1、 2015 年山东省聊城市 中考 真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36分 ) 1.(3 分 )-13的绝对值等于 ( ) A. -3 B. 3 C. -13D. 13解 析 ： -13的绝对值等于 13. 答案 ： D. 2.(3 分 )直线 a、 b、 c、 d 的位置如图所示，如果 1=58 ， 2=58 ， 3=70 ，那么 4等于 ( ) A. 58 B. 70 C. 110 D. 116 解 析 ： 1=2=58 ， ab ， 3+5=180 ， 即 5=180 -3=180 -70=110 ， 4=5=110 . 答案 ： C. 3.(3 分 )电视剧
2、铁血将军在我市拍摄，该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象 .某校为了了解学生对 “ 民族英雄范筑先 ” 的知晓情况，从全校 2400 名学生中随机抽取了 100 名学生进行调查 .在这次调查中，样本是 ( ) A. 2400 名学生 B. 100 名学生 C. 所抽取的 100 名学生对 “ 民族英雄范筑先 ” 的知晓情况 D. 每一名学生对 “ 民族英雄范筑先 ” 的知晓情况 解 析 ： 根据总体、样本的含义，可得在这次调查中， 总体是： 2400 名学生对 “ 民族英雄范筑先 ” 的知晓情况， 样本是：所抽取的 100 名学生对 “ 民族英雄范筑先 ” 的 知晓情况 . 答案 ： C. 4.
3、(3 分 )某几何体的三视图如图所示，这个几何体是 ( ) A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 解 析 ： 由主视图和左视图为三角形判断出是锥体， 由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥 . 答案 ： A. 5.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2+a3=a5 B. (-a3)2=a6 C. ab23a 2b=3a2b2 D. -2a6a 2=-2a3 解 析 ： A、 a2与 a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、 (-a3)2=a6，正确； C、应为 ab23a 2b=3a3b3，故本选项错误； D、应为 -2a6a 2=-2a4，故本选项错误 .
4、答案 ： B. 6.(3 分 )不等式 x-33x+1 的解集在数轴上表示如下，其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 不等式得： x -2，其数轴上表示为： 答案 ： B 7.(3 分 )下列命题中的真命题是 ( ) A. 两边和一角分别相等的两个三角形全等 B. 相似三角形的面积比等于相似比 C. 正方形不是中心对称图形 D. 圆内接四边形的对角互补 解 析 ： A、两边和一角分别相等的两个三角形全等，这个角不一定是已知两边的夹角，此选项错误； B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，此选项错误； C、正方形是中心对称图形，此选项错误； D、圆内接四边形的对角互补，此选项
5、正确 . 答案 ： D. 8.(3 分 )为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午 7： 0至 9： 00 来往车辆的车速 (单位：千米 /时 )，并绘制成如图所示的条形统计图 .这些车速的众数、中位数分别是 ( ) A. 众数是 80 千米 /时，中位数是 60 千米 /时 B. 众数是 70 千米 /时，中位数是 70 千米 /时 C. 众数是 60 千米 /时，中位数是 60 千米 /时 D. 众数是 70 千米 /时，中位数是 60 千米 /时 解 析 ： 70 千米 /时是出现次数最多的，故众数是 70 千米 /时， 这组数据从小到大的顺序排列，处于正中间位置的数是 6
6、0 千米 /时，故中位数是 60 千米 /时 . 答案 ： D. 9.(3分 )图 (1)是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图 (2)所示的位置依次翻到第 1格、第 2 格、第 3 格、第 4 格，这时小正方体朝上一面的字是 ( ) A. 梦 B. 水 C. 城 D. 美 解 析 ： 第一 次翻转梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻转城在下面， 城与梦相对 . 答案 ： A. 10.(3 分 )湖南路大桥于今年 5月 1 日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线 .某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔 AB 底部 50 米的 C 处，测得桥塔顶部
7、 A 的仰角为 41.5( 如图 ).已知测量仪器 CD 的高度为 1 米，则桥塔 AB 的高度约为( )(参考数据： sin41.50.663 ， cos41.50.749 ， tan41.50.885) A. 34 米 B. 38 米 C. 45 米 D. 50 米 解 析 ： 过 D 作 DEAB 于 E， DE=BC=50 米， 在 RtADE 中， AE=DEtan41 ， 5500.88=44( 米 )， CD=1 米， BE=1 米， AB=AE+BE=44+1=45( 米 )， 桥塔 AB 的高度为 45 米 . 答案： C 11.(3 分 )小亮家与姥姥家相距 24km，小亮
8、 8： 00 从家出发，骑自行车去姥姥家 .妈妈 8： 30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家 .在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程 S(km)与北京时间 t(时 )的函数图象如图所示 .根据图象得到小亮结论，其中错误的是 ( ) A. 小亮骑自行车的平均速度是 12km/h B. 妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家 C. 妈妈在距家 12km 处追上小亮 D. 9： 30 妈妈追上小亮 解 析 ： A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为 10-8=2 小时， 小亮骑自行车的平均速度为： 24 2=12(km/h)，故正确； B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间 t=9.5，小亮到姥
9、姥家对应的时间 t=10，10-9.5=0.5(小时 )， 妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家，故正确； C、由图象可知，当 t=9 时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为 9-8=1 小时， 小亮走的路程为： 112=12km ， 妈妈在距家 12km 出追上小亮，故正确； D、由图象可知，当 t=9 时，妈妈追上小亮，故错误 . 答案 ： D. 12.(3 分 )如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心 O，则阴影部分的面积是 O 面积的 ( ) A. 12B. 13 C. 23D. 35解 析 ： 作 ODAB 于点 D，连接 AO， BO，
10、CO， OD= 12AO OAD=30 ， AOB=2AOD=120 ， 同理 BOC=120 ， AOC=120 ， 阴影部分的面积 =S 扇形 AOC=13O 面积 . 答案 ： B. 二、填空题 (本题共 5 小题，每小题 3分，共 15分 ) 13.(3 分 )一元二次方程 x2-2x=0 的解是 _. 解 析 ： 原方程变形为： x(x-2)=0， x1=0， x2=2. 答案 ： x1=0， x2=2. 14.(3 分 )计算： ( 2 + 3 )2- 24 =_. 解 析 ： 原式 =2+2 6 +3-2 6 =5. 答案 ： 5. 15.(3 分 )如图，在 ABC 中， C=
11、90 ， A=30 ， BD 是 ABC 的平分线 .若 AB=6，则点 D到 AB 的距离是 _. 解 析 ： C=90 ， A=30 ， ABC=180 -30 -90=60 ， BD 是 ABC 的平分线， DBC= 12ABC=30 ， BC= 12AB=3， CD=BCtan30=3 33= 3 ， BD 是 ABC 的平分线， 又 角平线上点到角两边距离相等， 点 D 到 AB 的距离 =CD= 3 ， 答案 ： 3 . 16.(3 分 )二次函 数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，下列结论： 2a+b=0 ； a+c b； 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (3， 0
12、)； abc 0.其中正确的结论是 _(填写序号 ). 解 析 ： 抛物线的对称轴为直线 x=-2ba=1， 2a+b=0 ，所以 正确； x= -1 时， y 0， a -b+c 0， 即 a+c b，所以 错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为 (-2， 0) 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (4， 0)，所以 错误； 抛物线开口向上， a 0， b= -2a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0， abc 0，所以 正确 . 答案 ： . 17.(3分 )如图， ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把 ABC 分成 3个互不重叠的小三角形
13、；ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2，把 ABC 分成 5 个互不重叠的小三角形； ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2、 P3，把 ABC 分成 7 个互不重叠的小三角形； ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2、 P3、 、 Pn，把 ABC 分成 _个互不重叠的小三角形 . 解 析 ： 如图， ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数 =3+20 ， ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数 =3+21 ， ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2、 P3，把 ABC 分成
14、的互不重叠的小三角形的个数=3+22 ， 所以 ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、 P2、 P3、 、 Pn，把 ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数 =3+2(n-1). 答案 ： 2n+1. 三、解答题 (本题共 8 个小题，共 69 分 ) 18.(7 分 )解方程组 524xyxy. 解 析 ： 方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案 ： 524xyxy， + 得： 3x=9，即 x=3， 把 x=3 代入 得： y=-2， 则方程组的解为 32xy. 19.(8 分 )在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是
15、(-3， -1). (1)将 ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到 A 1B1C1，画出 A 1B1C1，并写出点 B1坐标； (2)画出 A 1B1C1关于 y 轴对称的 A 2B2C2，并写出点 C2的坐标 . 解 析 ： (1)直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案； (2)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案 . 答案 ： (1)如图所示： A 1B1C1，即为所求；点 B1坐标为： (-2， -1)； (2)如图所示： A 2B2C2，即为所求，点 C2的坐标为： (1， 1). 20.(8 分 )已知反比例函数 y= 5mx(m 为常数，且 m5).
16、(1)若在其图象的每个分支上， y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围； (2)若其图象与一次函数 y=-x+1 图象的一个交点的纵坐标是 3，求 m 的值 . 解 析 ： (1)由反比例函数 y=kx的性质：当 k 0 时，在其图象的每个分支上， y 随 x 的增大而增大，进而可得： m-5 0，从而求出 m 的取值范围； (2)先将交点的纵坐标 y=3 代入一次函数 y=-x+1 中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数 y= 5mx中，即可求出 m 的值 . 答案 ： (1) 在反比例函数 y= 5mx图象的每个分支上， y 随 x 的增大而增大， m -5 0， 解得：
17、 m 5； (2)将 y=3 代入 y=-x+1 中，得： x=-2， 反比例函数 y= 5mx图象与一次函数 y=-x+1 图象的交点坐标为： (-2， 3). 将 (-2， 3)代入 y= 5mx得： 3= 52m解得： m=-1. 21.(8 分 )如图，在 ABC 中， AB=BC， BD 平分 ABC. 四边形 ABED 是平行四边形， DE 交 BC于点 F，连接 CE. 求证：四边形 BECD 是矩形 . 解 析 ： 根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形 .结合等腰 ABC“ 三线合一 ” 的性质证得 BDAC ，即 BDC=90 ，所以由 “ 有一内角为直角的平行四
18、边形是矩形 ” 得到 BECD是矩形 . 答案 ： AB=BC ， BD 平分 ABC ， BDAC ， AD=CD. 四边形 ABED 是平行四边形， BEAD ， BE=AD， 四边形 BECD 是平行四边形 . BDAC ， BDC=90 ， BECD 是矩形 . 22.(8 分 )在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场 . (1)如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率； (2)如果确定小亮做裁判，用 “ 手心、手背 ” 的方法决定其余三人哪两人打第一场 .游戏规则是：三人同时伸
19、 “ 手心、手背 ” 中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出 “ 手心 ” 或 “ 手背 ” 都是随机的，请用画树状 图的方法求小莹和小芳打第一场的概率 . 解 析 ： (1)由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可； (2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸 “ 手心 ” 或 “ 手背 ” 恰好相同的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1) 确定小亮打第一场， 再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 13； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 8 种，其中小莹
20、和小芳伸 “ 手心 ” 或 “ 手背 ” 恰好相同且与大刚不同的结果有 2 个， 则小莹与小芳打第一场的概率为 2184. 23.(8 分 )在 “ 母亲节 ” 前夕，某花店用 16000 元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空 .根据市场需求情况，该花店又用 7500 元购进第二批礼盒鲜花 .已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的 12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少 10 元 .问第二批鲜花每盒的进价是多少元？ 解 析 ： 可设第 二批鲜花每盒的进价是 x 元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的 12，列出方程求解即可 . 答案 ： 设第二批鲜花每盒的进价是 x
21、元，依题意有 7 5 0 0 1 1 6 0 0 02 1 0xx ， 解得 x=150， 经检验： x=150 是原方程的解 . 故第二批鲜花每盒的进价是 150 元 . 24.(10 分 )如图，已知 AB 是 O 的直径，点 P 在 BA的延长线上， PD 切 O 于点 D，过点 B作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD并延长，交 BE于点 E. (1)求证： AB=BE； (2)若 PA=2， cosB=35，求 O 半径的长 . 解 析 ： (1)本题可连接 OD，由 PD 切 O 于点 D，得到 ODPD ，由于 BEPC ，得到 ODBE ，得出 ADO=
22、E ，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果； (2)由 (1)知， ODBE ，得到 POD=B ，根据三角函数的定义即可得到结果 . 答案 ： (1)证明：连接 OD， PD 切 O 于点 D， ODPD ， BEPC ， ODBE ， ADO=E ， OA=OD ， OAD=ADO ， OAD=E ， AB=BE ； (2)解：有 (1)知， ODBE ， POD=B ， cosPOD=cosB= 35， 在 RtPOD 中， cosPOD= 35ODOP， OD=OA ， PO=PA+OA=2+OA， 325OAOA， OA=3 ， O 半径 =3. 25.(12 分 )如图，在直角坐
23、标系中， RtOAB 的直角顶点 A 在 x 轴上， OA=4， AB=3.动点 M从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O移动；同时点 N从点 O出发，以每秒 1.25 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动 .当两个动点运动了 x 秒 (0 x 4)时，解答下列问题： (1)求点 N 的坐标 (用含 x 的代数式表示 )； (2)设 OMN 的面积是 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时， S 有最大值？最大值是多少？ (3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使 OMN 是直角三角形？若存在，求出 x的 值；若不存在，请说明理由 .
24、解 析 ： (1)由勾股定理求出 OB，作 NPOA 于 P，则 NPAB ，得出 OPNOAB ，得出比例式 P N O P O NA B O A O B，求出 OP、 PN，即可得出点 N 的坐标； (2)由三角形的面积公式得出 S 是 x 的二次函数，即可得出 S 的最大值； (3)分两种情况： 若 OMN=90 ，则 MNAB ，由平行线得出 OMNOAB ，得出比例式，即可求出 x 的值； 若 ONM=90 ，则 ONM=OAB ，证出 OMNOBA ，得出比例式，求出 x 的值即可 . 答案 ： (1)根据题意得： MA=x， ON=1.25x， 在 RtOAB 中，由勾股定理得：
25、 OB= 2 2 2 243O A A B =5， 作 NPOA 于 P，如图 1 所示： 则 NPAB ， OPNOAB ， P N O P O NA B O A O B， 即 1 .2 53 4 5P N O P x， 解得： OP=x， PN=34x， 点 N 的坐标是 (x， 34x)； (2)在 OMN 中， OM=4-x， OM 边上的高 PN=34x， S= 12OMPN= 12(4-x) 34x=-38x2+32x， S 与 x 之间的函数表达式为 S=-38x2+32x(0 x 4)， 配方得： S=-38(x-2)2+32， -38 0， S 有最大值， 当 x=2 时， S 有最大值，最大值是 32； (3)存在某一时刻，使 OMN 是直角三角形，理由如下： 分两种情况： 若 OMN=90 ，如图 2 所示： 则 MNAB ， 此时 OM=4-x， ON=1.25x， MNAB ， OMNOAB ， OM ONOA OB， 即 4 1.2545xx ， 解得： x=2； 若 ONM=90 ，如图 3 所示： 则 ONM=OAB ， 此时 OM=4-x， ON=1.25x， ONM=OAB ， MON=BOA ， OMNOBA ， OM ONOB OA， 即 4 1.2554xx ， 解得： x=6441； 综上所述： x 的值是 2 秒或 6441秒 .
