1、工程硕士（GCT）数学-试卷 18 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.B.C.D.3.指数方程组 （分数：2.00）A.有一组B.有两组C.有无穷多组D.不存在4.如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 -6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：2.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0D.k15.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f
2、(xy)=f(x).f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：2.00）A.x 2B.2xC.sinxD.lgx6.在由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：2.00）A.0B.1C.-1D.18.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a，b，则 b 2 +4a 的值为( )。（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设a n 是正数数列，其前 n，项的和为 S n ，且
3、满足：对一切 nZ + ，a n 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项，则a n 的通项公式为( )。（分数：2.00）A.a n =n 2 +nB.a n =n 2 -nC.a n =3n-1D.a n =4n-210.则 n 的最小值为( )。 （分数：2.00）A.7B.8C.9D.1011. （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.13.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y
4、2 -ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：2.00）A.相交B.相切C.相离D.视 a,b 的值而定15.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数B.当 f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数17. （分数：2.00）A.B.C.D.18. （
5、分数：2.00）A.B.C.D.19. （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 f(x)在0,2上连续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：2.00）A.1B.0C.-1D.A、B、C 都不正确22.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：2.00）A.5B.4C.50D.4023.，则以下结论不正确的是
6、( )。 （分数：2.00）A.k=-1 时，r(A)=1B.k=3 时，r(A)=3C.k-1 且 k3 时，r(A)=4D.以上答案均不正确24.有无穷多解，则 a=( )。 （分数：2.00）A.2B.1C.-2D.1 或-225.向量组 a 1 =(1,-1,2,4) T ，a 2 =(0,3,1,2) T ，a 3 =(3,0,7,14) T ，a 4 =(1,-2,2,0) T ， a 5 =(2,1,5,10) T 的极大线性无关组不能是( )。（分数：2.00）A.a 1 ,a 2 ,a 4B.a 2 ,a 3 ,a 4C.a 1 ,a 4 ,a 5D.a 1 ,a 3 ,a
7、526.设 A 为三阶方阵，有特征值 1 =1， 2 =-1， 3 =-2，其对应特征向量分别为 1 、 2 、 3 ，记 P=(2 2 ,-3 3 ,4 1 )，则 P -1 AP 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.工程硕士（GCT）数学-试卷 18 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：3.指数方程组 （分数：2.00）A.有一组 B.有两组C.有无穷多组D.不存在解析
8、：解析：两个方程分别取对数，得4.如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 -6x+9=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )。（分数：2.00）A.k1B.k0C.k1 且 k0 D.k1解析：解析：因为方程是一元二次方程，所以 k0，又因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足故由题意，得5.给出三个等式：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x)+f(y)；f(xy)=f(x).f(y)。则下列函数中不满足其中任何一个等式的函数是( )。（分数：2.00）A.x 2B.2xC.sinx D.lgx解析：解析：比较这四个答案，观察验证即可得出 C 为正确答案。6.在
9、由 1、2、3、4、5 构成的各位数字不同的三位数中，任取一个恰是偶数的概率为 ( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意，由 1、2、3、4、5 构成各位数字不同的三位数共有 543=60 个，其中为偶数的只能是第三位取 2 和 4，它们分别都有 43 个，故总数共有 243=24 个，所以任取一个是偶数的概率为7.已知 sin+sin=1，cos+cos=0，那么 cos2+cos2 等于( )。（分数：2.00）A.0B.1 C.-1D.1解析：解析：由已知有 ，平方相加得 1=2-2sin,得8.若函数 y=1-2cosx-2sin 2 x 的值域为a，b，则
10、b 2 +4a 的值为( )。（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：9.设a n 是正数数列，其前 n，项的和为 S n ，且满足：对一切 nZ + ，a n 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项，则a n 的通项公式为( )。（分数：2.00）A.a n =n 2 +nB.a n =n 2 -nC.a n =3n-1D.a n =4n-2 解析：解析：此题可用数学归纳法来证明 D 成立。 当 n=1 时，a 1 =2。设 n=k 时有 a k =4k-2，代入 ，解得 S k =2k 2 ， S k+1 =2k2+a k+1 ，对 n=k+1，由 10.则 n
11、 的最小值为( )。 （分数：2.00）A.7 B.8C.9D.10解析：解析：11. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：12.已知 是第三象限的角，且有 则 sin2=( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：13.半球内有一内接正方体，则该半球的全面积与正方体的全面积之比为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设正方体棱长为 x，球半径为 R，则14.直线 ax-by=0 与圆 x 2 +y 2 -ax+by=0(a,b0)的位置关系是( )。（分数：2.00）A.相交B.相切 C.相离D.视 a,b 的值而定解析：解析：圆方程为 为半径的
12、圆，圆心到直线的距离为15.圆锥的侧面展开图是一个半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则它的体积是 ( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：16.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则下列各项中正确的是( )。（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数 B.当 f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)为单调增函数时，F(x)必为单调增函数解析：解析：17. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：18. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：f(x)
13、在不是分段点处是初等函数，因此，只需讨论在分段点 x=1 处的情形，要使 f(x)在 x=1处可导，必须使 f(x)在 x=1 处连续，即19. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：20.设 f(x)在0,2上连续，且 f(x)+f(2-x)0， ( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：作变量替换，令 t=2-x，dt=-dx。21.设 f(x)在0,2上连续，并且对任意的 x0,1都有 f(1-x)=-f(1+x)，则 （分数：2.00）A.1B.0 C.-1D.A、B、C 都不正确解析：解析： 又因为 f(1-sin(-t)=f(1+sint)=-f(1-si
14、nt)，上式最后一步利用了题设条件 f(1-x)=-f(1+x)。所以 f(1-sint)是奇函数，奇函数在对称区间上的积分为零，即。22.设 4 阶矩阵 A=(,r2,r3,r4)，B=(,r2,r3,r4)，其中 ,r2,r3,r4 均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。（分数：2.00）A.5B.4C.50D.40 解析：解析：|A+B|=|+,2r 2 ,2r 3 ,2r 4 |=8|+,r 2 ,r 3 ,r 4 | =8|,r 2 ,r 3 ,r 4 |+|,r 2 ,r 3 ,r 4 |=84+1=40。23.，则以下结论不正确的是( )
15、。 （分数：2.00）A.k=-1 时，r(A)=1B.k=3 时，r(A)=3C.k-1 且 k3 时，r(A)=4D.以上答案均不正确 解析：解析： 故 k3 且 k-1 时，|A|0，r(A)=4，故 C 项正确。24.有无穷多解，则 a=( )。 （分数：2.00）A.2B.1C.-2 D.1 或-2解析：解析：化增广矩阵为阶梯形25.向量组 a 1 =(1,-1,2,4) T ，a 2 =(0,3,1,2) T ，a 3 =(3,0,7,14) T ，a 4 =(1,-2,2,0) T ， a 5 =(2,1,5,10) T 的极大线性无关组不能是( )。（分数：2.00）A.a 1 ,a 2 ,a 4B.a 2 ,a 3 ,a 4C.a 1 ,a 4 ,a 5D.a 1 ,a 3 ,a 5 解析：解析：对(a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 )作初等行变换，有 26.设 A 为三阶方阵，有特征值 1 =1， 2 =-1， 3 =-2，其对应特征向量分别为 1 、 2 、 3 ，记 P=(2 2 ,-3 3 ,4 1 )，则 P -1 AP 等于( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因 2 =2 2 ， 3 =-3 3 ， 1 ：412 仍为特性值 2 ， 3 ， 1 对应的特征向量，故
