1、经济类联考数学-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学计算题(总题数：29，分数：100.00)按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（分数：9.00）(1).4132（分数：3.00）_(2).2413（分数：3.00）_(3).13(2n-1)(2n)(2n-2)2（分数：3.00）_用对角线法则计算下列三阶行列式：（分数：9.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_计算下列各行列式：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_计算下列各行列式：（分数：12.0
2、0）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_(3). （分数：3.00）_(4). （分数：3.00）_1.计算行列式： （分数：2.00）_2.4 阶方阵 A=， 1 ， 2 ， 3 ，B=， 1 ， 2 ， 3 ，其中 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，计算行列式|A+B| （分数：2.00）_3.设 A，B 都是 n 阶对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA （分数：2.00）_计算：（分数：8.00）(1).设 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4).
3、 （分数：2.00）_4.设 （分数：2.00）_求下列矩阵的逆矩阵：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_5.设 （分数：2.00）_6.设 P -1 AP=A，其中 （分数：2.00）_7.设 （分数：2.00）_8.求矩阵 （分数：2.00）_9.设 （分数：2.00）_10.设 1 ， 2 ， 3 为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 1 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )，如果|A|=1，那么|B|=_ （分数：2.00）_11.设三阶方阵 A，B
4、 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 （分数：2.00）_12.已知 1 =(2，5，1，3) T ， 2 =(10，1，5，10) T ， 3 =(4，1，-1，1) T ，若 3( 1 -)+2( 2 +)=5( 3 +)，求 （分数：2.00）_13.已知 1 = 1 - 2 ， 2 = 2 - 3 ， 3 = 3 - 4 ， 4 = 4 - 1 ， 证明： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）_14.已知 1 = 1 +2 2 +3 3 ， 2 = 1 +4 2 +9 3 ， 3 = 1 +8 2 +27 3 ， 若向量都是 n(n3)维的，
5、 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：2.00）_15.证明：r(A+B)r(A)+r(B) （分数：2.00）_16.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，E 为 n 阶单位矩阵证明：r(A)+r(A-E)=n （分数：2.00）_17.已知矩阵 （分数：2.00）_18.当 取什么值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_求解下列齐次线性方程组：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_求解下列非齐次线性方程组：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_19.当 取何值时，非齐
6、次线性方程组 （分数：2.00）_20.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_21.设 * 是非齐次线性方程组 AX=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关 （分数：2.00）_经济类联考数学-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、数学计算题(总题数：29，分数：100.00)按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（分数：9.00）(1).4132（分数：3.00）_正确答案：()解析：逆序数为 4.详析如下：41，43，42，32.(2).2413（分数：3.00）_
7、正确答案：()解析：逆序数为 3.详析如下：21，41，43.(3).13(2n-1)(2n)(2n-2)2（分数：3.00）_正确答案：()解析：逆序数为 n(n-1)详析如下： 32 52，54 (2n-1)2，(2n-1)4，(2n-1)6，(2n-1)(2n-2) 42 62，64 (2n)2，(2n)4，(2n)6，(2n)(2n-2) 共 1 个 共 2 个 共(n-1)个 共 1 个 共 2 个 共(n-1)个 用对角线法则计算下列三阶行列式：（分数：9.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：3
8、.00）_正确答案：()解析：计算下列各行列式：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析：计算下列各行列式：（分数：12.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：()解析： 由此得递推公式：D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n-2 ， 即 而 得 (3). （分数：3.00）_正确答案：()解析：从第 n+1 行开始，第 n+1 行经过 n 次相邻对换，换到第 1 行，第 n 行经 n-1 次对换，换到第 2 行，经 次行交换，得 根据范德蒙
9、行列式可得 (4). （分数：3.00）_正确答案：()解析：将第一行乘-1 分别加到其余各行，得 再将各列都加到第一列上，得 1.计算行列式： （分数：2.00）_正确答案：()解析：2.4 阶方阵 A=， 1 ， 2 ， 3 ，B=， 1 ， 2 ， 3 ，其中 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，计算行列式|A+B| （分数：2.00）_正确答案：()解析：先将矩阵 A+B 的表达式写出来，再根据行列式的相关性质进行计算 A+B=+， 1 + 1 ， 2 + 2 ， 3 + 3 =+，2 1 ，2 2 ，2 3 由行列式的性质得： |A+B|=
10、|+，2 1 ，2 2 ，2 3 | =8|+， 1 ， 2 ， 3 | =8(|A|+|B|) =85=403.设 A，B 都是 n 阶对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA （分数：2.00）_正确答案：()解析：已知：A T =A，B T =B 充分性： 即 AB 是对称矩阵 必要性： 计算：（分数：8.00）(1).设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：()解析：4.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解题时，可
11、以先计算 A 2 ，A 3 ，A 4 ，通过观察规律，猜测 A k 各元素的表达式，再用数学归纳法证明 由此推测 用数学归纳法证明如下： 第一步：当 k=2 时，推测显然成立 第二步：假设 k 时成立，则 k+1 时， 第三步：得到结论由数学归纳法原理知： 求下列矩阵的逆矩阵：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：|A|=10，故 A -1 存在 求逆矩阵的方法之一是： A 11 =cos，A 21 =sin，A 12 =-sin，A 22 =cos， 从而 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析： 故 A -1 存在 第一步：求 16 个代数余子式 A
12、 21 =A 31 =A 41 =A 32 =A 42 =A 43 =0(注意：有一行为零，则行列式等于零)， A 11 =24，A 22 =12，A 33 =8，A 44 =6(注意：上三角形与下三角形行列式)， 第二步：求伴随矩阵和逆矩阵 (该公式是反复强调的重点)， 故 (3). （分数：2.00）_正确答案：()解析：由对角矩阵的性质知5.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：6.设 P -1 AP=A，其中 （分数：2.00）_正确答案：()解析：第一步：抽象化简 P -1 AP=，故 A=PP -1 ，所以 A 11 =P 11 P -1 第二步：具体运算 而 故 7.设 （
13、分数：2.00）_正确答案：()解析：第一步：矩阵分块 第二步：利用分块矩阵法解题 8.求矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 一个最高阶非零子式为三阶子式 9.设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：10.设 1 ， 2 ， 3 为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 1 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )，如果|A|=1，那么|B|=_ （分数：2.00）_正确答案：()解析：对矩阵 B 用分块技巧，有 两边取行列式，并用行列式乘法公式，得 11.设三阶方阵 A，B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三
14、阶单位矩阵，若 （分数：2.00）_正确答案：()解析：先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可 由 A 2 B-A-B=E 知，(A 2 -E)B=A+E， 即(A+E)(A-E)B=A+E， 易知矩阵 A+E 可逆，于是有(A-E)B=E， 再两边取行列式，得|A-E|B|=1 因为 所以 12.已知 1 =(2，5，1，3) T ， 2 =(10，1，5，10) T ， 3 =(4，1，-1，1) T ，若 3( 1 -)+2( 2 +)=5( 3 +)，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 3( 1 -)+2( 2 +)=5( 3 +)， 整理得 13.已知 1 = 1 - 2
15、， 2 = 2 - 3 ， 3 = 3 - 4 ， 4 = 4 - 1 ， 证明： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明：定义法 锁定目标：存在一组不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使得 k 1 2 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0. 观察可得 1 + 2 + 3 + 4 =0， 根据定义可知， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关14.已知 1 = 1 +2 2 +3 3 ， 2 = 1 +4 2 +9 3 ， 3 = 1 +8 2 +27 3 ， 若向量都是 n(n3)维的， 1 ， 2 ， 3 线性无关，证
16、明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明： 锁定目标： 1 ， 2 ， 3 线性无关 第一步，转化为秩的问题： 1 ， 2 ， 3 线性无关 第二步，转化为矩阵的问题： 第三步，转化为行列式与逆矩阵的问题： 15.证明：r(A+B)r(A)+r(B) （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明： 设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，A，B 对应向量组的极大无关组分别为A“=(“ 1 ，“ 2 ，“ r )，B“=(“ 1 ，“ 2 ，“ s ) 显然，存在矩阵 M，N，使得 16.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，
17、E 为 n 阶单位矩阵证明：r(A)+r(A-E)=n （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明： 第一步， 第二步， 17.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：()解析：18.当 取什么值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：()解析：求解下列齐次线性方程组：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：对系数矩阵实施行变换： 故解为 (2). （分数：2.00）_正确答案：()解析：对系数矩阵实施行变换： 故解为 求解下列非齐次线性方程组：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：()解析：对系数的增广矩阵施行行变换： (2). （
18、分数：2.00）_正确答案：()解析：对系数的增广矩阵施行行变换： 19.当 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：()解析： (1)当|A|0，即 1 且 10 时，有唯一解； (2)当 即 =10 时，无解； (3)当 即 =1 时，有无穷多个解； 此时，增广矩阵为 原方程组的解为 20.已知非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 得 21.设 * 是非齐次线性方程组 AX=b 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明： * ， * + 1 ， * + n-r 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：()解析：第一步，假
19、设否命题正确示范如下： 假使 * ， * + 1 ， * + n-r 线性相关 则存在着不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得下式成立： c 0 * +c 1 ( * + 1 )+c n-r ( * + n-r )=0 即(c 0 +c 1 +c n-r ) * +c 1 1 +c n-r n-r =0 第二步，推出矛盾或者错误示范如下： 情况一：若 c 0 +c 1 +c n-r =0， 由于 1 ， n-r 是线性无关的一组基础解系， 故 c 1 =c n-r =0，从而 c 0 =0 此时 c 0 =c 1 =c n-r =0，与假设“不全为零”矛盾 情况二：若 c 0 +c 1 +c n-r 0， 可知， * ， 1 ， n-r 线性无关， 故 c 0 +c 1 +c n-r =c 1 =c 2 =c n-r =0 与假设矛盾， 第三步，假设不成立，回归原命题 综上所述，假设不成立，原命题得证
