1、工程硕士(GCT)数学-9 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.装台机器需要甲,乙,丙三种部件各一件,现库中存有这三种部件共 270 件,分别用甲,乙,丙库存件数的 (分数:4.00)A.B.C.D.2.等差数列 an)中,a 50,a 60,且 a6|a 5|,S n是前 n 项之和,则( )(分数:4.00)A.S1,S 2,S 3均小于 0,而 S4,S 5均大于 0B.S1,S 2,S 5均小于 0,而 S6,S 7,均大于 0C.S1,S 2,S 9均小于 0,而 S10,S 11均大于 0D.S1,S 2,S
2、10均小于 0,而 S11,S 12均大于 03.设函数 ,则 (分数:4.00)A.B.C.D.4.把四封不同的信投入三个不同的邮箱,且每个邮箱至少投一封信,共有( )种投法(分数:4.00)A.12B.21C.36D.425.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )(分数:4.00)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.设 ,则下列结论中错误的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.A,B 为 n 阶矩阵,k 为自然数,如 AB=BA,则称 A 和 B 可交换,下面命题错误的是( )(分
3、数:4.00)A.若 A,B 都为对称阵,则 A,B 可交换B.若 A,B 可交换,则 ABk与 BAk可交换C.若 A-B 与 A+B 可交换,则 A 与 B 可交换D.若 A,B 互为逆矩阵,则 A 与 B 可交换8.如图 63 所示,两个等腰直角三角形叠放在一起,AF 长 3,AC 长 12,DE 长 8,重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID 的面积是( )(分数:4.00)A.B.C.D.9.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120,则该双曲线的离心率为( )(分数:4.00)A.B.C.D.10.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0
4、的四个根组成一个首项为 1/4 的等差数列,则|m-n|=( )(分数:4.00)A.2B.1C.D.11.设 (分数:4.00)A.B.C.D.12.如图 62 所示,RtABC 中,C=90,半圆的圆心 O 在 AB 上,AC 和 BC 分别切半圆于 E 和F,AC=b,BC=a,则 的半径为( )(分数:4.00)A.B.C.D.13.平面中的 4 个点 P1,P 2,P 3,P 4在某个球面上,P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,球心到该平面的距离是其半径的一半,则球的体积是( )(分数:4.00)A.B.C.D.14.曲线 与直线 x=-2,x=2 及 x 轴所围成的平面图
5、形的面积为( )(分数:4.00)A.B.C.D.15.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,b=1,2,3,则 S17+S33+S50=( )(分数:4.00)A.1B.0C.6D.-116.已知点 A 的坐标为(-1,1),直线 z 的方程为 3x+y=0,那么直线 l 关于点 A 的对称直线 l的方程为( )(分数:4.00)A.4x-y+6=0B.4x+y+6=0C.x+3y+4=0D.3x+y+4=017.齐次线性方程组 (分数:4.00)A.B.C.D.18.一辆汽车从甲地出发匀速行驶,本可准时到达乙地,但在距乙地 180km 处,意外受阻 30 分钟,因此需每小时增加 5k
6、m 的时速,才能在原定时间到达乙地,则提速后汽车的速度是每小时( )km(分数:4.00)A.40B.45C.50D.5219.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10 个数码)的最后一个数码,因此在正确拨出前两个数码后,只能随机地试拨最后一个数码,每拨一次算作一次试开,则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是( )(分数:4.00)A.B.C.D.20.若曲线 y=k-x2与 (分数:4.00)A.B.C.D.21.关于 x 的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是( )(分数:4.00)A.a1B.a1C.a1D.a122.满足条件|z-i|=|3+4i
7、|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )(分数:4.00)A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆23.已知 A 为 n 阶方阵,E 为 n 阶单位阵,且(A-E) 2=3(A+E)2,给出 4 个结论(1) A+E 可逆; (2) A+2E 可逆;(3) A+3E 可逆; (4) A+4E 可逆,以上结论中正确的有( )(分数:4.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个24.若 AB-A-B=E, (分数:4.00)A.B.C.D.25.设 ,当 x0 时,与 f(x)等价的无穷小量是( )(分数:4.00)A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-9 答案解析(总分:100.00,
8、做题时间:90 分钟)一、单项选择题(总题数:25,分数:100.00)1.装台机器需要甲,乙,丙三种部件各一件,现库中存有这三种部件共 270 件,分别用甲,乙,丙库存件数的 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 设甲、乙、丙存件数分别为 x,y,z,则*,解得*选(C)2.等差数列 an)中,a 50,a 60,且 a6|a 5|,S n是前 n 项之和,则( )(分数:4.00)A.S1,S 2,S 3均小于 0,而 S4,S 5均大于 0B.S1,S 2,S 5均小于 0,而 S6,S 7,均大于 0C.S1,S 2,S 9均小于 0,而 S10,S 11均大于 0 D.S1
9、,S 2,S 10均小于 0,而 S11,S 12均大于 0解析:解析 *,选(C)3.设函数 ,则 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 *,而-1x1 时 f(x)为奇函数,故*,又*,所以*,选(C)4.把四封不同的信投入三个不同的邮箱,且每个邮箱至少投一封信,共有( )种投法(分数:4.00)A.12B.21C.36 D.42解析:解析 有个信箱至少要投两封信,所以答案为*,选(C)5.直线 ax+b+c=0(abc0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形是( )(分数:4.00)A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形
10、解析:解析 根据直线与圆相切,有*,所以 a2+b2=c2,选(B)6.设 ,则下列结论中错误的是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 a0 时,*不存在,(A)正确;0a1 时,*=*不存在,故 f(x)在 x=0 处连续但不可导,B 正确;1a2 时,*不存在,故 f(x)在 x=0 处可导但导函数不连续,(C)正确;a=2 时,f(0)=*不存在,(D)错误,选(D)7.A,B 为 n 阶矩阵,k 为自然数,如 AB=BA,则称 A 和 B 可交换,下面命题错误的是( )(分数:4.00)A.若 A,B 都为对称阵,则 A,B 可交换 B.若 A,B 可交换,则 ABk与
11、 BAk可交换C.若 A-B 与 A+B 可交换,则 A 与 B 可交换D.若 A,B 互为逆矩阵,则 A 与 B 可交换解析:解析 (AB) T=BTAT=BA,选(A)8.如图 63 所示,两个等腰直角三角形叠放在一起,AF 长 3,AC 长 12,DE 长 8,重叠部分(阴影部分)五边形 AGHID 的面积是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 AC=12,所以 SABC =72;AF=3,DE=DF=8,AD=5,即 CD=7,所以*;AB=12,AG=3,BG=9,故*,从而阴影部分面积是 SABC -S BGH=S CDI=*,选(D)9.双曲线虚轴的一个端点为 M
12、,两个焦点为 F1与 F2设F 1MF2=120,则该双曲线的离心率为( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 设双曲线方程为*,则取 M 的坐标为(0,b),而 F1的坐标为(c,0),又OMF 2=60,即*,所以*,选(B)10.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 1/4 的等差数列,则|m-n|=( )(分数:4.00)A.2B.1C. D.解析:解析 假设四个根分别为 a,b,c,d则有*,已知四个根为首项为*的等差数列,所以末项应为*,从而可得中间两项分别为*,m,n 分别为*从而等差数列为*所以|m-n|=*选(C)11.设 (
13、分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 对于矩阵 B,当特征值为 1 时对应的线性无关的特征向量只有(1,0,0) T,故不可对角化,同理矩阵 C 可对角化,从而 AC,选(C)12.如图 62 所示,RtABC 中,C=90,半圆的圆心 O 在 AB 上,AC 和 BC 分别切半圆于 E 和F,AC=b,BC=a,则 的半径为( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 连接 OC,有 SABC =SOAC +SOBC ,即*,选(B)13.平面中的 4 个点 P1,P 2,P 3,P 4在某个球面上,P 1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,球心到该平面的距离是其半径的一
14、半,则球的体积是( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 P 1,P 2,P 3,P 4构成一正方形,且该正方形所在圆面的半径为*,设球半径为 r,则*,即*,所以球体积为*,选(B)14.曲线 与直线 x=-2,x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积为( )(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 如图 69 所示,由于*在(-2,2)内是奇函数,所以*=*,选(A)*15.设 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,b=1,2,3,则 S17+S33+S50=( )(分数:4.00)A.1 B.0C.6D.-1解析:解析 S 17=1-2+3-+17=9,同理 S33=
15、17,S 50=-25,所以 S17+S33+S50=1,选(A)16.已知点 A 的坐标为(-1,1),直线 z 的方程为 3x+y=0,那么直线 l 关于点 A 的对称直线 l的方程为( )(分数:4.00)A.4x-y+6=0B.4x+y+6=0C.x+3y+4=0D.3x+y+4=0 解析:解析 显然两直线平行,在 l 上取点(0,0),A 的对称点是(-2,2),故直线方程为 y-2=-3(x+2),即 3x+y+4=0,选(D)17.齐次线性方程组 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 *,显然 t=1 时,B 矩阵只要满足 r(B)2 即可,若 t1 需要 B=0,选(
16、D)18.一辆汽车从甲地出发匀速行驶,本可准时到达乙地,但在距乙地 180km 处,意外受阻 30 分钟,因此需每小时增加 5km 的时速,才能在原定时间到达乙地,则提速后汽车的速度是每小时( )km(分数:4.00)A.40B.45 C.50D.52解析:解析 设汽车原速度为 v,则*,解得 v=40 或 v=-45(舍去),故提速后为 v=45,选(B)19.某人忘记三位号码锁(每位均有 09 共 10 个数码)的最后一个数码,因此在正确拨出前两个数码后,只能随机地试拨最后一个数码,每拨一次算作一次试开,则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析
17、:解析 不知道最后一个号码时,前 3 次错误,第 4 次正确,故概率为*=*,选(D)20.若曲线 y=k-x2与 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 先求两直线的切线斜率,分别为-2x 和*,令*,即 x=1,y=2,所以,两直线过(1,2)点,从而有 k=3,选(C)21.关于 x 的不等式|3-x|+|x-2|a 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是( )(分数:4.00)A.a1B.a1 C.a1D.a1解析:解析 根据图像|3-x|+|x-2|的最小值为 1,则 a1 时不等式无解,选(B)22.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )
18、(分数:4.00)A.一条直线B.两条直线C.圆 D.椭圆解析:解析 |z-i|=|3+4i|*|z-i|=5,表示圆心在(0,1),半径为 5 的圆,选(C)23.已知 A 为 n 阶方阵,E 为 n 阶单位阵,且(A-E) 2=3(A+E)2,给出 4 个结论(1) A+E 可逆; (2) A+2E 可逆;(3) A+3E 可逆; (4) A+4E 可逆,以上结论中正确的有( )(分数:4.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析:解析 (A-E) 2=3(A+E)2*2A2+8A+E=0,有(A+E)(2A+6E)=5E,故 A+E 可逆;(A+2E)(2A+4E)=7E,故A+2E 可逆;(A+3E)(2A+2E)=5E,故 A+3E 可逆;2A(A+4E)=-E,故 A+4E 可逆,选(D)24.若 AB-A-B=E, (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 AB-A-B=E*(A-E)B=A+E,由 A-E 可逆,从而|B|=|(A-E) -1(A+E)|=9,选(B)25.设 ,当 x0 时,与 f(x)等价的无穷小量是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 *,有 k=6,*,即*,选(D)