1、工程硕士(GCT)数学-9 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共 270 件，分别用甲，乙，丙库存件数的 （分数：4.00）A.B.C.D.2.等差数列 an)中，a 50，a 60，且 a6|a 5|，S n是前 n 项之和，则( )（分数：4.00）A.S1，S 2，S 3均小于 0，而 S4，S 5均大于 0B.S1，S 2，S 5均小于 0，而 S6，S 7，均大于 0C.S1，S 2，S 9均小于 0，而 S10，S 11均大于 0D.S1，S 2，S
2、10均小于 0，而 S11，S 12均大于 03.设函数 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法（分数：4.00）A.12B.21C.36D.425.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )（分数：4.00）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.设 ，则下列结论中错误的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.A，B 为 n 阶矩阵，k 为自然数，如 AB=BA，则称 A 和 B 可交换，下面命题错误的是( )（分
3、数：4.00）A.若 A，B 都为对称阵，则 A，B 可交换B.若 A，B 可交换，则 ABk与 BAk可交换C.若 A-B 与 A+B 可交换，则 A 与 B 可交换D.若 A，B 互为逆矩阵，则 A 与 B 可交换8.如图 63 所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF 长 3，AC 长 12，DE 长 8，重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID 的面积是( )（分数：4.00）A.B.C.D.9.双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120，则该双曲线的离心率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0
4、的四个根组成一个首项为 1/4 的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.2B.1C.D.11.设 （分数：4.00）A.B.C.D.12.如图 62 所示，RtABC 中，C=90，半圆的圆心 O 在 AB 上，AC 和 BC 分别切半圆于 E 和F，AC=b，BC=a，则 的半径为( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.平面中的 4 个点 P1，P 2，P 3，P 4在某个球面上，P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一半，则球的体积是( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围成的平面图
5、形的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.15.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，b=1，2，3，则 S17+S33+S50=( )（分数：4.00）A.1B.0C.6D.-116.已知点 A 的坐标为(-1，1)，直线 z 的方程为 3x+y=0，那么直线 l 关于点 A 的对称直线 l的方程为( )（分数：4.00）A.4x-y+6=0B.4x+y+6=0C.x+3y+4=0D.3x+y+4=017.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.18.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地 180km 处，意外受阻 30 分钟，因此需每小时增加 5k
6、m 的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km（分数：4.00）A.40B.45C.50D.5219.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10 个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D.20.若曲线 y=k-x2与 （分数：4.00）A.B.C.D.21.关于 x 的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是( )（分数：4.00）A.a1B.a1C.a1D.a122.满足条件|z-i|=|3+4i
7、|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )（分数：4.00）A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆23.已知 A 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，且(A-E) 2=3(A+E)2，给出 4 个结论(1) A+E 可逆； (2) A+2E 可逆；(3) A+3E 可逆； (4) A+4E 可逆，以上结论中正确的有( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个24.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.B.C.D.25.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( )（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-9 答案解析(总分：100.00，
8、做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共 270 件，分别用甲，乙，丙库存件数的 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设甲、乙、丙存件数分别为 x，y，z，则*，解得*选(C)2.等差数列 an)中，a 50，a 60，且 a6|a 5|，S n是前 n 项之和，则( )（分数：4.00）A.S1，S 2，S 3均小于 0，而 S4，S 5均大于 0B.S1，S 2，S 5均小于 0，而 S6，S 7，均大于 0C.S1，S 2，S 9均小于 0，而 S10，S 11均大于 0 D.S1
9、，S 2，S 10均小于 0，而 S11，S 12均大于 0解析：解析 *，选(C)3.设函数 ，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *，而-1x1 时 f(x)为奇函数，故*，又*，所以*，选(C)4.把四封不同的信投入三个不同的邮箱，且每个邮箱至少投一封信，共有( )种投法（分数：4.00）A.12B.21C.36 D.42解析：解析 有个信箱至少要投两封信，所以答案为*，选(C)5.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )（分数：4.00）A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形
10、解析：解析 根据直线与圆相切，有*，所以 a2+b2=c2，选(B)6.设 ，则下列结论中错误的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 a0 时，*不存在，(A)正确；0a1 时，*=*不存在，故 f(x)在 x=0 处连续但不可导，B 正确；1a2 时，*不存在，故 f(x)在 x=0 处可导但导函数不连续，(C)正确；a=2 时，f(0)=*不存在，(D)错误，选(D)7.A，B 为 n 阶矩阵，k 为自然数，如 AB=BA，则称 A 和 B 可交换，下面命题错误的是( )（分数：4.00）A.若 A，B 都为对称阵，则 A，B 可交换 B.若 A，B 可交换，则 ABk与
11、 BAk可交换C.若 A-B 与 A+B 可交换，则 A 与 B 可交换D.若 A，B 互为逆矩阵，则 A 与 B 可交换解析：解析 (AB) T=BTAT=BA，选(A)8.如图 63 所示，两个等腰直角三角形叠放在一起，AF 长 3，AC 长 12，DE 长 8，重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID 的面积是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 AC=12，所以 SABC =72；AF=3，DE=DF=8，AD=5，即 CD=7，所以*；AB=12，AG=3，BG=9，故*，从而阴影部分面积是 SABC -S BGH=S CDI=*，选(D)9.双曲线虚轴的一个端点为 M
12、，两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120，则该双曲线的离心率为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设双曲线方程为*，则取 M 的坐标为(0，b)，而 F1的坐标为(c，0)，又OMF 2=60，即*，所以*，选(B)10.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 1/4 的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.2B.1C. D.解析：解析 假设四个根分别为 a，b，c，d则有*，已知四个根为首项为*的等差数列，所以末项应为*，从而可得中间两项分别为*，m，n 分别为*从而等差数列为*所以|m-n|=*选(C)11.设 （
13、分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于矩阵 B，当特征值为 1 时对应的线性无关的特征向量只有(1，0，0) T，故不可对角化，同理矩阵 C 可对角化，从而 AC，选(C)12.如图 62 所示，RtABC 中，C=90，半圆的圆心 O 在 AB 上，AC 和 BC 分别切半圆于 E 和F，AC=b，BC=a，则 的半径为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 连接 OC，有 SABC =SOAC +SOBC ，即*，选(B)13.平面中的 4 个点 P1，P 2，P 3，P 4在某个球面上，P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3，球心到该平面的距离是其半径的一
14、半，则球的体积是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 P 1，P 2，P 3，P 4构成一正方形，且该正方形所在圆面的半径为*，设球半径为 r，则*，即*，所以球体积为*，选(B)14.曲线 与直线 x=-2，x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如图 69 所示，由于*在(-2，2)内是奇函数，所以*=*，选(A)*15.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，b=1，2，3，则 S17+S33+S50=( )（分数：4.00）A.1 B.0C.6D.-1解析：解析 S 17=1-2+3-+17=9，同理 S33=
15、17，S 50=-25，所以 S17+S33+S50=1，选(A)16.已知点 A 的坐标为(-1，1)，直线 z 的方程为 3x+y=0，那么直线 l 关于点 A 的对称直线 l的方程为( )（分数：4.00）A.4x-y+6=0B.4x+y+6=0C.x+3y+4=0D.3x+y+4=0 解析：解析 显然两直线平行，在 l 上取点(0，0)，A 的对称点是(-2，2)，故直线方程为 y-2=-3(x+2)，即 3x+y+4=0，选(D)17.齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *，显然 t=1 时，B 矩阵只要满足 r(B)2 即可，若 t1 需要 B=0，选(
16、D)18.一辆汽车从甲地出发匀速行驶，本可准时到达乙地，但在距乙地 180km 处，意外受阻 30 分钟，因此需每小时增加 5km 的时速，才能在原定时间到达乙地，则提速后汽车的速度是每小时( )km（分数：4.00）A.40B.45 C.50D.52解析：解析 设汽车原速度为 v，则*，解得 v=40 或 v=-45(舍去)，故提速后为 v=45，选(B)19.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10 个数码)的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析
17、：解析 不知道最后一个号码时，前 3 次错误，第 4 次正确，故概率为*=*，选(D)20.若曲线 y=k-x2与 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求两直线的切线斜率，分别为-2x 和*，令*，即 x=1，y=2，所以，两直线过(1，2)点，从而有 k=3，选(C)21.关于 x 的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是( )（分数：4.00）A.a1B.a1 C.a1D.a1解析：解析 根据图像|3-x|+|x-2|的最小值为 1，则 a1 时不等式无解，选(B)22.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )
18、（分数：4.00）A.一条直线B.两条直线C.圆 D.椭圆解析：解析 |z-i|=|3+4i|*|z-i|=5，表示圆心在(0，1)，半径为 5 的圆，选(C)23.已知 A 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，且(A-E) 2=3(A+E)2，给出 4 个结论(1) A+E 可逆； (2) A+2E 可逆；(3) A+3E 可逆； (4) A+4E 可逆，以上结论中正确的有( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析 (A-E) 2=3(A+E)2*2A2+8A+E=0，有(A+E)(2A+6E)=5E，故 A+E 可逆；(A+2E)(2A+4E)=7E，故A+2E 可逆；(A+3E)(2A+2E)=5E，故 A+3E 可逆；2A(A+4E)=-E，故 A+4E 可逆，选(D)24.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 AB-A-B=E*(A-E)B=A+E，由 A-E 可逆，从而|B|=|(A-E) -1(A+E)|=9，选(B)25.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *，有 k=6，*，即*，选(D)
