1、2015 年江苏省南京市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 ) 1. 计算： |-5+3|的结果是 ( ) A.-2 B.2 C.-8 D.8 解析：考查有理数的加法，绝对值 .先计算 -5+3，再求绝对值：原式 =|-2|=2. 答案： B. 2. 计算 (-xy3)2的结果是 ( ) A.x2y6 B.-x2y6 C.x2y9 D.-x2y9 解析：根据幂的乘方和积的乘方的运算方法： (am)n=amn(m， n 是正整数 )； (ab)n=anbn(n是正整数 )；求出计算 (-xy3)2的结果
2、是多少即可 . (-xy3)2 =(-x)2 (y3)2 =x2y6， 即计算 (-xy3)2的结果是 x2y6. 答案： A. 3. 如图，在 ABC 中， DE BC， 12ADDB，则下列结论中正确的是 ( ) A. 12AEACB. 12DEBCC. 13A D EABC 的 周 长的 周 长D. 13A D EABC 的 面 积的 面 积解析：考查相似三角形的判定与性质 .由 DE BC，可得 ADE ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得 A D A E D EA B A C B C ，然后由 12ADDB，即可判断 A、 B 的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面
3、积之比等于相似比的平方即可判断 C、 D 的正误 . DE BC， ADE ABC， A D A E D EA B A C B C ， 12ADDB， 1=3A D A E D EA B A C B C， 故 A、 B 选项均错误； ADE ABC， 13A D E A DA B C A B的 周 长的 周 长， 2 19A D E A DA B C A B的 面 积 （ ）的 面 积， 故 C 选项正确， D 选项错误 . 答案： C. 4. 某市 2013 年底机动车的数量是 2 106辆， 2014 年新增 3 105辆，用科学记数法表示该市 2014 年底机动车的数量是 ( ) A.2
4、.3 105辆 B.3.2 105辆 C.2.3 106辆 D.3.2 106辆 解析：考查科学记数法表示较大的数 .科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 .2014 年底机动车的数量为： 3 105+2 106=2.3 106. 答案： C. 5. 估计 512介于 ( ) A.0.4 与 0.5 之间 B.0.5 与 0.6 之间 C.0.6 与 0.7 之间 D.0.7
5、与 0.8 之间 解析： 先估算 5 的范围，再进一步估算 512，即可解答 . 5 2.235， 5-1 1.235， 512 0.617， 512介于 0.6 与 0.7 之间， 答案 ： C. 6. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=5， AD， AB， BC 分别与 O 相切于 E， F， G 三点，过点D 作 O 的切线 BC 于点 M，切点为 N，则 DM的长为 ( ) A.133B.92C.4 133D.2 5 解析：切线的性质，矩形的性质 . 连接 OE， OF， ON， OG， 在矩形 ABCD 中， A= B=90， CD=AB=4， AD， AB， BC 分
6、别与 O 相切于 E， F， G 三点， AEO= AFO= OFB= BGO=90， 四边形 AFOE， FBGO 是正方形， AF=BF=AE=BG=2， DE=3， DM 是 O 的切线， DN=DE=3， MN=MG， CM=5-2-MN=3-MN， 在 Rt DMC 中， DM2=CD2+CM2， (3+NM)2=(3-NM)2+42， NM=43， DM=3+43=133， 答案： A. 二、填空题 (本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分 ) 7. 4 的平方根是 ； 4 的算术平方根是 . 解析：如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，
7、4 的平方根是 2； 4 的算术平方根是 2. 答案： 2； 2. 8. 若式子 1x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 . 解析：考擦二次根式有意义的条件 .根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式： x+1 0，解得 x -1. 答案： x -1. 9. 计算 5 153 的结果是 . 解析：考核二次根式的乘除法 .利用二次根式的性质化简： 5 153 = 55 =5. 答案： 5. 10. 分解因式 (a-b)(a-4b)+ab 的结果是 . 解析：考查 因式分解 ， 首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可 ： (a-b)(a-4b)+ab=a
8、2-5ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2. 答案 ： (a-2b)2. 11. 不等式组 2 1 12 1 3xx的解集是 . 解析：考查解一元一次不等式组： 2 1 12 1 3xx ， 解不等式得： x -1， 解不等式得： x 1， 所以不等式组的解集是 -1 x 1. 答案： -1 x 1. 12. 已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ， m 的值是 . 解析：考查根与系数的关系，一元二次方程的解 . 设方程的另一个解是 a，则 1+a=-m， 1 a=3， 解得： m=-4， a=3. 答案： 3， -4. 13. 在平面直角坐标系中
9、，点 A 的坐标是 (2， -3)，作点 A 关于 x 轴的对称点，得到点 A，再作点 A关于 y 轴的对称点，得到点 A，则点 A的坐标是 ( ， ). 解析：考查关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标 . 点 A 的坐标是 (2， -3)，作点 A 关于 x 轴的对称点，得到点 A， A的 坐标为： (2， 3)， 点 A关于 y 轴的对称点，得到点 A， 点 A的坐标是： (-2， 3). 答案： -2； 3. 14. 某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工、瓦工各 1 名，与调整前相比，该工程队员工月工资的
10、方差 (填“变小”、“不变”或“变大” ). 解析：利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大 . 减少木工 2 名，增加电工、瓦工各 1 名， 这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大 . 答案：变大 . 15. 如图，在 O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD=35，则 B+ E= . 解析：考查 圆内接四边形的性质 .连接 CE，根据圆内接四边形对角互补可得 B+ AEC=180，再根据同弧所对的圆周角相等可得 CED= CAD，然后求解即可 . 如图，连接 CE， 五边形 ABCDE 是圆内接五边形， 四边
11、形 ABCE 是圆内接四边形， B+ AEC=180， CED= CAD=35， B+ E=180 +35 =215 . 答案 ： 215. 16. 如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1， y2的图象在第一象限内分别交于点 A， B，且 A为 OB 的中点，若函数 y1=1x，则 y2与 x的函数表达式是 . 解析：考查反比例函数与一次函数的交点问题 . 过 A 作 AC x 轴于 C，过 B 作 BD x 轴于 D， 点 A 在反比例函数 y1=1x上， 设 A(a， 1a)， OC=a， AC=1a， AC x 轴， BD x 轴， AC BD， OAC OBD， A C O C O
12、 AB D O D O B ， A 为 OB 的中点， 12A C O C O AB D O D O B ， BD=2AC=2a， OD=2OC=2a， B(2a， 2a)， 设 y2=kx， k=2a 2a=4， y2与 x 的函数表达式是： y2=4x. 答案： y2=4x. 三、解答题 (本大题共 11 小题，共 88 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. 解不等式 2(x+1)-1 3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解析：考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集 .不等式去括号、移项合并、系数化为 1 即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解
13、集即可 . 答案： 去括号，得 2x+2-1 3x+2， 移项，得 2x-3x 2-2+1， 合并同类项，得 -x 1， 系数化为 1，得 x -1， 这个不等式的解集在数轴上表示为： 18. 解方程： 233xx. 解析：考查解分式方程 .观察可得最简公分母是 x(x-3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 . 答案 ：方程两边同乘以 x(x-3)，得 2x=3(x-3). 解这个方程，得 x=9. 检验：将 x=9 代入 x(x-3)知， x(x-3) 0. 所以 x=9 是原方程的根 . 19. 计算：2 2 221 aa b a a b a b （ ）. 解析：考
14、查分式的混合运算 .首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可 . 答案：2 2 221 aa b a a b a b （ ） 21 aba b a b a a b a 2 a a b a ba a b a b a a b a b a 2 a a b aba a b a b a 21a . 20. 如图， ABC 中， CD 是边 AB 上的高，且 AD CDCD BD. (1)求证： ACD CBD. 解析： 考查相似三角形的判定 .由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明 ACD CBD. 答案： CD 是边 AB 上的高， ADC= CDB=90， AD CDCD
15、 BD. ACD CBD. (2)求 ACB 的大小 . 解析： 考查相似三角形的性质 .由 (1)知 ACD CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得： A= BCD，然后由 A+ ACD=90，可得： BCD+ ACD=90，即 ACB=90 . 答案： ACD CBD， A= BCD， 在 ACD 中， ADC=90， A+ ACD=90， BCD+ ACD=90， 即 ACB=90 . 21. 为了了解 2014 年某地区 10 万名大、中、小学生 50 米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了 10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合 2010 年抽样结果，得到下列统计图
16、： (1)本次检测抽取了大、中、小学生共 名，其中小学生 名 解析： 根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了 10%的学生进行检测”，可得 10000010%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占 45%，即可解答 . 答案： 100000 10%=10000(名 )， 10000 45% 4500(名 ). 故答案为： 10000， 4500. (2)根据抽样的结果，估计 2014 年该地区 10 万名大、中、小学生中， 50 米跑成绩合格的中学生人数为 名； 解析： 先计算出样本中 50 米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以 10 万，即可解答 .
17、 答案： 100000 40% 90%=36000(名 ). 故答案为： 36000. (3)比较 2010 年与 2014 年抽样学生 50 米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论 . 解析： 根据条形图，写出一条即可，答案不唯一 . 答案： 例如：与 2010 年相比， 2014 年该地区大学生 50 米跑成绩合格率下降了 5%(答案不唯一 ). 22. 某人的钱包内有 10 元、 20 元和 50 元的纸币各 1 张，从中随机取出 2 张纸币 . (1)求取出纸币的总额是 30 元的概率 . 解析： 先列表展示所有 3 种等可能的结果数，再找出总额是 30 元所占结果数，然后根据概率公式
18、计算 . 答案： 列表： 共有 3 种等可能的结果数，其中总额是 30 元占 1 种， 所以取出纸币的总额是 30 元的概率 = 13. (2)求取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率 . 解析： 找出总额超过 51 元的结果数，然后根据概率公式计算 . 答案： 共有 3 种等可能的结果数，其中总额超过 51 元的有 2 种， 所以取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率为 23. 23. 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得CAO=45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h 和
19、36km/h，经过 0.1h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得 DBO=58，此时 B 处距离码头 O 多远？ (参考数据： sin58 0.85， cos58 0.53， tan58 1.60) 解析：考查解直角三角形的应用 . 设 B 处距离码头 xkm，分别在 Rt CAO 和 Rt DBO 中，根据三角函数求得 CO 和 DO，再利用DC=DO-CO，得出 x 的值即可 . 答案：设 B 处距离码头 xkm， 在 Rt CAO 中， CAO=45， tan CAO= COAO， CO=AO tan CAO=(45 0.1+x) tan45 =4.5+x， 在 Rt DB
20、O 中， DBO=58， tan DBO= DOBO， DO=BO tan DBO=x tan58， DC=DO-CO， 36 0.1=x tan58 -(4.5+x)， 3 6 0 . 1 4 . 5 3 6 0 . 1 4 . 5 1 3 . 55 8 1 1 . 6 0 1x t a n . 因此， B 处距离码头 O 大约 13.5km. 24. 如图， AB CD，点 E， F 分别在 AB， CD 上，连接 EF， AEF、 CFE 的平分线交于点 G， BEF、 DFE 的平分线交于点 H. (1)求证：四边形 EGFH 是矩形 . 解析： 利用角平分线的定义结合平行线的性质得出
21、 FEH+ EFH=90，进而得出 GEH=90，进而求出四边形 EGFH 是矩形 . 答案： 证明： EH 平分 BEF， FEH= 12 BEF， FH 平分 DFE， EFH= 12 DFE， AB CD， BEF+ DFE=180， FEH+ EFH= 12( BEF+ DFE)= 12 180 =90， FEH+ EFH+ EHF=180， EHF=180 -( FEH+ EFH)=180 -90 =90， 同理可得： EGF=90， EG 平分 AEF， GEF= 12 AEF， EH 平分 BEF， FEH= 12 BEF， 点 A、 E、 B 在同一条直线上， AEB=180，
22、 即 AEF+ BEF=180， FEG+ FEH= 12( AEF+ BEF)= 12 180 =90， 即 GEH=90， 四边形 EGFH 是矩形 . (2)小明在完成 (1)的证明后继续进行了探索，过 G作 MN EF，分别交 AB， CD 于点 M， N，过H 作 PQ EF，分别交 AB， CD 于点 P， Q，得到四边形 MNQP，此时，他猜想四边形 MNQP 是菱形，请在下列框中补全他的证明思路 . 解析： 利用菱形的判定方法首先得出要证 MNQP 是菱形，只要证 MN=NQ，再证 MGE= QFH得出即可 . 答案： 解：答案不唯一： 由 AB CD， MN EF， PQ E
23、F，易证四边形 MNQP 是平行四边形， 要证 MNQP 是菱形，只要证 MN=NQ，由已知条件： FG 平分 CFE， MN EF， 故只要证 GM=FQ，即证 MGE QFH，易证 GE=FH、 GME= FQH. 故只要证 MGE= QFH，易证 MGE= GEF， QFH= EFH， GEF= EFH，即可得证 . 25. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边 上，且含边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形 .(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3) 解析：考查应用与设计作图，等腰三角形
24、的判定，勾股定理；正方形的性质 . A 为圆心，以 3 为半径作弧，交 AD、 AB 两点，连接即可； 连接 AC，在 AC 上，以 A 为端点，截取 1.5 个单位，过这个点作 AC 的垂线，交 AD、 AB 两点，连接即可； 以 A 为端点在 AB 上截取 3 个单位，以截取的点为圆心，以 3 个单位为半径画弧，交 BC一个点，连接即可； 连接 AC，在 AC 上，以 C 为端点，截取 1.5 个单位，过这个点作 AC 的垂线，交 BC、 DC 两点，然后连接 A 与这两个点即可； 以 A 为端点在 AB 上截取 3 个单位，再作着个线段的垂直平分线交 CD一点，连接即可 . 答案 ：满足
25、条件的所有图形如图所示： 26.如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE. (1)求证： A= AEB. 解析： 根据圆内接四边形的性质可得 A+ BCD=180，根据邻补角互补可得 DCE+BCD=180，进而得到 A= DCE，然后 利用等边对等角可得 DCE= AEB，进而可得 A=AEB. 答案： 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， A+ BCD=180， DCE+ BCD=180， A= DCE， DC=DE， DCE= AEB， A= AEB. (2)连接 OE，交 CD 于点 F， OE CD，求证： ABE
26、 是等边三角形 . (2)首先证明 DCE 是等边三角形，进而可得 AEB=60，再根据 A= AEB，可得 ABE 是等腰三角形，进而可得 ABE 是等边三角形 . 答案： A= AEB， ABE 是等腰三角形， EO CD， CF=DF， EO 是 CD 的垂直平分线， ED=EC， DC=DE， DC=DE=EC， DCE 是等边三角形， AEB=60， ABE 是等边三角形 . 27. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1(单位：元 )、销售价 y2(单位：元 )与产量 x(单位： kg)之间的函数关系 .
27、 (1)请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义 . 解析： 点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元 . 答案： 点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元 . (2)求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式 . 解析： 根据线段 AB 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可 . 答案： 设线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数关系式为 y=k1x+b1， y=k1x+b1的图象过点 (0， 60)与 (90， 42
28、)， 1116090 42bkb 110.260kb， 这个一次函数的表达式为； y=-0.2x+60(0 x 90). (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解析： 利用总利润 =单位利润产量列出有关 x 的二次函数，求得最值即可 . 答案： 设 y2与 x 之间的函数关系式为 y=k2x+b2， 经过点 (0， 120)与 (130， 42)， 2221201 3 0 4 2bkb， 解得： 220.6120kb， 这个一次函数的表达式为 y2=-0.6x+120(0 x 130)， 设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元， 当 0 x 90 时， W=x(-0.6x+120)-(-0.2x+60)=-0.4(x-75)2+2250， 当 x=75 时， W 的值最大，最大值为 2250； 当 90 x 130 时， W=x(-0.6x+120)-42=-0.6(x-65)2+2535， 由 -0.6 0 知，当 x 65 时， W 随 x 的增大而减小， 90 x 130 时， W 2160， 当 x=90 时， W=-0.6(90-65)2+2535=2160， 因此当该产品产量为 75kg 时，获得的利润最大，最大值为 2250.
