1、经济类联考数学-5 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学单项选择题(总题数：4，分数：10.00)1.函数 （分数：2.50）A.1B.2C.3D.无穷多个2.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：2.50）A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.振荡间断点3.设 则 f“(x)=_ A B C （分数：2.50）A.B.C.D.4.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f“(x)的图像如图所示，则函数 f(x)_ （分数：2.50）A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四
2、个极大值点，无极小值点二、数学计算题(总题数：28，分数：90.00)5.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0， （分数：2.50）_求下列函数的极值：（分数：5.00）(1).y=(x-1) 2 (x-2) 2（分数：2.50）_(2). （分数：2.50）_6.设 f(x)=(ax 2 +x-1)e -x (e 为自然对数的底，a 为常数且 a0，xR)，f(x)取极小值时，求 x 的值 （分数：2.50）_7.已知函数 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+a 2 在 x=1 处有极值为 10，求 f(2) （分数：2.50）_已知函数 f(x)=ax 3 +bx 2 -3x 在 x=
3、1 处取得极值（分数：5.00）(1).讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值（分数：2.50）_(2).过点 A(0，16)作曲线 y=f(x)的切线，求此切线方程（分数：2.50）_8.求函数 在 （分数：2.50）_9.求函数 （分数：2.50）_10.已知 y=f(x)=ax 3 -6ax 2 +b，x-1，2，y max =3，y min =-29，求 a+b （分数：2.50）_已知 a 为实数，f(x)=(x 2 -4)(x-a)，（分数：7.50）(1).求导数 f“(x)（分数：2.50）_(2).若 f“(-1)=0，求 f(x)在-2，2上的最大值
4、和最小值（分数：2.50）_(3).若 f(x)在(-，-2)和2，+)上都是增函数，求 a 的取值范围（分数：2.50）_已知函数 （分数：5.00）(1).求函数 y=f(x)的解析式（分数：2.50）_(2).求函数 y=f(x)的单调区间（分数：2.50）_设函数 f(x)=2x 3 -3(a+1)x 2 +6ax+8，其中 aR（分数：5.00）(1).若 f(x)在 x=3 处取得极值，求常数 a 的值（分数：2.50）_(2).若 f(x)在(-，0)上为增函数，求 a 的取值范围（分数：2.50）_11.求抛物线 （分数：2.50）_12.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，
5、求其表面积最小时的底面边长 （分数：2.50）_13.已知 x(0，+)，求证： （分数：2.50）_14.设 0x1，p1，证明： （分数：2.50）_15.证明：当|x|1 时，有|4x-x 4 |5. （分数：2.50）_16.设常数 k0，证明方程 （分数：2.50）_17.求函数 z=x 2 -xy+y 2 +9x-6y+20 的极值 （分数：2.50）_18.求函数 z=4(x-y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：2.50）_19.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 （分数：2.50）_20.试在球面 x 2 +y 2 +z 2 =4 上求出与点(3，1，-1)距离最近
6、和最远的点 （分数：2.50）_统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为： （分数：5.00）(1).当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?（分数：2.50）_(2).当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?（分数：2.50）_为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：厘米)满足关系： （分数：
7、5.00）(1).求 k 的值及 f(x)的表达式；（分数：2.50）_(2).隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值（分数：2.50）_21.某地有三家工厂，如图所示，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A 处，B 处及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 千米，CB=10 千米，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A，B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，PO，设排污管道的总长为 y 千米请你确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 （分数：2.50）_22.在半径为 R 的半球内作一个圆柱体，求最
8、大体积时圆柱体的底半径与高 （分数：2.50）_23.某客轮每小时消耗燃料的费用与速度的三次方正比，若该客轮从甲城到乙城沿江逆流而上，设水流速度为每小时 c 千米，求客轮最经济的速度? （分数：2.50）_24.如图 1 所示，从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形，留下的部分中心角为 ，当 取多大时，用其做成的漏斗(如图 2 所示)的容积最大? （分数：2.50）_25.如图所示，一水渠的横断面是面积为 S 的等腰梯形，问应该如何选取岸边的倾斜角 与高度 h，可以使得湿周 L 最小?(湿周为横断面上与水接触的各边总长一般地，湿周越小，所需建材与修筑工作量越少) （分数：2.50）_经济类联
9、考数学-5 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学单项选择题(总题数：4，分数：10.00)1.函数 （分数：2.50）A.1B.2C.3 D.无穷多个解析：解析 设 x=x 0 为函数 f(x)的间断点，若 f - (x 0 )=f + (x 0 )f(x 0 )，则 x=x 0 为函数 f(x)的可去间断点 回归本题： 第一步，找出使 f(x)无定义点 满足 sinx=0 的点，即 x=0，1，2，3， 上述点若为可去间断点，则 f(x)在该点的左右极限存在且相等， 又 sinx=0，必有分子 x-x 3 =0，即可去间断点可能为 x=0，1. 第二步，判断 因为 所
10、以 2.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0 是函数 （分数：2.50）A.跳跃间断点B.可去间断点 C.无穷间断点D.振荡间断点解析：解析 3.设 则 f“(x)=_ A B C （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 注意上式是在 x0 时才成立的，当 x=0 时，上式分母为零，导函数不能用上式表示，考查函数在 x=0 处的导数是否存在： 4.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f“(x)的图像如图所示，则函数 f(x)_ （分数：2.50）A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点解
11、析：解析 根据函数示意图法，由图可知，共 4 个极值点，其中 2 个极大值点，2 个极小值点 二、数学计算题(总题数：28，分数：90.00)5.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0， （分数：2.50）_正确答案：()解析：第一步，换元化简 设 则 即 第二步，分段函数求积分 因为 f(0)=0，可以使用定积分 求下列函数的极值：（分数：5.00）(1).y=(x-1) 2 (x-2) 2（分数：2.50）_正确答案：()解析：由 f(x)=(x-1) 2 (x-2) 2 ，得 f“(x)=2(x-1)(x-2)(2x-3)令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =1， x (-，1) 1 (
12、2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：由 得 6.设 f(x)=(ax 2 +x-1)e -x (e 为自然对数的底，a 为常数且 a0，xR)，f(x)取极小值时，求 x 的值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：f“(x)=(2ax+1)e -x +(ax 2 +x-1)e -x (-1) =-e -x (ax+1)(x-2) 令 或 2，分类讨论如下： (1)当 即 时，列表 x (-，2) 2 f“(x) + O - O + f(x) 极大值 极小值 故 时，f(x)取极小值 (2)当 即 时， 无极值 (3)当 即 时，列表 x 7.已知函数 f(x)=x 3 +ax
13、2 +bx+a 2 在 x=1 处有极值为 10，求 f(2) （分数：2.50）_正确答案：()解析： 由题意得 故 因此 已知函数 f(x)=ax 3 +bx 2 -3x 在 x=1 处取得极值（分数：5.00）(1).讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值（分数：2.50）_正确答案：()解析：f(x)=ax 3 +bx 2 -3x f“(x)=3ax 2 +2bx-3， 依题意，f“(1)=f“(-1)=0，即 解得 a=1，b=0， 故 f(x)=x 3 -3x (2).过点 A(0，16)作曲线 y=f(x)的切线，求此切线方程（分数：2.50）_正确答案：
14、()解析：曲线方程为 y=x 3 -3x，点 A(0，16)不在曲线上， 设切点为 M(x 0 ，y 0 )，则点 M 的坐标满足 因 故切线的方程为 注意到点 A(0，16)在切线上，有 化简得 8.求函数 在 （分数：2.50）_正确答案：()解析：当 x0 时， 由 f“(x)=0 得， x=0 为 f“(x)不存在的点 由于 9.求函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析： 在(0，1)上，令 f“(x)=0 得 当 时，f“(x)0； 当 时，f“(x)0， 故 f(x)在 处取得极小值 可知，函数 f(x)在点 处取得最小值 10.已知 y=f(x)=ax 3 -6ax 2 +
15、b，x-1，2，y max =3，y min =-29，求 a+b （分数：2.50）_正确答案：()解析：第一步，a0，f“(x)=3ax(x-4) 第二步，a0，f“(x)=3ax(x-4) 已知 a 为实数，f(x)=(x 2 -4)(x-a)，（分数：7.50）(1).求导数 f“(x)（分数：2.50）_正确答案：()解析：因为 f(x)=(x 2 -4)(x-a)=x 3 -ax 2 -4x+4a， 所以 f“(x)=3x 2 -2ax-4.(2).若 f“(-1)=0，求 f(x)在-2，2上的最大值和最小值（分数：2.50）_正确答案：()解析：由 f“(-1)=0，得 ，此时
16、有 所以 f“(x)=3x 2 -x-4， 由 f“(x)=0，得 或 x=-1， 又因为 所以 f(x)在-2，2上的最大值为 ，最小值为 (3).若 f(x)在(-，-2)和2，+)上都是增函数，求 a 的取值范围（分数：2.50）_正确答案：()解析：由 f“(x)=3x 2 -2ax-4 的图像为开口向上且过点(0，-4)的抛物线， 由条件得 f“(-2)0，f“(2)0，即 已知函数 （分数：5.00）(1).求函数 y=f(x)的解析式（分数：2.50）_正确答案：()解析：由 得 又函数 f(x)的图像在点 M(-1，f(-1)处的切线方程为 x+2y+5=0， 故-1+2f(-
17、1)+5=0，即 f(-1)=-2， 解得 a=2，b=3(因为 b+10，所以 b=-1 舍去)， 因此所求函数解析式为 (2).求函数 y=f(x)的单调区间（分数：2.50）_正确答案：()解析：由 令 f“(x)=0，解得 当 或 时，f“(x)0， 当 时，f“(x)0， 故 在 和 内是减函数， 在 设函数 f(x)=2x 3 -3(a+1)x 2 +6ax+8，其中 aR（分数：5.00）(1).若 f(x)在 x=3 处取得极值，求常数 a 的值（分数：2.50）_正确答案：()解析：f“(x)=6x 2 -6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1)， 由 f(x)在 x=3
18、 取得极值， 得 f“(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得 a=3， 经检验知 a=3 时，x=3 为 f(x)为极值点(2).若 f(x)在(-，0)上为增函数，求 a 的取值范围（分数：2.50）_正确答案：()解析：令 f“(x)=6(x-a)(x-1)=0，得 x 1 =a，x 2 =1， 当 a1 时，若 x(-，a)(1，+)，则 f“(x)0， f(x)在(-，a)和(1，+)上为增函数， 故当 0a1 时，f(x)在(-，0)上为增函数， 当 a1 时，若 x(-，1)(a，+)，则 f“(x)0， f(x)在(-，1)和(a，+)上为增函数， 从而当 a1 时，f(x)在
19、(-，0)上也为增函数 综上所述，当 a0，+)时，f(x)在(-，0)上为增函数11.求抛物线 （分数：2.50）_正确答案：()解析：设 M(x，y)为抛物线 上一点， 则 由|MA|与|MA| 2 同时取到极值，令 由 f“(x)=(x-2)(x 2 +2x+6)=0，得 x=2 是唯一的驻点， 当 x-或 x+时，|MA|+，f(x)+， 故 x=2 是 f(x)的最小值点，此时 即抛物线 12.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，求其表面积最小时的底面边长 （分数：2.50）_正确答案：()解析：设底面边长为 x，则高为 故 令 S“=0，得 13.已知 x(0，+)，求证： （分
20、数：2.50）_正确答案：()解析：令 x (0，1) 1 (1，+8) y“ - 0 + y 故 y min =f(1)=1， x(0，+)，f(x)f(1)=1 恒成立， 因此 14.设 0x1，p1，证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：令 f(x)=x p +(1-x) p ，p1，0x1， f“(x)=px p-1 -p(1-x) p-1 =0 x=1-x，解得驻点 比较上述函数值的大小： 故有 mf(x)M，即 15.证明：当|x|1 时，有|4x-x 4 |5. （分数：2.50）_正确答案：()解析：令 f(x)=4x-x 4 ，|x|1， f“(x)=4-4x 3
21、=4(1-x 3 )0，|x|1， f(z)在-1，1单调增加，比较上述函数值的大小： m=f(-1)=-4-1=-5，M=f(1)=4-1=3， 由 mf(x)M，得-54x-x 4 3， 从而有|4x-x 4 |5.16.设常数 k0，证明方程 （分数：2.50）_正确答案：()解析：第一步，令 第二步， 令 f“(x)=0，驻点 x=e x=e 为极大值点 由单峰原理可知 x=e 是最大值点，最大值 f(e)=1-1+k0， 且 故 y=f(x)与 x 轴有且仅有两个交点(如图所示) 17.求函数 z=x 2 -xy+y 2 +9x-6y+20 的极值 （分数：2.50）_正确答案：()
22、解析：由 18.求函数 z=4(x-y)-x 2 -y 2 的极值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：由 z“ x =4-2x=0，z“ y =-4-2y=0，得驻点(2，-2) z“ xx =-2，z“ xy =0，z“ yy =-2， D(x，y)=x“ xx z“ yy -(z“ xy ) 2 =40. 因为 D(2，-2)=40，z“ xx (2，-2)=-20， 所以 函数在点(2，-2)处取得极大值，极大值为 x(2，-2)=8.19.试讨论方程 xe -x =a(a0)的实根 （分数：2.50）_正确答案：()解析：令 F(x)=xe -x -a，则 F“(x)=(1-x)
23、e -x ， 由 F“(x)=0，得 x=1， 当 x(-，1)，F“(x)0，F(x)单调增加； 当 x(1，+)，F“(x)0，F(x)单调减少 所以 x=1 是 F(x)在(-，+)的极大值点，且极大值 F(1)=e -1 -a 因为 x=1 是 F(x)在(-，+)的唯一驻点，则极大值 F(1)=e -1 -a 是最大值 当 F(1)=e -1 -a0 时，F(x)没有零点，即方程无根 当 F(1)=e -1 -a=0 时，F(x)有唯一零点，即方程有唯一的根 当 F(1)=e -1 -a0 时， F(x)在(-，1)有唯一零点，即方程的根； 20.试在球面 x 2 +y 2 +z 2
24、 =4 上求出与点(3，1，-1)距离最近和最远的点 （分数：2.50）_正确答案：()解析：设 M(x，y，z)为球面上任意一点，则 M 到点(3，1，-1)距离为 因为 d 2 与 d 有相同的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取 f(x，y，z)=d 2 =(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 ， 又因为点 M(x，y，z)在球面上，附加条件为 (x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 -4=0. 构成辅助函数 F(x，y，z)=(x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+1) 2 +(x 2 +y 2 +z 2 -4) 求函数 F 对 x，y，z 偏导数，使其为 0，得
25、到方程组 从前三个方程中可以看出 x，y，z 均不等于零(否则方程两端不等)，以 作为过渡，把这三个方程联系起来，有 故 x=-3z，y=-z，将其代入 x 2 +y 2 +z 2 =4 中，得 (-3z) 2 +(-z) 2 +z 2 =4， 求出 再代入到 x=-3z，y=-z 中， 即可得 从而得两点 对照表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小， 所以最近点为 ，最远点为 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为： （分数：5.00）(1).当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油
26、多少升?（分数：2.50）_正确答案：()解析：当 x=40 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5 小时， 要耗油 (2).当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?（分数：2.50）_正确答案：()解析：当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时， 设耗油量为 h(x)升，依题意得 因为 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：厘米)满足关系： （分数：5.00）(1).求
27、 k 的值及 f(x)的表达式；（分数：2.50）_正确答案：()解析：设隔热层厚度为 x 厘米， 由题设每年能源消耗费用为 再由 C(0)=8 得 k=40， 而建造费用为 C 1 (x)=6x， 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 (2).隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值（分数：2.50）_正确答案：()解析： 令 f“(x)=0，即 解得 x=5， (舍去) 当 0x5 时，f“(x)0， 当 5x10 时，f“(x)0， 故 x=5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 21.某地有三家工厂，如图所示，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A 处，B
28、 处及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 千米，CB=10千米，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A，B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，PO，设排污管道的总长为 y 千米请你确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 （分数：2.50）_正确答案：()解析：如题图所示，PQ 垂直平分 AB，若BAO=，则 故 又 OP=10-10tan， 所以 关键在于求 在 上的最小值 因为驻点唯一且为实际问题，故 为最小值点， 此时 结论：点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 22.在半径为 R 的半球内作一个圆柱体，求最大体积时圆柱体的底半径与高 （分数：2.50）_正确答案：()解析：第一步，画出示意图，如图所示 第二步，依题意，设所求圆柱体体积为 V=r 2 h，r 2 =R 2 -h 2 第三步，求驻点：V“(h)=R 2 -3h 2 ， 令 V“(h)=0，R 2 =3h 2 ，驻点 第四步，求最值点： 结论：当 23.
