1、工程硕士（GCT）数学-试卷 9 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x 的平均数为 3，那么 x 等于( )（分数：2.00）A.3B.4C.5D.63.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1=( )（分数：2.00）A.2 128 -1B.2 128C.2 128 +1D.2 128 +24.若实数 a,b 满足|a+b|a-b|，则( )（分数：2.00）A.ab0B
2、.b0aC.0baD.ab05.从甲地到乙地，水路比公路近 40km上午 10 点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午 1 点，一辆汽车从甲地开往乙地，最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h，轮船速度是汽车的 （分数：2.00）A.260kmB.280kmC.300kmD.320km6.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ，若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.7.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获
3、胜的概率都是 ，那么甲队以 3:1 获胜的概率是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.若 x 3 +p 2 x 2 +2px+1 被 x+1 整除，则 p 的值是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.0 或 29.下列函数中，既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知数列ln(a n -1)是等差数列，且 a 1 =3，a 2 =5，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11. （分数：2.00）A.B.C.D.12. （分数：2.00）A.B.C.D.13.在坐标平面内，与点 A(-1,2)距离为 ，且与点 B(4,-3)
4、距离为 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条14.13. （分数：2.00）A.B.C.D.15.如题 14 图所示，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点，OA=2，AB 是圆 O 的切线，B 是切点，弦 BCOA，连接AC则阴影部分的面积等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.16.平面中 4 个点 P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 ，在某个球面上，且 P 1 P 2 =P 2 P 3 =P 3 P 4 =P 4 P 1 =3，已知球心到该平面的距离是该球半径的一半，则该球的体积是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)在 x=0 处可导
5、， （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.218. （分数：2.00）A.B.C.D.19.对任意实数 x，恒有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.321.在下列定积分中，积分值等于零的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.22.如下图所示，连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx 的图形，在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ，高为 ，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.23.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.-6B.-4C.4D.824.设 1 =(1,2,-1,2) T ， 2 =(2,
6、0,0) T ， 3 =(1,-2,4,) T ，则 3 是向量组 1 2 3 线性无关的( )（分数：2.00）A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件25.三元线性方程组 Ax=6 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2，且 x 1 =(4,1,-2) T ，x 2 =(2,2,-1) T ，x 3 =(0,3,a) T 均为 Ax=b 的解向量，则 A=( )（分数：2.00）A.-1B.0C.1D.226.设 A 是三阶不可逆矩阵，, 是线性无关的两个三维列向量，且满足 A=，A=，则 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.工程硕士（GCT）数学-
7、试卷 9 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x 的平均数为 3，那么 x 等于( )（分数：2.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析：由3.计算(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)+1=( )（分数：2.00）A.2 128 -1B.2 128 C.2 128 +1D.2 128 +2解析：解析：(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 2
8、-1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 64 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 64 +1)=2 128 -1。 可得 (2+1)(2 2 +1)(2 64 +1)=2 128 -1， (2+1)(2 2 +1)(2 64 1)+1=2 128 故应选 B4.若实数 a,b 满足|a+b|a-b|，则( )（分数：2.00）A.ab0B.b0aC.0baD.ab0 解析：解析：由|a+b|a-b|，可知(a+b) 2 (a-b) 2 ， a 2 +2ab+b 2 a 2 -2ab+b 2 ，即 ab0 故应选 D5.从甲地到乙地，水路比公路近 40km上午 10 点，一艘轮船从
9、甲地驶往乙地，下午 1 点，一辆汽车从甲地开往乙地，最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h，轮船速度是汽车的 （分数：2.00）A.260kmB.280km C.300kmD.320km解析：解析：设甲、乙两地的公路长是 x(km)，则水路长为 x-40(km)汽车以 40(km/h)的速度从甲地到乙地需用 依题意，可知6.如图，将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为 A 1 ,A 2 ,A 3 ，若摆放前 n(n2)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，后一个正方形
10、遮盖的线段长恰好是前一个正方形周长的 ，即其边长摆放前 n 个正方形纸片所遮盖的线段长度之和为7.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行，比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ，那么甲队以 3:1 获胜的概率是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：甲队以 3:1 获胜的情形是：共比 4 局，第 4 局甲队胜，且在前 3 局中甲队只输掉第 1 局、第 2 局或第 3 局 第 4 局甲胜，前 3 局中甲输掉任一局的概率是 因而所求概率8.若 x 3 +p 2 x 2 +2px+1 被 x+1 整除，则 p 的值是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.0 或
11、2 解析：解析：设 f(x)=x 3 +p 2 x 2 +2px+1，它能被 x+1 整除，即 f(x)含有因子 x+1，f(x)=(x+1)(x 2 +bx+c)由 f(-1)=0 得-1+p 2 -2p+1=0，即 p 2 -2p=0，解出 p=0 或 p=2，故选 D9.下列函数中，既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：先考查奇函数的条件，熟知 A 项为奇函数，B 项非奇非偶函数，而 C 项为偶函数最后看 D项： 所以为奇函数的有 A 项和 D 项10.已知数列ln(a n -1)是等差数列，且 a 1 =3，a 2 =5，则 ( )
12、 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：数列的公差 d=ln(a 2 -1)-ln(a 1 -1)=ln4-ln2=ln2 数列的通项 ln(a n -1)=ln(a 2 -1)+(n-1)d =ln2+(n-1)ln2=nln2 所以有 a 2 =1+2 2 ， a n+1 -a n =2 n+1 +1-(2 n +1)=2 n ， 11. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：把原式改写就可以用平均值定理：12. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用三角函数诱导公式及倍角公式得13.在坐标平面内，与点 A(-1,2)距离为 ，且与点 B(4,-3)距离为
13、 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D.4 条解析：解析：14.13. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：15.如题 14 图所示，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点，OA=2，AB 是圆 O 的切线，B 是切点，弦 BCOA，连接AC则阴影部分的面积等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：16.平面中 4 个点 P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 ，在某个球面上，且 P 1 P 2 =P 2 P 3 =P 3 P 4 =P 4 P 1 =3，已知球心到该平面的距离是该球半径的一半，则该球的体积是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
14、 解析：解析：由题意可知平面截球面截线为一圆，点几，P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 在此圆上，由题意，故四边形 P 1 P 2 P 3 P 4 为该圆的内接正方形设其中心点为 C(如题 15 图所示)，由球心 O 引该平面的垂线，它与该平面的交点必为正方形的中心 C 点即|OC|为球心到该平面的距离 17.设 f(x)在 x=0 处可导， （分数：2.00）A.-1 B.0C.1D.2解析：解析：因 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，因此18. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因 f(x)在 x0 处是连续函数，只需考虑在 x=0 处的情形19
15、.对任意实数 x，恒有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：取 x=1 代入 A 和 D 中，分别得出错误结论 20.设 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：令 f(x)=xsup3(x-1)sup2=0，得 x=0 和 x=1f(x)在 x=0 两侧的符号改变，在 x=1 两侧符号没有改变，因此 x=0 是 f(x)的极值点但 x=1 不是 f(x)的极值点，故应选 B21.在下列定积分中，积分值等于零的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 故正确选项为 C 注 本题解答中运用了下面的性质： (1) 若 f(x)是连续函数，则22.
16、如下图所示，连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx 的图形，在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ，高为 ，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：23.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.-6B.-4C.4 D.8解析：解析：此题是通过矩阵运算和行列式乘法公式求解由题意 BA=B+2E3 得到 BA-B=2E3，提取 B，得B(A-E)=2E两边取行列式：24.设 1 =(1,2,-1,2) T ， 2 =(2,0,0) T ， 3 =(1,-2,4,) T ，则 3 是向量组 1 2 3 线性无关的( )（分数：2.00）A.充分而非必要条件
17、B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：此题是判断带有参数的三个向量的线性无关性只要 r( 1 , 2 , 3 )=3，即有 1 , 2 , 3 线性无关为避免带参数的矩阵消阶梯形求秩，根据题意先设 a3，如可取 a=1(特殊值)，则有 25.三元线性方程组 Ax=6 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2，且 x 1 =(4,1,-2) T ，x 2 =(2,2,-1) T ，x 3 =(0,3,a) T 均为 Ax=b 的解向量，则 A=( )（分数：2.00）A.-1B.0 C.1D.2解析：解析：由已知条件 x 1 ,x 2 ,x 3 均为非齐次线性方程组
18、Ax=b 的解，故 x 1 -x 2 ,x 2 -x 3 为Ax=b 对应的齐次方程组 Ax=0 的解又已知 r(A)=2，故三元方程组 Ax=0 的基础解系只包括 n-r(A)=3-2=1个解向量故 x 1 -x 2 与 x 1 -x 3 是线性相关的它们的对应分量应成比例从而能确定系数 a： 由 x 1 -x 2 =(2,-1,-1)T, x 2 -x 3 =(2,-1,-1-a)T， 得 26.设 A 是三阶不可逆矩阵，, 是线性无关的两个三维列向量，且满足 A=，A=，则 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由已知得 A=， A= 由+得 A+A=+，即 A(+)=1?(+)又已知 , 线性无关，故 +0 所以 1 =1 是 A 的一个特征值 由-得 A-A=-，即 A(-)=-1?(-)同理 -0，所以 2 =-1 是 A 的第 2 个特征值 又已知 A是不可逆矩阵，故|A|=0，则 3 =0 是 A 的第 3 个特征值 由于三阶矩阵具有 3 个不同的特征值 1 =1, 2 =-1, 3 =0，故 A 可对角化，且
