1、工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数、几何与三角(三)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：42，分数：100.00)1.正圆锥的全面积是侧面积的 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.2.一个圆锥形容器(甲)与一个半球形容器(乙)，它们的开口圆的直径与高的尺寸如下图所示(单位：dm)若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水_次 （分数：2.50）A.6B.8C.12D.163.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如下图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球(假设
2、原水量不受损失)，则容器中水面的高度为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.4.一个直圆柱形状的量杯和一根长为 12cm 的搅棒(搅棒直径不计)，当搅棒的一端接触量杯下底面时，另一端最少可露出杯口边缘 2cm，最多能露出 4cm则这个量杯的容积为_cm 3 （分数：2.50）A.72B.96C.288D.3845.一个长方体的对角线长为 （分数：2.50）A.22B.24C.26D.286.一个四面体木块的体积是 64cm 3 若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(小四面体)，则剩余部分的体积是_cm 3 （分数：2.50）A.44
3、B.40C.36D.327.一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面时，体内水面高度为四面体高 h 的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高度与 h 的比值为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.8.一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出当容器中剩下的水为原来的 （分数：2.50）A.75B.60C.45D.309.一个棱长为 4dm 的密封的正方体盒子里(壁厚忽略不计)放有一个半径为 1dm 的球，若盒子随意翻动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分的面积是_dm 2 （分数：2.
4、50）A.24B.60C.72D.9610.四面体 ABCD 沿棱 DA，DB，DC 剪开，将面 ADB，面 ADC 和面 BDC 展开落在平面 ABC 上，恰构成一个边长为 1cm 的正方形 AEGF(如下图所示)，则原四面体的体积是_cm 3 A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.11.一个长方体的对角线长为 （分数：2.50）A.64B.60C.54D.4812.已知 a0， ，则 的值是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.13.如下图所示，BAF=FEB=EBC=ECD=90ABF=30，BFE=45，BCE=60，且AB=2CD则 tanCDE=_ A
5、B C D （分数：2.50）A.B.C.D.14.如图 1 所示，在正方形网络中，A，B，C 是三个格点，设BCA=，则 tan 的值是_ 图 1A-1 B C （分数：2.50）A.B.C.D.15.等腰ABC 中， ，底边 BC3，则顶角A 的取值范围是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.16.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=_（分数：2.50）A.0.6B.0.5C.-0.5D.-0.617.若三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则表达式 的值为_ A B C1 D （分数：2.50
6、）A.B.C.D.18.过点 P(0，2)作圆 x 2 +y 2 =1 的切线 PA 和 PB，A，B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.19.设点(x 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1 的内部，则直线 x 0 x+y 0 y=1 和圆_（分数：2.50）A.不相交B.有一个交点C.有两个交点且两交点间的距离小于 2D.有两个交点且两交点间的距离大于 220.直线 l 与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称，则直线 l 的方程为_（分数：2.50）A.x-2y=1B.x+2y=1C.2x+y=1D.2x-y=121
7、.P(a，b)是第一象限内的矩形 ABCD(含边界)中的一个动点，A，B，C，D 的坐标如下图所示，则 的最大值与最小值依次是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.22.在直角坐标系中，若直线 y=kx 与函数 的图像恰有 3 个不同的交点则 k 的取值范围是_ A(-，0 B C （分数：2.50）A.B.C.D.23.如果下图中给出了平面直角坐标系中直线 l:y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在_ （分数：2.50）A.第象限B.第象限C.第象限D.第象限24.如下图所示，矩形 ABCD 的对角线 BD 过坐标原点 O，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例
8、函数 的图像上若 A 点的坐标为(-2，-2)，则 k=_ （分数：2.50）A.2B.1C.0D.-125.反比例函数 在第一象限的图像如下图所示自 的图像上的任一点 B 向两坐标轴引垂线 BA和 BC，分别交另两条曲线于 E，F 和 G，H连接 AG，EH，则阴影四边形 AEHG 的面积是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.26.点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )是反比例函数 在第一象限图像上的两点，如图 1 所示已知 ，则AOB 的面积等于_ 图 1A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.27.设一个圆的圆心为 P(6，m)，该圆与坐标轴交
9、于 A(0，-4)，B(0，-12)两点，则 P 到坐标原点的距离是_ A B8 C10 D （分数：2.50）A.B.C.D.28.已知 P 为反比例函数 图像上的一点，过 P 分别作两坐标轴的平行线，交 Ox 轴于 M，交 Oy 轴于N，则MPN 的面积为_ A B1 C D （分数：2.50）A.B.C.D.29.在圆 x 2 +y 2 -6x-8y+21=0 所围区域(含边界)中，P(x，y)，Q(x,y)是使得 分别取得最大值和最小值的点线段 PQ 的长是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.30.在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110，sin110)，B(c
10、os50，sin50)，则由坐标原点 O 到线段 AB 中点 M 的距离是_ A B C （分数：2.50）A.B.C.D.31.如果图 1 中四边形 ABCD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形ABCD 的面积等于_ （分数：2.00）A.16.5B.15C.13.5D.1232.如图 1，面积为 9cm 2 的正方形 EFGH 在面积为 25cm 2 的正方形 ABCD 所在的平面上移动，始终保持EFAB，记线段 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长度是_cm. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3
11、3.点(1，3)到曲线 上各点的最短距离等于_ A2 B C （分数：2.00）A.B.C.D.34.已知|tan|1，若圆(x+cos) 2 +(y+sin) 2 =1 的圆心在第四象限，则方程 x 2 cos-y 2 sia+2=0 的图形是_（分数：2.00）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.直线35.在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使得 A，B，C 恰为一个三角形的 3 个顶点，且线段 AC与 BC 的长是两个不等的正整数，则动点 C 所有可能的位置必定在某_上（分数：2.00）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线36.AB 是抛物线 y 2 =4x 过焦点 F 的一条弦
12、，若 AB 的中点 M 到准线的距离等于 3，则弦 AB 的长等于_（分数：2.00）A.5B.6C.7D.837.设双曲线 （分数：2.00）A.外离B.外切C.相交D.内切38.若由双曲线 的右焦点 F 2 (c，0)向曲线 所引切线的方程是 ，则双曲线的离心率 等于_ A B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.39.参数方程 （分数：2.00）A圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线40.椭圆 如下图所示，其中 F 1 是左焦点若F 1 B 1 A 2 =90，则该椭圆的离心率 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.41.如下图所示，双曲线 的左右焦点分别记为 F 1 ，F 2
13、 ，双曲线上的点 P 使得F 1 PF 2 =60，则三角形PF 1 F 2 的面积=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.42.椭圆 如图 1 所示，以点 B 1 为圆心，椭圆的半长轴为半径画圆弧，交 A 1 A 2 于点 C 1 和 C 2 ，P 为椭圆上的一点，若PC 1 C 2 的面积为 9，则PC 1 C 2 的内切圆的面积为_ 图 1A2 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学分类真题初等代数、几何与三角(三)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：42，分数：100.00)1.正圆锥的全面积是侧面积的
14、 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为_ A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了圆锥的侧面积公式、底面积公式，以及扇形的半径、弧长与圆心角的关系 设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，则该圆锥的底面积为 R 2 ，侧面积为 根据题意可得 解得 l=4R所以该圆锥侧面展开后的扇形所对圆心角的大小为 2.一个圆锥形容器(甲)与一个半球形容器(乙)，它们的开口圆的直径与高的尺寸如下图所示(单位：dm)若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水_次 （分数：2.50）A.6B.8 C.12D.16解析：解析 本题主要考查了圆锥与半球的体积公式 由上图可知圆锥形
15、容器(甲)的底面半径为 ，高为 1，所以其容积等于 类似地可以求得乙容器的容积是 因为 3.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如下图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球(假设原水量不受损失)，则容器中水面的高度为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了圆柱体和球体轴截面的概念与它们的体积公式 由图可知球体的半径是 5cm，所以它的体积为 将球取出后，假设水面下降了 hcm，因为圆柱的底面半径为 10cm，所以空出部分的体积等于 10 2 hcm 3 根据题意 解得 所以容器中水面的高度为 4.一个直圆柱形状的量杯
16、和一根长为 12cm 的搅棒(搅棒直径不计)，当搅棒的一端接触量杯下底面时，另一端最少可露出杯口边缘 2cm，最多能露出 4cm则这个量杯的容积为_cm 3 （分数：2.50）A.72 B.96C.288D.384解析：解析 本题主要考查空间想象能力、勾股定理及圆柱体积公式 如下图所示，一个长为 12cm 的搅棒放在量杯内，搅棒的另一端最多能露出 4cm，表明直圆柱的高 BC=12-8=4cm；搅棒的另一端最少可露出 2cm，表明直圆柱的轴截面矩形的对角线长为 AC=12-2=10cm 由勾股定理可知圆柱底面圆的直径是 ，半径为 3cm因此，这个玻璃杯的容积为 3 2 8=72(cm 3 )
17、5.一个长方体的对角线长为 （分数：2.50）A.22B.24 C.26D.28解析：解析 本题是代数与几何的简单综合题主要考查了长方体的对角线与棱的关系、表面积公式和简单的代数运算 如下图所示，设长方体的三条不同的棱长分别为 a，b，c，则根据题意可知 a 2 +b 2 +c 2 =14，2ab+2bc+2ac=22，所以 (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac=36， 即 a+b+c=6因此所有棱长之和为 4(a+b+c)=24 6.一个四面体木块的体积是 64cm 3 若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(
18、小四面体)，则剩余部分的体积是_cm 3 （分数：2.50）A.44B.40C.36D.32 解析：解析 本题考查了四面体(三棱锥)的体积公式及相似三角形的性质 根据题意，每个角去掉的仍然是四面体，且其每条棱的长是原来四面体对应棱的一半所以去掉的体积是原来的 ，从而剩余部分的体积是 7.一个封闭透明的正四面体容器内装有水，正四面体的一个面放置在水平桌面时，体内水面高度为四面体高 h 的 ，现将它倒置使原底面平行于水平桌面，此时水面的高度与 h 的比值为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了正四面体(三棱锥)的体积与其高的关系 设两个正四面体的高分别为
19、 h 1 ，h 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，则 记正四面体容器的体积是 V，由题设可知水的体积是 所以要求水面的高度与 h 的比值是 8.一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为 1，母线长为 3将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓慢流出当容器中剩下的水为原来的 （分数：2.50）A.75B.60C.45 D.30解析：解析 本题主要考查了圆柱体的体积及特殊三角形 解法 1 如下图所示，假想倾斜圆柱形容器使线段 AC 与水平的桌面平行，则显然流出的水为原来容器内水的一半受此启发，可先找出当圆柱形容器直立放置时，总容积 处所对应的位置，即 EF 直线处(高为 1 的位置)，则 EF 直线
20、以上部分的容积为总容积的 将容器倾斜使线段 AE 与水平的桌面平行，则流出的水为 EF 直线以上部分的容积的一半，即容器中剩下的水为原来的 这时由题设知EF=2，而 AF=2，AEF 为直角三角形，所以EAF=45 9.一个棱长为 4dm 的密封的正方体盒子里(壁厚忽略不计)放有一个半径为 1dm 的球，若盒子随意翻动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分的面积是_dm 2 （分数：2.50）A.24B.60C.72 D.96解析：解析 本题主要考查了空间几何体的位置关系(相切)，考查了平面图形的面积 如下图所示，由于球的半径为 1dm，立方体的棱长为 4dm，所以球在滚动时只可能与立方体每个面
21、中间的部分接触，中间部分是边长为 2dm 的正方形 每个面接触不到球的那部分的面积为 16-4=12，所以总的接触不到球的那部分的面积为 612=72 10.四面体 ABCD 沿棱 DA，DB，DC 剪开，将面 ADB，面 ADC 和面 BDC 展开落在平面 ABC 上，恰构成一个边长为 1cm 的正方形 AEGF(如下图所示)，则原四面体的体积是_cm 3 A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题考查了三棱锥的体积公式、三角形的面积公式和勾股定理，考查了空间想象能力 由题意，根据对称性可知，C，B 分别是 FG 和 EG 的中点所以面 BDC 的面积为 因为 AD
22、CD，ADBD，所以 AD 是四面体 ABCD 在面 BDC 上的高所以四面体 ABCD 的体积为 11.一个长方体的对角线长为 （分数：2.50）A.64B.60 C.54D.48解析：解析 本题是一道空间几何体的题目，主要考查了长方体有关几何量的计算 设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则 a 2 +b 2 +c 2 =50， 2(ab+bc+ac)=94， 所以(a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ac)=144，从而得 a+b+c=12 由 a 2 +b 2 +c 2 =50 可以推出 maxa，b，c5，且最多只有一个量取到 5，不妨设 c=maxa
23、，b，c，这时 a+b7，所以 a，b 一个取 3，一个取 4 当长、宽、高分别为 3，4，5 时，符合条件，所以长方体的体积为 345=60 故正确选项为 B12.已知 a0， ，则 的值是_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了三角函数的取值范围、同角关系式与两角和的余弦公式 解法 1 因为 ，所以 故 sin=0，从而 cos 2 =1又因为 a0，所以 ，从而 故正确选项为 A 解法 2 因为 ，所以|cos|=1又因为 a0，所以 ，sin=0，从而 13.如下图所示，BAF=FEB=EBC=ECD=90ABF=30，BFE=45，BCE=6
24、0，且AB=2CD则 tanCDE=_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值 由条件可知 所以 14.如图 1 所示，在正方形网络中，A，B，C 是三个格点，设BCA=，则 tan 的值是_ 图 1A-1 B C （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了勾股定理与三角形的面积公式，考查了直角三角形中三角函数的定义与两角和的正切公式 解法 1 设正方形网格的边长为 1，由图 1 可知 ，AB=5由于 ACBCsinC=AB1,所以 从而得 tan=-1 故正确选项为 A 解法 2 由图 1 可知
25、，所以 解法 3 如图 2 所示，设 =+，则 tan=2，tan=3，于是 图 2解法 4 设正方形网格的边长为 1，由图 1 可知 ，由正弦定理得 ，所以 ，即 ，从而得 tan=-1 注 解法 4 利用了正弦定理 解法 5 由图 1，利用余弦定理可得 AB 2 =AC 2 +BC 2 -2ACBCcos。即 解得 15.等腰ABC 中， ，底边 BC3，则顶角A 的取值范围是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 本题是平面几何与三角函数的问题，考查了特殊三角形的概念与特殊角的三角函数值 解法 1 在等腰ABC 中，当 ，BC=3 时，参见下图有 ，所以 从而
26、当 BC3 时，A 的取值范围应是 16.如果 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，那么(sin-cos)(sin-cos)=_（分数：2.50）A.0.6B.0.5C.-0.5 D.-0.6解析：解析 本题主要考查了两角和及两角差的三角函数公式 因为 sin(+)=0.8，cos(-)=0.3，所以 (sin-cos)(sin-cos)=sinsin-sincos-cossin+coscos =coscos+sinsin-sincos+cossin=cos(-)-sin(+)=0.3-0.8=-0.5 故正确选项为 C17.若三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
27、c，则表达式 的值为_ A B C1 D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了三角形中边与角的关系(余弦定理) 解法 1 因为 所以 解法 2 特殊值代入法 取 a=b=c=1，则A=B=C=60，所以 18.过点 P(0，2)作圆 x 2 +y 2 =1 的切线 PA 和 PB，A，B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查了圆的切线概念、垂直于坐标轴的直线方程 解法 1 显然，只需求出 A 或 B 点的纵坐标即可设 A 点的坐标为(x，y)由于 PA 为圆 O 的切线，则PAAO，故有
28、 ，即 (-x，2-y)(x，y)=0， x 2 +y 2 -2y=0， 而 x 2 +y 2 =1，所以得 故正确选项为 D 解法 2 如下图所示，根据对称性可知直线 AB 垂直于 y 轴，且其上点的纵坐标大于零，所以在 4 个选项中只有 19.设点(x 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1 的内部，则直线 x 0 x+y 0 y=1 和圆_（分数：2.50）A.不相交 B.有一个交点C.有两个交点且两交点间的距离小于 2D.有两个交点且两交点间的距离大于 2解析：解析 本题主要考查了两点间的距离公式、点到直线的距离公式，及判断直线与圆的位置关系的常用方法 解法 1 根据题意，点(x
29、 0 ，y 0 )在圆 x 2 +y 2 =1 的内部，所以 由于圆 x 2 +y 2 =1 的圆心(0，0)到直线 x 0 x+y 0 y=1 的距离为 ，所以距离 d 大于圆的半径 1从而直线与圆不相交 故正确选项为 A 解法 2 特殊值代入法 取 ，y 0 =0，则点 在 x 2 +y 2 =1 内，这时直线 x 0 x+y 0 y=1 变为 x=2，此直线与圆 x 2 +y 2 =1 没有交点(如下图所示) 20.直线 l 与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称，则直线 l 的方程为_（分数：2.50）A.x-2y=1 B.x+2y=1C.2x+y=1D.2x-y=1解析：解
30、析 本题主要考查了点关于直线的对称点的求法，以及直线方程的概念与求法 解法 1 因为点(x 0 ，y 0 )关于直线 x+y=0 的对称点是(-y 0 ，-x 0 )，所以当点(x 0 ，y 0 )在直线 l上时，点(-y 0 ，-x 0 )在直线 2x-y=1 上，即 2(-y 0 )-(-x 0 )=1所以直线 l 的方程是 x-2y=1 故正确选项为 A 解法 2 如下图所示，由于直线 2x-y=1 过点(0，-1)与 ，这两点关于直线 x+y=0 的对称点分别是(1，0)， ，故直线 l 过点(1，0)， ，所以直线 l 的方程为 ，即 x-2y=1 故正确选项为 A 解法 3 设点(
31、a，b)关于直线 x-y=0 的对称点是(X，Y)，则 ，且 (与 x+y=0 垂直)整理得 即(a，b)关于直线 x+y=0 的对称点是(-b，-a)所以与直线 2x-y=1 关于直线 x+y=0 对称的直线方程为2(-y)-(-x)=1，即 x-2y=1 解法 4 特殊值代入法 由于点 在直线 2x-y=1 上，所以其关于直线 x+y=0 的对称点 应在直线 l 上，即 x=0， 21.P(a，b)是第一象限内的矩形 ABCD(含边界)中的一个动点，A，B，C，D 的坐标如下图所示，则 的最大值与最小值依次是_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了
32、直线斜率的概念与计算，考查了处理实际问题的能力与方法 由于过点 P(a，b)和原点的直线方程为 ，即 是该直线的斜率由图可知， 的最小值为 OC 的斜率、最大值为 OA 的斜率，所以 的最大值为 ，最小值为 22.在直角坐标系中，若直线 y=kx 与函数 的图像恰有 3 个不同的交点则 k 的取值范围是_ A(-，0 B C （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了平面直线的基本概念及简单的位置关系 解法 1 如下图所示，过原点及直线y=2x+4 与 y=-2 的交点(-3，-2)的直线 l 1 的斜率 ，过原点且与直线 y=2x-8 平行的直线 l 2 的斜率 k 2 =2
33、当直线 y=kx 介于 l 1 与 l 2 之间，即 时，直线与所给图像有三个不同交点 故正确选项为 C 解法 2 用排除法取 23.如果下图中给出了平面直角坐标系中直线 l:y=ax+b 的图像，那么坐标为(a，b)的点在_ （分数：2.50）A.第象限B.第象限 C.第象限D.第象限解析：解析 本题主要考查了直线的斜截式方程及平面中点的坐标 由上图可知，直线 l 的斜率 a0，其在 y 轴上的截距 b0，所以坐标为(a，b)的点在第象限 故正确选项为 B24.如下图所示，矩形 ABCD 的对角线 BD 过坐标原点 O，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图像上若 A 点的坐标
34、为(-2，-2)，则 k=_ （分数：2.50）A.2B.1 C.0D.-1解析：解析 本题主要考查了对称点的坐标，考查了平面直线斜率的概念 如上图所示，设点 C 的横坐标为 x，由于点 A 的坐标为(-2，-2)，所以点 B 的坐标为 ，点 D 的坐标为(x，-2)由于 BD 过原点，所以直线 BO 与 DO 的斜率相等，即 25.反比例函数 在第一象限的图像如下图所示自 的图像上的任一点 B 向两坐标轴引垂线 BA和 BC，分别交另两条曲线于 E，F 和 G，H连接 AG，EH，则阴影四边形 AEHG 的面积是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题考查了反
35、比例函数的性质，考查了两点间的距离和三角形的面积公式 设点 A 的坐标为(a，0)，则由 3 条曲线的方程可得点 E 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，点 H 的坐标为 ，点 G 的坐标为 因为 ，所以三角形 ABG 的面积为 因为 ，所以三角形 EBH 的面积为 综上可知，阴影四边形 AEHG 的面积是 26.点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )是反比例函数 在第一象限图像上的两点，如图 1 所示已知 ，则AOB 的面积等于_ 图 1A B C D （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 本题是解析几何与平面几何及代数运算相联系的一道综合题考查了平面图形求面积及简单代
36、数运算的问题，考查了矩形面积公式和直角三角形的面积公式与曾经考过的点阵图求面积是同一类问题 由图 2 可知，AOB 的面积等于矩形 ODCE 的面积与三个直角三角形的面积之差，这三个直角三角形分别是ODB，OEA 和ACB，注意 x 1 y 1 =1，x 2 +y 2 =1，则得 又因为 ，所以 所以 27.设一个圆的圆心为 P(6，m)，该圆与坐标轴交于 A(0，-4)，B(0，-12)两点，则 P 到坐标原点的距离是_ A B8 C10 D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题是一道平面几何与解析几何的简单综合题主要考查了圆的弦与直径的关系及两点间的距离公式，本题的关键是求
37、圆心的纵坐标 m 如下图所示，根据题意可知线段 AB 是圆的一条弦，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，从而 ，P(6，m)到坐标原点的距离是 28.已知 P 为反比例函数 图像上的一点，过 P 分别作两坐标轴的平行线，交 Ox 轴于 M，交 Oy 轴于N，则MPN 的面积为_ A B1 C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查了曲线方程的概念与三角形面积公式 如下图所示，MPN 的面积为 P 点的横坐标 x 与纵坐标 y 的乘积的一半，由于点 P 在曲线 上，所以 29.在圆 x 2 +y 2 -6x-8y+21=0 所围区域(含边界)中，P(x，y)，Q(x,
38、y)是使得 分别取得最大值和最小值的点线段 PQ 的长是_ A B C D （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 这是几何与代数的综合题，考查斜率概念，圆的弦与切线、直角三角形及特殊四边形的有关性质 圆的标准方程为(x-3) 2 +(y-4) 2 =4，它是圆心为 T(3，4)，半径为 2 的圆该圆位于第一象限自坐标原点 O 作圆的切线 OP，OQ从下图显见，切点 P，Q 分别是在该圆上的所有点中，使得相应的 取得最大值和最小值的点由于 ，所以由勾股定理知 由四边形 OQTP 的面积的不同表示方式得OTPQ=2OPPT，所以 30.在平面直角坐标系中，已知两点 A(cos110，si
39、n110)，B(cos50，sin50)，则由坐标原点 O 到线段 AB 中点 M 的距离是_ A B C （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了三角函数的同角关系式、圆的方程、圆心角的概念、等边三角形的性质 因为 cos 2 110+sin 2 110=cos 2 50+sin 2 50=1所以点 A(cos110，sin110)，B(cos50，sin50)位于圆心在原点 O，半径为 1 的圆上，且圆心角AOB=60所以 O 到 AB 中点 M 的距离正好是边长为 1 的正三角形的高矗(如下图所示)，即 31.如果图 1 中四边形 AB
40、CD 顶点的坐标依次为 A(-2，2)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，那么四边形ABCD 的面积等于_ （分数：2.00）A.16.5B.15C.13.5 D.12解析：解析 本题是一道平面几何与平面解析几何的综合题主要考查了长方形与三角形的面积公式，考查了平面几何中求面积的相加法与相减法 解法 1 如图 2 所示，取 A“(-2，1)，B“(-2，5)，C“(4，5)，D“(4，1)，则四边形 ABCD 的面积等于长方形A“B“C“D“的面积减去四个直角三角形AA“D，CC“B，AB“B 和DD“C 的面积之和，即 图 2故正确选项为 C 解法 2 由图 1 可知 A(-2，2
41、)，B(-1，5)，C(4，3)，D(2，1)，所以 从而 32.如图 1，面积为 9cm 2 的正方形 EFGH 在面积为 25cm 2 的正方形 ABCD 所在的平面上移动，始终保持EFAB，记线段 CF 的中点为 M，DH 的中点为 N，则线段 MN 的长度是_cm. A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查了特殊值代入法及两点间的距离公式 考虑如图 2 所示的特殊位置，并建立如图 2 所示的坐标系由题知，正方形 EFGH 的边长为 3，正方形ABCD 的边长为 5所以点 M 的坐标为 ，点 N 的坐标为(4,0)所以 故正确选项为 B 注 由于 33
42、.点(1，3)到曲线 上各点的最短距离等于_ A2 B C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查了平面几何中圆外一点到圆周上点的距离的最大、最小值问题，考查了两点间的距离公式和圆的方程 如下图所示，曲线 是圆心在点 A(1，0)，半径为 1 的上半圆周连接点 P(1，3)与点 A(1，0)的直线与圆周相交于点 B(1，1)，线段 PB 的长度 PB=2 就是点 P(1，3)到曲线 的最小距离 34.已知|tan|1，若圆(x+cos) 2 +(y+sin) 2 =1 的圆心在第四象限，则方程 x 2 cos-y 2 sia+2=0 的图形是_（分数：2.00）A.双曲线
43、B.椭圆 C.抛物线D.直线解析：解析 本题主要考查了圆的标准方程、点的位置与坐标的关系及判断二次方程表示的图像的问题 解法 1 由于圆(x+cos) 2 +(y+sin) 2 =1 的圆心(-cos，-sin)在第四象限，所以-cos0，-sin0，即 cos0，sin0又因为|tan|1，所以 sin-cos，从而 x 2 cos-y 2 sin+2=0，即(-cos)x 2 +siny 2 =2 的图形是一个椭圆 故正确选项为 B 解法 2 特殊值代入法 由于圆(x+cos) 2 +(y+sin) 2 =1 的圆心(-cos，-sin)在第四象限，所以-cos0，-sin0，即 cos0
44、，sin0取 ，则方程 x 2 cos-y 2 sin+2=0 变为 35.在平面 上给定线段 AB=2，在 上的动点 C，使得 A，B，C 恰为一个三角形的 3 个顶点，且线段 AC与 BC 的长是两个不等的正整数，则动点 C 所有可能的位置必定在某_上（分数：2.00）A.抛物线B.椭圆C.双曲线 D.直线解析：解析 本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题考查了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义 不妨假设 AC 比 BC 长，由于 AC 与 BC 的长是两个不等的正整数，所以 AC-BC1又因为 AC，BC，AB 是三角形的三条边，所以 AC-BCAB=2从而 AC-BC=1，即动点
45、 C 到两定点 A，B 的距离之差是一个常数，所有其可能的位置必定在某双曲线上 故正确选项为 C36.AB 是抛物线 y 2 =4x 过焦点 F 的一条弦，若 AB 的中点 M 到准线的距离等于 3，则弦 AB 的长等于_（分数：2.00）A.5B.6 C.7D.8解析：解析 本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了梯形的性质与抛物线的定义 如下图所示，设 A，M，B 在准线上的投影点分别为 A“，M“，B“，则有 A“A=AF，M“M=3，B“B=BF，且 M“M 为梯形 B“BAA“的中线由于 AB 的中点 M 到准线的距离等于 3，若设 A，B 到准线的距离分别为 d 1 ，d 2
46、，则 d 1 +d 2 =23=6根据抛物线定义可知 A，B 到焦点的距离也分别是 d 1 ，d 2 ，所以弦 AB 的长AB=AF-BF=d 1 +d 2 =6 37.设双曲线 （分数：2.00）A.外离B.外切 C.相交D.内切解析：解析 本题主要考查了双曲线的基本概念(焦点、顶点、实轴)和简单计算(焦点坐标) 解法 1 根据题意，本题可用特殊值代入法进行求解 取 a=3，b=4，则右焦点为(5，0)再取双曲线右支上的一点 ，则以 PF 2 为直径的圆的圆心坐标为 以实轴为直径的圆的圆心坐标为(0，0)，所以两圆圆心的距离是 这与两圆的半径之和相同，所以两圆外切 故正确选项为 B 解法 2 如下图所示，因为|PF 1 |-|PF 2 |=2a，设以 PF 2 为直径的圆半径为 r，圆心为 M以实轴为直径的圆，其半径为 a，圆心为 O两
