1、经济类联考数学-4 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学计算题(总题数：32，分数：100.00)以 A，B，C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报试用 A，B，C 表示以下事件：（分数：18.00）(1).只订阅日报；（分数：2.00）_(2).只订日报和晚报；（分数：2.00）_(3).只订一种报；（分数：2.00）_(4).正好订两种报；（分数：2.00）_(5).至少订阅一种报；（分数：2.00）_(6).不订阅任何报；（分数：2.00）_(7).至多订阅一种报；（分数：2.00）_(8).三种报纸都订阅；（分数：2.00）_(9).三种报纸不全订阅（分
2、数：2.00）_1.已知 （分数：2.00）_2.设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）_3.已知事件 A，B，C 相互独立，求证：AB 与 C 也独立 （分数：2.00）_4.设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件，分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回，拿三次；每次拿 1 件，取后不放回，拿三次试求： (1)取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率 (2)取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率 （分数：2.00）_5.每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等
3、可能的开箱检验时，从中任取 1 件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收假设由于检验有误，1 件正品被误检是次品的概率是 2%，1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： (1)抽取的 1 件产品为正品的概率 (2)该箱产品通过验收的概率 （分数：2.00）_6.对飞机进行三次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机两次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落求射击三次飞机未被击落的概率 （分数：2.00）_7.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者，
4、但也有可能将 10%的人误诊根据以往的记录，每 10000 人中有 4 人患有肝癌，试求： (1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率 (2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率 （分数：2.00）_8.在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6，0.5，现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大? （分数：2.00）_9.设随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.00）_10.设 是一个离散型随机变量，其分布列如
5、下表，求 q 的值 -1 0 1 P （分数：2.00）_11.设在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： (1)不放回抽样时，抽到次品数 的分布列 (2)放回抽样时，抽到次品数 的分布列 （分数：2.00）_12.证明指数分布具有“无记忆性”，即 P(x 0 Xx 0 +x|Xx 0 )=P(Xx) （分数：2.00）_13.证明：若 B(n，p)，则 E=np （分数：2.00）_14.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 E=3，标准
6、差 为 （分数：2.00）_15.若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率是 p，用随机变量 表示 A 在 1 次实验中发生的次数，求 （分数：2.00）_16.设连续型随机变量 X 的概率密度为 试确定常数 a 并求 （分数：2.00）_17.设随机变量 X 服从1，5上的均匀分布，且 1x 1 5x 2 ，求 P(x 1 Xx 2 ) （分数：2.00）_18.设 X 为连续型随机变量，其分布函数为 （分数：2.00）_设 XN(-1，16)，试计算（分数：4.00）(1).P(X2.44)（分数：2.00）_(2).P(|X|4)（分数：2.00）_设连续型随机变量 X 的密度函数为
7、（分数：4.00）(1).求常数 a，使 P(Xa)=P(Xa)；（分数：2.00）_(2).求常数 b，使 P(Xb)=0.05.（分数：2.00）_19.设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 进行三次独立观察中 （分数：2.00）_设 XN(0，1)，求（分数：4.00）(1).Y=e X （分数：2.00）_(2).W=|X|的密度函数（分数：2.00）_计算下列分布的两个特征数值 E(X)和 D(X)：（分数：8.00）(1).几何分布 P(X=k)=p(1-p) k-1 G(p)，k=1，2，（分数：2.00）_(2).泊松分布 （分数：2.00）_(3).指数分布 （分
8、数：2.00）_(4).正态分布 （分数：2.00）_20.已知 U-3，3， （分数：2.00）_21.已知随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，试求： (1)E(3X)与 D(3X) (2)E(e -3X )与 D(e -3X ) （分数：2.00）_求下列函数的间断点，并判断其类型（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_22.设函数 （分数：3.00）_23.已知函数 （分数：3.00）_24.设函数 （分数：3.00）_25.求函数 （分数：3.00）_26.直线 y=a 与函数 f(x)=x 3 -3x 的图像有
9、三个相异交点，求 a 的取值范围 （分数：2.00）_经济类联考数学-4 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学计算题(总题数：32，分数：100.00)以 A，B，C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报试用 A，B，C 表示以下事件：（分数：18.00）(1).只订阅日报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).只订日报和晚报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(3).只订一种报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(4).正好订两种报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(5).至少订阅一种报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：A+B
10、+C(6).不订阅任何报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(7).至多订阅一种报；（分数：2.00）_正确答案：()解析：(8).三种报纸都订阅；（分数：2.00）_正确答案：()解析：ABC(9).三种报纸不全订阅（分数：2.00）_正确答案：()解析：1.已知 （分数：2.00）_正确答案：()解析：第一步，事件表示、等价转换 第二步，容斥原理 2.设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 A 与 B 独立， 得 因此 即 3.已知事件 A，B，C 相互独立，求证：AB 与 C 也独立 （分数：
11、2.00）_正确答案：()解析：证明：因为 A、B、C 相互独立， 则 P(AB)C=P(ACBC) =P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)-P(AB)P(C) =P(AB)P(C) 因此 AB 与 C 独立4.设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件，分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回，拿三次；每次拿 1 件，取后不放回，拿三次试求： (1)取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率 (2)取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率 （分数：2.00）_
12、正确答案：()解析：情况一：一次拿 3 件： (1) (2) 情况二：每次拿 1 件，取后放回，拿三次： (1) (2) 情况三：每次拿 1 件，取后不放回，拿三次： (1) (2) 5.每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的开箱检验时，从中任取 1 件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收假设由于检验有误，1 件正品被误检是次品的概率是 2%，1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： (1)抽取的 1 件产品为正品的概率 (2)该箱产品通过验收的概率 （分数：2.00）_正确答案：()解析：令 A=“抽取 1 件产品为正品”，A i =“箱中有 i 件次品”，i
13、=0，1，2，B=“该箱产品通过验收” (1) (2) 6.对飞机进行三次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机两次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落求射击三次飞机未被击落的概率 （分数：2.00）_正确答案：()解析：令 A i =“恰有 i 次击中飞机”，i=0，1，2，3，B=“飞机被击落” P(A 0 )=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.7)=0.09 P(A 1 )=0.4(1-0.5)(1-0.7)+(1-0.4)0.5(1-0.7)+(1-0.4)(1-0.5)0.
14、7 =0.36 P(A 2 )=0.40.5(1-0.7)+0.4(1-0.5)0.7+(1-0.4)0.50.7 =0.41 P(A 3 )=0.40.50.7=0.14 而 P(B|A 0 )=0，P(B|A 1 )=0.2，P(B|A 2 )=0.6，P(B|A 3 )=1 所以 7.在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊根据以往的记录，每 10000 人中有 4 人患有肝癌，试求： (1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率 (2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率 （分数：2.00）_正确答案：()解析：
15、令 B=“被检验者患有肝癌”，A=“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”， 那么， (1) (2) 8.在 18 盒同类电子元件中有 5 盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4 盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为 0.8，0.7，0.6，0.5，现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大? （分数：2.00）_正确答案：()解析：设 A i (i=1，2，3，4)表示“所取一盒产品分别属于甲、乙、丙、丁厂生产”， B 表示“所取一个元件为不合格品” 由全概率公式 由贝叶斯公式 9.设随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.
16、00）_正确答案：()解析：高等数学级数公式： 锁定目标： 10.设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求 q 的值 -1 0 1 P （分数：2.00）_正确答案：()解析：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于 1， 所以 解得 11.设在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求： (1)不放回抽样时，抽到次品数 的分布列 (2)放回抽样时，抽到次品数 的分布列 （分数：2.00）_正确答案：()解析：随机变量 可以取 0，1，2， 也可以取 0，1，2，3. (1) 所以 的分布列为 0 1 2 P 12.证明指数分布具有“无记忆
17、性”，即 P(x 0 Xx 0 +x|Xx 0 )=P(Xx) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明： 13.证明：若 B(n，p)，则 E=np （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明：由 得 又因为 所以 14.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 E=3，标准差 为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：若 B(n，p)，则 D=np(1-p) (1)由 E=np=3， 得 从而 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 p 15.若随机事件 A 在
18、 1 次试验中发生的概率是 p，用随机变量 表示 A 在 1 次实验中发生的次数，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 当且仅当 即 时取等号，所以 的最大值是 16.设连续型随机变量 X 的概率密度为 试确定常数 a 并求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：令 即 即17.设随机变量 X 服从1，5上的均匀分布，且 1x 1 5x 2 ，求 P(x 1 Xx 2 ) （分数：2.00）_正确答案：()解析：X 的概率密度为 18.设 X 为连续型随机变量，其分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 F(-)=0，得 a=0. 又由 F(+)=1，得 d=1 又因
19、为 所以 c=-1 又因为 设 XN(-1，16)，试计算（分数：4.00）(1).P(X2.44)（分数：2.00）_正确答案：()解析：(2).P(|X|4)（分数：2.00）_正确答案：()解析：设连续型随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）(1).求常数 a，使 P(Xa)=P(Xa)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：因为 P(Xa)=P(Xa)，所以 1-P(Xa)=P(Xa)， 故 所以 (2).求常数 b，使 P(Xb)=0.05.（分数：2.00）_正确答案：()解析：因为 P(Xb)=0.05，1-P(Xb)=0.05， 所以 19.设随机变量 X 的概率密度
20、为 以 Y 表示对 X 进行三次独立观察中 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 由已知 所以 设 XN(0，1)，求（分数：4.00）(1).Y=e X （分数：2.00）_正确答案：()解析：X 的密度函数为 的分布函数为 所以 Y=e X 的密度函数为 (2).W=|X|的密度函数（分数：2.00）_正确答案：()解析：W=|X|的分布函数为 所以 W=|X|的密度函数为 计算下列分布的两个特征数值E(X)和 D(X)：（分数：8.00）(1).几何分布 P(X=k)=p(1-p) k-1 G(p)，k=1，2，（分数：2.00）_正确答案：()解析：几何分布 P(X=k)=p(1-
21、p) k-1 G(p) k=1，2， 根据定义可得： 结论 (2).泊松分布 （分数：2.00）_正确答案：()解析：泊松分布 当 x=k=0P=e - ，根据定义可得： 结论 (3).指数分布 （分数：2.00）_正确答案：()解析：指数分布 根据定义可得： 结论 (4).正态分布 （分数：2.00）_正确答案：()解析：正态分布 20.已知 U-3，3， （分数：2.00）_正确答案：()解析：(X，Y)有四种可能值：(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1) 21.已知随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，试求： (1)E(3X)与 D(3X) (2)E(e -3X )与
22、 D(e -3X ) （分数：2.00）_正确答案：()解析：已知为 根据定义和性质可得： (1) (2) 求下列函数的间断点，并判断其类型（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：考虑定义域和无意义点：x=0 因为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：当 tanx=0 时，有 x=0或 x=n(n=1，2，) 因为 所以 x=0 为可去间断点 又 所以 x=n(n=1，2，)为无穷间断点 当 时， 所以 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析： 因 22.设函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：判断函数在分段点的连续时， 回归本题：
