1、工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：50，分数：100.00)1.已知实数 x 和 y 满足条件(x+y) 99 =-1 和(x-y) 100 =1，则 x 101 +y 101 的值是_（分数：2.00）A.-1B.0C.1D.22.实数 a，b，c 在数轴上的位置如图表示，图中 O 原点，则代数式|a+b|-|b-a|+|a-c|+c=_ （分数：2.00）A.-3a+2cB.-a-ab-2cC.a-2bD.3a3.设 O 为坐标轴的原点，a，b，c 的大小关系如下图所示，则 的值是_ A0 B C D （分数：
2、2.00）A.B.C.D.4.若 a，b，c 分别为ABC 的三边之长，则|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=_（分数：2.00）A.a+b-cB.b+c-aC.3a-b-cD.3c-a-b5.设 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 是由自然数 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的任意序列，则|a 1 -a 2 |+|a 2 -a 3 |+|a 3 -a 4 |a 4 -a 5 |+|a 5 -a 6 |+|a 6 -a 1 |的最大值是_（分数：2.00）A.20B.18C.16D.146.argz 表示 z 的辐角，今又 =arg(2+i)，=ar
3、g(-1+2i)，则 sin(+)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.复数 z=(1-i) 2 的模|z|=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.8.复数 的共轭复数 （分数：2.00）AiB.-iC.1D.-19.复数 z=i-i 2 -i 3 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 ，则|z+i|=_ A2 B C （分数：2.00）A.B.C.D.10.i 是虚数单位，(1+i) 6 的模等于_ A64 B C8 D （分数：2.00）A.B.C.D.11.若复数 ，z 2 =-2i 2 +5i 3 ，则|z 1 +z 2 |=_ A
4、 B4 C5 D （分数：2.00）A.B.C.D.12.若复数 ，则|z|=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.13.若复数 ，则|z 1 -z 2 |=_ A2 B C （分数：2.00）A.B.C.D.14.若复数 ，则|z|=_ A6 B C3 D （分数：2.00）A.B.C.D.15.i 是虚数单位， ，则复数 z 的虚部是_ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.16.已知 i 为虚数单位，则(i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 =_（分数：2.00）A.-2iB.2iC.-1+iD.1+i1
5、7.已知 x-y=5 且 z-y-10，则 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx=_（分数：2.00）A.50B.75C.100D.10518.设 p 为正数，则 x 2 +px-99=_（分数：2.00）A.(x-9)(x-11)B.(x+9)(x-11)C.(x-9)(x+11)D.(x+9)(x+11)19.当 x-1 和 x-2 时， （分数：2.00）A.m=-2，n=3B.m=-3，n=2C.m=2，n=-3D.m=3，n=-220.对任意两个实数 a，b，定义两种运算： 则算式 和算式 （分数：2.00）A.7 和 5B.5 和 5C.7 和 7D.5 和 721.若
6、（分数：2.00）A.-1B.0C.1D.222.两个正数的算术平均值等于 ，它们乘积的算术平方根等于 ，则大数与小数的差是_ A4 B C6 D （分数：2.00）A.B.C.D.23.集合0，1，2，3的子集的个数为_（分数：2.00）A.14B.15C.16D.1824.函数 y 1 =f(a+x)(a0)与 y 2 =f(a-x)的图形关于_（分数：2.00）A.直线 x-a=0 对称B.直线 x+a=0 对称C.x 轴对称D.y 轴对称25.函数 y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为 3 的周期函数，下图表示的是该函数在区间-2，1上的图像则 的值等于_ （分数：2.00）A.-
7、2B.0C.2D.426.函数 f(x)是奇函数，g(x)是以 4 为周期的周期函数，且 f(-2)=g(-2)=6若 （分数：2.00）A.2B.1C.0D.-127.如下图所示，边长分别为 1 和 2 的两个正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形设从小正方形开始穿入大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为 t 0 ，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为 S(空白部分)，则表示 S 与时间 t 函数关系的大致图像为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.若函数 f(x)是周期为 6 的奇函数，则 的值等于_ A B C D （分数：2
8、.00）A.B.C.D.29.若 f(x)是以 3 为周期的奇函数，g(x)是以 2 为周期的偶函数， ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.定义在实数集上的函数 f(x)，满足 f(x+1)=-f(x)，且在区间-1，0上严格单调增加，则_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.设函数 若 a，b 是正整数，且 （分数：2.00）A.15B.21C.32D.4032.已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2)，其中常数 k0，且 f(x)在区间(0，2上有表达式f(x)=x(x-2)，则 A B C D （分数：2.00）A.B
9、.C.D.33.设函数 f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程 f(x)-g(x)=0 有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是_ A(2，+) B(1，2) C D （分数：2.00）A.B.C.D.34.已知 ab1，且满足 2a 2 +2008a+3=0 和 3b 2 +2008b+2=0，则_（分数：2.00）A.3a-2b=0B.2a-3b=0C.3a+2b=0D.2a+3b=035.方程 x 2 -2006|x|=2007 所有实数根的和等于_（分数：2.00）A.2006B.4C.0D.-200636.两个不等的实数 a 与 b，均满足方程 x 2 -3x=1则 （分数
10、：2.00）A.-18B.18C.-36D.3637.两个正数 a，b(ab)的算术平均值是其几何平均值的 2 倍，则与 （分数：2.00）A.12B.13C.14D.1538.若下图中给出的函数 y=x 2 +ax+a 的图像与 x 轴相切，则 a=_ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.439.某个锐角的正弦和余弦是二次方程 ax 2 +bx+c=0 的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_（分数：2.00）A.b2=a2-4acB.b2=a2+4acC.b2=a2-2acD.b2=a2+2ac40.已知 0a，方程 2x 2 +2x+cosa=0 的两个实根 x 1 ，x 2
11、满足 则 a=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.41.方程 的解为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.42.函数 y=ax 2 +bx+c(a0)在0，+)上单调增加的充要条件是_（分数：2.00）A.a0，且 b0B.a0，且 b0C.a0，且 b0D.a0，且 b043.设二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c 图像的对称轴为 x=1，其图像过点(2，0)，则 （分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-344.抛物线 y=x 2 +4x-3 的图像不经过_（分数：2.00）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限45.如下图所示，直角坐标系
12、 xOy 中的曲线是二次函数 y=f(x)的图像，则 f(x)=_ （分数：2.00）A.-x2-6x-5B.x2-4x-5C.-x2+6x-5D.x2+4x-546.二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶点为 C如果ACB=60，那么 b 2 -4ac的值是_（分数：2.00）A.4B.8C.10D.1247.设 a，b，c 均为正数，若 （分数：2.00）A.cabB.bcaC.abcD.cba48.一次选举有 4 个候选人甲、乙、丙、丁，若投票结果是：丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由
13、高到低的排列次序是_（分数：2.00）A.甲、丁、丙、乙B.丁、乙、甲、丙C.丁、甲、乙、丙D.甲、丁、乙、丙49.3 个不相同的非 0 实数 a，b，c 成等差数列，又 a，c，b 恰成等比数列，则 （分数：2.00）A.4B.2C.-4D.-250.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于_ A （分数：2.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：50，分数：100.00)1.已知实数 x 和 y 满足条件(x+y)
14、99 =-1 和(x-y) 100 =1，则 x 101 +y 101 的值是_（分数：2.00）A.-1 B.0C.1D.2解析：解析 本题主要考查了简单的开方、乘方运算和简单二元一次方程组的求解方法 由于(x+y) 99 =-1，所以 x+y=-1而由(x-y) 100 =1 可知 x-y=1 或 x-y=-1 解线性方程组 得 2.实数 a，b，c 在数轴上的位置如图表示，图中 O 原点，则代数式|a+b|-|b-a|+|a-c|+c=_ （分数：2.00）A.-3a+2c B.-a-ab-2cC.a-2bD.3a解析：解析 本题主要考查了实数与数轴上点的对应关系及绝对值的概念本题的关键
15、就是要正确去掉绝对值符号 从图上可知 ba0c，所以 |a+b|-|b-a|+|a-c|+c=-(a+b)+(b-a)+(c-a)+c=-3a+2c 故正确选项为 A3.设 O 为坐标轴的原点，a，b，c 的大小关系如下图所示，则 的值是_ A0 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了实数与数轴上的点之间的对应关系及绝对值的概念 由上图知，c0ba，所以 4.若 a，b，c 分别为ABC 的三边之长，则|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=_（分数：2.00）A.a+b-cB.b+c-aC.3a-b-cD.3c-a-b 解析：解析 本题主要考查了绝
16、对值的概念与三角形边长之间的关系 因为三角形的两边之和大于第三边，所以 |a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=(b+c-a)+(c+a-b)+(c-a-b)=3c-a-b 故正确选项为 D5.设 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 是由自然数 1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的任意序列，则|a 1 -a 2 |+|a 2 -a 3 |+|a 3 -a 4 |a 4 -a 5 |+|a 5 -a 6 |+|a 6 -a 1 |的最大值是_（分数：2.00）A.20B.18 C.16D.14解析：解析 本题主要考查了绝对值概念，考查了利用数学方法处理问题的
17、能力 因为题目中的表达式关于 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 是对称的，所以不妨设 a 1 排在第一个位置(如下图所示)，即 a 1 =1这时 a 2 点的位置应使得|a 1 -a 2 |最大，故 a 2 =6；a 3 点的位置 6.argz 表示 z 的辐角，今又 =arg(2+i)，=arg(-1+2i)，则 sin(+)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了复数辐角的三角函数值与其实部和虚部的关系及两角和的正弦公式将复数与复平面上的点联系起来是处理此类问题的常用方法 如下图所示，易知 ，所以 故正确选项为 D 7.复
18、数 z=(1-i) 2 的模|z|=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了复数模的概念与计算 解法 1 因为 8.复数 的共轭复数 （分数：2.00）Ai B.-iC.1D.-1解析：解析 本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念 由于 ，所以 9.复数 z=i-i 2 -i 3 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 ，则|z+i|=_ A2 B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了虚数单位 i 的正整数幂的周期性规律和复数模的概念与计算 因为 i 1 =i，i 2 =-1，i 3 =-i，i 4 =
19、1，所以 z=i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 =i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)=-1 从而 10.i 是虚数单位，(1+i) 6 的模等于_ A64 B C8 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了复数模的概念与计算 11.若复数 ，z 2 =-2i 2 +5i 3 ，则|z 1 +z 2 |=_ A B4 C5 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了复数的基本概念(虚数单位、模)与简单运算(加法、除法)由于 12.若复数 ，则|z|=_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
20、 本题主要考查了虚数单位与复数模的概念，考查了复数的简单运算与模的计算 因为 所以 13.若复数 ，则|z 1 -z 2 |=_ A2 B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了复数的除法运算与复数模的计算 因为 所以 14.若复数 ，则|z|=_ A6 B C3 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了虚数单位的概念、复数的简单运算与复数模的计算 因为 ，所以 15.i 是虚数单位， ，则复数 z 的虚部是_ A0 B1 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了复数的基本概念和简单运算 因为 16.已知 i 为虚数单
21、位，则(i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 =_（分数：2.00）A.-2i B.2iC.-1+iD.1+i解析：解析 本题主要考查了虚数单位的概念和复数的简单运算，是一类经常考查的问题 因为 i 2 =-1，所以 (i+i 2 +i 3 +i 4 +i 5 +i 6 +i 7 +i 8 +i 9 +i 10 ) 2 =(i-1-i+1+i-1-i+1+i-1) 2 =(i-1) 2 =-2i 故正确选项为 A17.已知 x-y=5 且 z-y-10，则 x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx=_（分数：2.00）A.5
22、0B.75 C.100D.105解析：解析 本题主要考查了两数差的平方公式和简单的配方运算根据题中条件，如何将平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键 解法 1 由于 x-y=5，z-y=10，所以 z-x=5，从而 18.设 p 为正数，则 x 2 +px-99=_（分数：2.00）A.(x-9)(x-11)B.(x+9)(x-11)C.(x-9)(x+11) D.(x+9)(x+11)解析：解析 本题主要考查了因式乘法运算和选择题的选项验证法 解法 1 由于 (x-9)(x-11)=x 2 -20x+99， (x+9)(x-11)=x 2 -2x-99， (x-9)(x+11)
23、=x 2 +2x-99， (x+9)(x+11)=x 2 +20x+99， 所以只有(x-9)(x+11)=x 2 +2x-99 符合题意 故正确选项为 C 解法 2 设 x 1 ，x 2 是方程 x 2 +px-99=0 的两个根，则 x 1 +x 2 =-p0，x 1 x 2 =-99 因此 x 1 与 x 2 异号，且负根的绝对值大于正根，故只有选项 C 满足条件19.当 x-1 和 x-2 时， （分数：2.00）A.m=-2，n=3 B.m=-3，n=2C.m=2，n=-3D.m=3，n=-2解析：解析 本题主要考查了分式运算、因式乘法与多项式相等的概念 解法 1 因为 所以(m+n
24、)x+(2m+n)=x-1比较系数得 解得 m=-2，n=3 故正确选项为 A 解法 2 取值代入法 由于等式 对 x-1 和 x-2 的所有 x 都成立，特别地对 x=0 和 x=1 也成立，所以 20.对任意两个实数 a，b，定义两种运算： 则算式 和算式 （分数：2.00）A.7 和 5B.5 和 5C.7 和 7D.5 和 7 解析：解析 本题主要考查了对数学概念的理解和应用能力 由题意可知， ，所以 21.若 （分数：2.00）A.-1 B.0C.1D.2解析：解析 本题主要考查了代数运算及两数平方差公式 解法 1 故正确选项为 A 解法 2 本题利用排除法也很简单 因为 22.两个
25、正数的算术平均值等于 ，它们乘积的算术平方根等于 ，则大数与小数的差是_ A4 B C6 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了算术平均值与算术平方根的概念，考查了两数和与两数差的平方公式 设两个正数分别为 a 和 b由题意可知 23.集合0，1，2，3的子集的个数为_（分数：2.00）A.14B.15C.16 D.18解析：解析 本题主要考查了子集的概念与组合数的性质 由 1 个元素构成的子集 ，由 2 个元素构成的子集 ，由 3 个元素构成的子集 ，再加上空集与全集，子集的个数共有 4+6+4+2=16 个 一般地，n 个元素的集合所有子集的个数为 24.函数 y
26、1 =f(a+x)(a0)与 y 2 =f(a-x)的图形关于_（分数：2.00）A.直线 x-a=0 对称B.直线 x+a=0 对称C.x 轴对称D.y 轴对称 解析：解析 本题主要考查了函数图形的概念及平面上关于直线对称的点的坐标之间的关系 解法 1 记 g(x)=f(a+x)，h(x)=f(a-x)，由于 g(x)=f(a+x)=fa-(-x)=h(-x)，所以曲线 y=g(x)上的点(x，g(x)关于直线 x=0(y 轴)的对称点(-x，g(x)=(-x，h(-x)在曲线 y=h(x)上类似地可以证明曲线 y=h(x)上的点关于直线 x=0(y 轴)的对称点也在曲线y=g(x)上所以函
27、数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图形关于 y 轴对称 故正确选项为 D 解法 2 特殊值代入法 取，f(x)=x，a=1，则 y 1 =f(1+x)=1+x 与 y 2 =f(1-x)=1-x 是两条关于 y 轴对称的直线(如下图所示) 25.函数 y=f(x)是定义在(-，+)上的周期为 3 的周期函数，下图表示的是该函数在区间-2，1上的图像则 的值等于_ （分数：2.00）A.-2B.0C.2 D.4解析：解析 本题考查了函数的图形表示法及函数周期性的概念 因 f(x)是周期为 3 的周期函数，根据周期函数的概念可知 f(2009)=f(2009-3700)=f(-1)， f(
28、-3)=f(-3+3)=f(0)，f(4)=f(4-3)=f(1) 从图上可以看出 f(-1)=-1，f(0)=1，f(1)=2，所以 26.函数 f(x)是奇函数，g(x)是以 4 为周期的周期函数，且 f(-2)=g(-2)=6若 （分数：2.00）A.2 B.1C.0D.-1解析：解析 本题主要考查了奇函数、周期函数的概念与性质，考查了函数的复合运算 因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)=0，且由 f(-2)=6 知 f(2)=-6又 g(-2)=6，所以 由于 g(x)的周期为 4，所以 g(12)=g(-120)=g(0) 由题设知 27.如下图所示，边长分别为 1 和 2 的两个
29、正方形，放在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形设从小正方形开始穿入大正方形到恰好离开大正方形所用的时间为 t 0 ，大正方形内除去小正方形占有部分之后剩下的面积为 S(空白部分)，则表示 S 与时间 t 函数关系的大致图像为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了函数的概念及函数的图形表示法，考查了平面图形的面积 根据所剩面积变化的对称性，及所剩面积的最小值为 3，利用排除法即知应选 A 故正确的选项为 A28.若函数 f(x)是周期为 6 的奇函数，则 的值等于_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
30、本题主要考查了奇函数的性质、周期函数的概念、三角函数的倍角公式和特殊角的三角函数值 因为 f(x)是周期为 6 的奇函数，所以 f(6)=f(0)=0，f(-7)+f(1)=f(-1)+f(1)=0 从而 29.若 f(x)是以 3 为周期的奇函数，g(x)是以 2 为周期的偶函数， ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了函数的简单性质，考查了特殊角的三角函数值 30.定义在实数集上的函数 f(x)，满足 f(x+1)=-f(x)，且在区间-1，0上严格单调增加，则_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了函数的
31、简单性质 因为 f(x+1)=-f(x)，所以 又因为 f(x)在区间|-1，0|上严格单调增加，所以 31.设函数 若 a，b 是正整数，且 （分数：2.00）A.15B.21 C.32D.40解析：解析 本题考查了分段函数的概念和函数的求值运算，考查了简单整数方程 由题意可知，正整数 a，b 不可能同时小于 10 或同时大于 10不妨设 ab，则 a10，b10，所以 ，f(b)=b-7 由 ，得 32.已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)=kf(x+2)，其中常数 k0，且 f(x)在区间(0，2上有表达式f(x)=x(x-2)，则 A B C D （分数：2.00）A. B
32、.C.D.解析：解析 本题主要考查了函数的简单性质和简单运算 因为 f(x)=kf(x+2)，且 f(x)=x(x-2)(x(0，2)，所以 f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k1(1-2)=-k， 所以 33.设函数 f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx，若方程 f(x)-g(x)=0 有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是_ A(2，+) B(1，2) C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了简单函数的图形，考查了方程存在实根的几何意义，是典型的数形结合问题 y=f(x)的图像由从点 A(2，1)为起点的两条射线(方程分别为 y=3-x 及 y=
33、x-1)组成，y=g(x)是过原点且斜率为 k 的直线 如下图所示，直线 OA 的斜率 ，与直线 y=x-1 平行的直线 OB 的斜率等于 1当直线 y=g(x)=kx 的斜率满足 时，y=kx 与 y=f(x)=|x-2|+1 有两个交点，即方程 f(x)-g(x)=0 有两个不相等的实根 34.已知 ab1，且满足 2a 2 +2008a+3=0 和 3b 2 +2008b+2=0，则_（分数：2.00）A.3a-2b=0B.2a-3b=0 C.3a+2b=0D.2a+3b=0解析：解析 本题主要考查了一元二次方程的求根公式 解法 1 根据求根公式得 当 时，易知 ab=1，不满足条件类似
34、可知 35.方程 x 2 -2006|x|=2007 所有实数根的和等于_（分数：2.00）A.2006B.4C.0 D.-2006解析：解析 本题主要考查绝对值和代数方程的概念及对称性的运用 解法 1 因为 x 2 =|x| 2 ，所以方程 x 2 -2006|x|=2007 与|x| 2 -2006|x|-2007=0 等价 由于 =(-2006) 2 -4(-2007)0，所以上述二次方程必有实数根又由于该方程的左端关于正、负 x的值不变，所以当 x 是方程的一个根时，-x 也为其根从而方程 x 2 -2006|x|=2007 所有实数根之和等于0 故正确选项为 C 解法 2 利用二次代
35、数方程求根公式，方程|x| 2 -2006|x|-2007=0 之根为 由绝对值的概念可知原方程的根满足条件 所以该方程的根为 或 从而方程 x 2 -2006|x|=2007 的所有实数根之和 x 1 +x 2 =0 解法 3 当 x0 时，由 x 2 -2006x=2007 解得 当 x0 时，由 x 2 +2006x=2007 解得 36.两个不等的实数 a 与 b，均满足方程 x 2 -3x=1则 （分数：2.00）A.-18B.18C.-36 D.36解析：解析 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系韦达定理和简单的代数公式 根据题意，两个不等的实数 a 与 b 分别是二次方程
36、x 2 -3x-1=0 的两个实数根所以 a+b=3，ab=-1从而 37.两个正数 a，b(ab)的算术平均值是其几何平均值的 2 倍，则与 （分数：2.00）A.12B.13C.14 D.15解析：解析 本题主要考查了算术平均数与几何平均数的概念和一元二次方程的性质 解法 1 根据题意可知 ，而 b0，所以 设 x 2 -14x+1=0 的两个实根分别为 x 1 ，x 2 ，由于 x 1 +x 2 =14，x 1 x 2 =1，且 x 1 ，x 2 非负，所以 13.5maxx 1 ，x 1 14又 是其中大于 1 的实根，所以与 最接近的整数是 14 故正确选项为 C 解法 2 根据题意
37、可知 ，而 ab0，故可得 此方程的根为 因为 ab0，故取 ，于是 故正确选项为 C 解法 3 选项验证法 根据题意可知 ，而 b0，所以 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 综上可知与 38.若下图中给出的函数 y=x 2 +ax+a 的图像与 x 轴相切，则 a=_ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.4 解析：解析 本题主要考查了方程根的几何意义与一元二次方程根的存在性条件 由于 y=x 2 -ax+a 的图像与 x 轴相切，所以一元二次方程 x 2 +ax+a=0 有重根，故 =a 2 -4a=0由图可知 a0，所以 a=4 故正确选项为 D39.某个锐角的正弦和余弦是二次方程
38、 ax 2 +bx+c=0 的不同的两个根，则 a，b，c 之间的关系是_（分数：2.00）A.b2=a2-4acB.b2=a2+4acC.b2=a2-2acD.b2=a2+2ac 解析：解析 本题考查了二次方程根与系数的关系及两数和的平方公式，考查了简单的三角关系式 设该锐角为 x由题意可知 所以 即 40.已知 0a，方程 2x 2 +2x+cosa=0 的两个实根 x 1 ，x 2 满足 则 a=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了特殊角的三角函数值 因为 ，所以 依题意 ，所以 又 0a，所以 41.方程
39、的解为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了绝对值和算术根的概念及简单代数方程组求解 解法 1 由于 与|x+2y|非负且 ，所以 故正确选项为 D 解法 2 选项验证法 易知： 当 x=0，y=2 时， 当 x=3，y=1 时， ; 当 x=2，y=3 时， 42.函数 y=ax 2 +bx+c(a0)在0，+)上单调增加的充要条件是_（分数：2.00）A.a0，且 b0B.a0，且 b0C.a0，且 b0 D.a0，且 b0解析：解析 本题主要考查了一元二次函数单调性与其图像的开口和对称轴的关系 函数 y=ax 2 +bx+c(a0)在0，+)上
40、单调增意味着其图像的开口朝上和对称轴一定在 y 轴的左侧(如图所示)，所以 a0，且 即 a0，且 b0 43.设二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c 图像的对称轴为 x=1，其图像过点(2，0)，则 （分数：2.00）A.3B.2C.-2D.-3 解析：解析 本题考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算 解法 1 由于 f(x)=ax 2 +bx+c 的对称轴为 ，根据题意可知 又因为其图像过点(2，0)，所以 4a+2b+c=0由 及 4a+2b+c=0 可得 c=0， 从而 故正确选项为 D 解法 2 因为点(2，0)关于直线 x=1 的对称点是(0，0)，所以根据题意可知点(2
41、，0)与(0，0)均在 f(x)=ax 2 +bx+c 的图像上，故 即 c=0， 44.抛物线 y=x 2 +4x-3 的图像不经过_（分数：2.00）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析：解析 本题主要考查了抛物线的开口方向、对称轴方程和顶点坐标 由于抛物线 y=x 2 +4x-3 的开口朝下，所以其图像必经过第三象限与第四象限；又因为其对称轴是 ，顶点坐标为(2，1)，所以它也一定经过第一象限因此该抛物线只可能不经过第二象限(如下图所示) 45.如下图所示，直角坐标系 xOy 中的曲线是二次函数 y=f(x)的图像，则 f(x)=_ （分数：2.00）A.-x2-6x-
42、5B.x2-4x-5 C.-x2+6x-5D.x2+4x-5解析：解析 本题主要考查一元二次函数的图像(开口方向与对称轴方程) 解法 1 由上图可知抛物线的开口朝上且对称轴为 46.二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图像与 x 轴有两个交点 A 和 B，顶点为 C如果ACB=60，那么 b 2 -4ac的值是_（分数：2.00）A.4B.8C.10D.12 解析：解析 本题是一道综合问题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了抛物线的顶点坐标和直角三角形中锐角三角函数值的概念 由于上下开口的抛物线关于过顶点且平行于 y 轴的直线对称，从而可以得到ABC 为顶角等于 60的等腰三角形，
43、即等边三角形利用过顶点的高可以在具有特殊角的直角三角形内处理问题 抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点 C 的纵坐标为 ，又 所以 47.设 a，b，c 均为正数，若 （分数：2.00）A.cab B.bcaC.abcD.cba解析：解析 本题主要考查了分数运算与不等式的简单性质 解法 1 因为 ，所以 又因为 a，b，c 均为正数，所以 ac 同样地，利用 可以得到 ba 综上可知 cab 故正确选项为 A 解法 2 因为 ，且 a，b，c 均为正数，所以 a(a+b)c(b+c) 整理得(a-c)(a+b+c)0所以 ac 类似地，由 可以得到 ba故 cab 解法 3 特殊值代入与选
44、项验证法 对于选项 A，取 c=1，a=2，b=3，则 ，其大小关系满足题设条件； 对于选项 B，取 b=1，c=2，a=3，则 ，其大小关系不满足题设条件； 对于选项 C，取 a=1，b=2，c=3，则 ，其大小关系不满足题设条件； 对于选项 D，取 c=1，b=2，a=3，则 48.一次选举有 4 个候选人甲、乙、丙、丁，若投票结果是：丁得票比乙多，甲、乙得票之和超过丙、丁得票之和，甲、丙得票之和与乙、丁得票之和相等，则四人得票数由高到低的排列次序是_（分数：2.00）A.甲、丁、丙、乙B.丁、乙、甲、丙C.丁、甲、乙、丙D.甲、丁、乙、丙 解析：解析 本题主要考查了不等式的简单性质 设
45、4 个候选人的得票数也分别用甲、乙、丙、丁表示，由题意，得 丁乙， (1) 甲+乙丙+丁， (2) 甲+丙=乙+丁 (3) 由(2)+(3)，得 甲丁； 由(2)-(3)，得 乙丙 (4) 由(1)，(4)可知 甲丁乙丙 故正确选项为 D49.3 个不相同的非 0 实数 a，b，c 成等差数列，又 a，c，b 恰成等比数列，则 （分数：2.00）A.4 B.2C.-4D.-2解析：解析 本题考查了等差数列和等比数列的性质及一元二次方程的解法 解法 1 根据条件可知 2b=a+c，c 2 =ab，从而 由于 ，所以解得 故正确选项为 A 解法 2 排除法 根据条件可知 ab=c 2 ，所以 ，故选项 C，D 可被排除又由 2b=a+c 可知 ，且 ，故 50.设 n 为正整数，在 1 与 n+1 之间插入 n 个正数，使这 n+2 个数成等比数列，则所插入的 n 个正数之积等于_ A （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了等比数列的概念和通项公式以及乘方运算的性质 解法 1 设此等比数列的公比为 q，根据题意可知 q n+1 =n+1所以 故正确选项为 A 解法 2 特殊值代入法 取，n=1，则数列为 ，插入的数为
