1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z1 得 ， 即 t )解析：23.()设 f()在(a，)可导且 f()A，求证：若 A0，则 f()；若A0，则 )f() ()设 g()在a，)连续，且 a g()d 收敛，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()联系 f()与
23、 f()的是拉格朗日中值定理，取 0 (a，)， 0 有 f()f( 0 )f()( 0 )( 0 ) (*) 下面估计 f()：由 f()A，设 A0，由极限的不等式性质 a，当 X 时 f() 现取定 0 X，当 0 时，由于 0 X，有 f() ，于是由(*)式得 f()f( 0 ) ( 0 )( 0 ) 又因 ，所以 若 A0，考察 g()f()，则 g()f()， 由已证结论知 g()， 于是 ()记 f() a g(t)dt，则 f()在a，)内可导且 f()g()， 若 l0，则l0 或0，由题()得 )解析：24.设 1 (1，3，5，1) T ， 2 (2，7，4) T ，
24、3 (5，17，1，7) T 若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 当 a3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 设 a3， 4 是与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任何一个 4 维向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 )3 得a3 与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解， 解此方程组： )解析：25.已知三元二次型 T A 的平方项系数都为 0，(1，2，1) T 满足 A2 求 T A的表达式 求作正交变换 Qy，把 T A 化为
25、标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 则条件 A2 即 得 2ab2，ac4，b2c2，解出 ab2，c2 此二次型为 4 1 2 4 1 3 4 2 3 先求 A 特征值 EA (2) 2 (4) 于是 A 的特征值就是 2，2，4 再求单位正交特征向量组 属于 2 的特征向量是(A2E)0 的非零解 得(A2E)0 的同解方程组： 1 2 3 0 显然 1 (1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2 (1，1，c) T 代入方程得c2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1 ， 2 再把它们单位 化： 记 1 1 1 1 ， 2 2 2 2 属于4 的特征向量是(A4E)0 的非零解 求出 3 (1，1，1) T 是一个解，单位化： 记 3 3 3 )解析：
