1、工程硕士（GCT）数学-试卷 40 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.1. （分数：2.00）A.0B.nC.-nD.2n3.已知关于 x 的一元二次方程 8x 2 +(m+1)x+m-7=0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是( )。（分数：2.00）A.m7B.m7C.m1D.m14.一元二次方程 x 2 -x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.5. （分数：2.00）A.(-,-5)1,
2、3B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)6.若 x=a 2 -bc，y=b 2 -ac，z=c 2 -ab,a,b,c 是不完全相等的任意实数，则 x,y,z ( )。（分数：2.00）A.至少有一个大于 0B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 07.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。（分数：2.00）A.0.7265B.0.24768C.0.2735D.0.74258. （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列函数中，存在反函数的是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.
3、10.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.11.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.12.光线经过点 P(2,3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3,-2)，反射线所在直线的方程是( )。（分数：2.00）A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0C.5x+y-13=0D.7x+5y+13=013.设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (1) (a.b)c-(c.a)b=0 (2
4、) |a|-|b|a-b| (3) (b.c)a-(c.a)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，是真命题的有( )。（分数：2.00）A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4)14.等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y=0，底边所在直线 l2 的方程是 x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，则这腰所在直线 l3 的方程为( )。（分数：2.00）A.2x-y+4=0B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=015.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一
5、条对角线的长度为 ( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16. （分数：2.00）A.B.C.D.17.其中 a，b 为常数，则 a,b 为( )。 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1D.a=-1，b=-118.17.设函数 f(x)在 x=2 点处连续， 处切线的斜率为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.19. （分数：2.00）A.B.C.D.20.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：2.00）A.1B.-1C.2D.-221.设 A 为 4 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A 1 ,A 2
6、 ,A 3 ,A 4 )，其中 A j (j=1,2,3,4)是 A 的第 j 列，则|-A 2 ,-A 1 ,-A 4 ,-A 3 |=( )。（分数：2.00）A.-2B.2C.1D.022. （分数：2.00）A.m=5，n=4B.m=5，n=5C.m=4，n=5D.m=4，n=423. （分数：2.00）A.-6B.-9C.-18D.1824.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A -1 BA=6A+BA， 则 B=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.25.A 为 Mn 矩阵，且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是( )。（分数：2.00）A.Ax=
7、b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解26.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-1 且|B|=0B.=-1 且|B|0C.=3 且，|B|=0D.=3 且|B|0工程硕士（GCT）数学-试卷 40 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.1. （分数：2.00）A.0 B.nC.-nD.2n解析：解析：3.已知关于 x 的一元二次方程 8x 2 +(m+1)x+m-7=0 有两个负数
8、根，那么实数 m 的取值范围是( )。（分数：2.00）A.m7 B.m7C.m1D.m1解析：解析：设方程的两根为 x 1 和 x 2 ， 4.一元二次方程 x 2 -x-3=0 的两个根的倒数和等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设方程的两根为 x 1 ,x 2 ， 5. （分数：2.00）A.(-,-5)1,3 B.(-,-5)(1,3)C.(-5,3)D.(-,8)解析：解析：直接对不等式求解显然很麻烦，我们用“根排序法”会很轻松。对原不等式作同解变形 6.若 x=a 2 -bc，y=b 2 -ac，z=c 2 -ab,a,b,c 是不完全相等的任意实数，则
9、x,y,z ( )。（分数：2.00）A.至少有一个大于 0 B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 0解析：解析：解法一： 因为 a，b，c 不全相等，所以有7.一批产品共有 100 件，其中 90 件是合格品，10 件是次品，从这批产品中任取 3 件，求其中有次品的概率为( )。（分数：2.00）A.0.7265B.0.24768C.0.2735 D.0.7425解析：解析：设 A=有次品，A i =有 i 件次品，i=1，2，3，故 A=A 1 A 2 A 3 ，并且 A 1 、A 2 、A 3 ，是两两互斥的，由概率的古典定义有 8. （分数：2.00）A.B. C.D.解析
10、：解析：不等式左边分母从 n+1 连续变化到 2n，共有 n 项，n=k 时，分母从 k+1 变化到 2k；n=k+1 时，分母从 k+2 变化到 2k+2，即前面减少一项，后面增加两项，故正确答案为 B。9.下列函数中，存在反函数的是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：10.函数 f(x)=sin(x+)cos(x+)(0)以 2 为最小正周期，且在 x=2 处取得最大值，则 的一个值是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：11.复数 z=1+cos+i sin(2)的模为( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：12.光线经过点 P
11、(2,3)射在直线 x+y+1=0 上，反射后经过点 Q(3,-2)，反射线所在直线的方程是( )。（分数：2.00）A.7x-y-11=0B.x-7y-17=0 C.5x+y-13=0D.7x+5y+13=0解析：解析：因入射角等于反射角，所以入射线所在直线与反射线所在直线关于直线 x+y+1=0 对称，P 关于 x+y+1=0 的对称点 P“在反射线所在直线上，容易求得 P“(-4,-3)。反射线所在直线过点 P“(-4,-3)和Q(3,-2)，其方程为 x-7y-17=0。 故正确答案为 B。13.设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题 (1) (a.b)c-(c
12、.a)b=0 (2) |a|-|b|a-b| (3) (b.c)a-(c.a)b 不与 c 垂直 (4) (3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，是真命题的有( )。（分数：2.00）A.(1),(2)B.(2),(3)C.(3),(4)D.(2),(4) 解析：解析：(1) 中左边是 c-b 的形式，因为 c 和 b 不共线，不会是零向量。(2) 中 a,b 不共线，|a|,|b|,|a-b|刮可组成三角形的 3 条边，不等式成立。(3) 中式子与向量 c 的内积为零，它们是相互垂直的向量。(4) 中由向量内积运算，知其成立，故正确答案为 D。14.等腰三角形一腰所在的直
13、线 l1 的方程是 x-2y=0，底边所在直线 l2 的方程是 x+y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，则这腰所在直线 l3 的方程为( )。（分数：2.00）A.2x-y+4=0 B.2x+2y=0C.2x+y+4=0D.2x-2y+4=0解析：解析：15.长方体的全面积为 11，12 条棱长度之和为 24，则该长方体的一条对角线的长度为 ( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设长方体的棱长为 a、b、c，则 4(a+b+c)=24，2(ab+bc+ac)=11。 故16. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：17.其中 a，b 为常数，则 a,b 为( )
14、。 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=1C.a=1，b=-1 D.a=-1，b=-1解析：解析：由已知条件有18.17.设函数 f(x)在 x=2 点处连续， 处切线的斜率为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：将极限等式变形为19. （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：20.设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 （分数：2.00）A.1B.-1 C.2D.-2解析：解析：21.设 A 为 4 阶矩阵，且|A|=2，把 A 按列分块为 A=(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 )，其中 A j (j=1,2,3,4)是 A
15、 的第 j 列，则|-A 2 ,-A 1 ,-A 4 ,-A 3 |=( )。（分数：2.00）A.-2B.2 C.1D.0解析：解析：利用行列式的性质有 |-A 2 ,-A 1 ,-A 4 ,-A 3 |=(-1)4|A 2 ,A 1 ,A 4 ,A 3 | =|A 2 ,A 1 ,A 4 ,A 3 |=-|A 1 ,A 2 ,A 4 ,A 3 | =|A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 |=|A|=2 故正确答案为 B。22. （分数：2.00）A.m=5，n=4B.m=5，n=5C.m=4，n=5D.m=4，n=4 解析：解析：P 2 =P.P=E，因此当 m，n 均为偶数时，P m
16、AP n =E.A.E=A，故正确答案为 D。23. （分数：2.00）A.-6B.-9C.-18 D.18解析：解析：根据行列式的性质，有24.设 A，B 为 3 阶矩阵，且满足方程 A -1 BA=6A+BA， 则 B=( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对于矩阵方程应先化简，不要急于带入已知数据，由于 A 可逆，用 A -1 右乘方程的两端，有 A -1 B=6E+B。进而得 25.A 为 Mn 矩阵，且 mn,Ax=0 是 Ax=b 的导出组，则下述结论正确的是( )。（分数：2.00）A.Ax=b 必有无穷多组解B.Ax=0 必有无穷多组解 C.Ax=0 只有零解D.Ax=b 必无解解析：解析：由 mn 可得 Ax=0 中方程个数小于未知量个数(即 r(A)n)，所以 Ax=0 存在非零解，从而Ax=0 必有无穷多组解。 Ax=b 有解26.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=-1 且|B|=0 B.=-1 且|B|0C.=3 且，|B|=0D.=3 且|B|0解析：解析：
