1、工程硕士(GCT)数学-97 及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：88.00)1.设 y为U /U （分数：4.00）A.B.C.D.2. （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知长方形的长为 8，将长方形的一条对角线折起压平如图 228 所示，则阴影三角形的面积等于U /U（分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：1.00）A.B.C.D.5. （分数：1.00）A.B.C.D.6.设三阶行列式 D=|，|0，且|+a，+a，+a|=2D，则 a=U /U A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（分数：4.00）A.B.C.D.
2、7.如图 28 所示，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为S，则正方形 EFGH 的面积为U /U （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 是ABC 的一个内角，满足 sin+ （分数：4.00）A.B.C.D.9.=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 a1，a 2，a 3，a 4成等差数列，且 a1，a 4为方程 2x2-5x+2=0 的两个实根，则 a2+a3=U /U（分数：4.00）A.B.C.D.11.与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切，且半径最小的圆的标准方程
3、是( ) A. (x-2)2+(y-2)2=2 B. (x-2)2+(y+2)2=4 C. (x-2)2+(y+2)2=2 D. (x+2)2+(y-2)2=4（分数：4.00）A.B.C.D.12.在等差数列b n中，b 1-b4-b8-b12+b15=2，则 b3+b13=U /U A. 16 B. 4 C. -16 D. -4（分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.14.已知函数 f(x)=ax+b(a0，且 a1，b 为常数)的图像经过点(1,1)，且 0 f(0)1，记 （分数：4.00）A.B.C.D.15. （分数：1.00）A.B.C.D.1
4、6.已知两点 A(3，-2)，B(-9，4)，直线 AB 与 x 轴的交点 P 分 AB 所成的比等于U /U （分数：4.00）A.B.C.D.17. （分数：4.00）A.B.C.D.18.如图 4 所示正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点已知 BD=8 厘米，CE=6 厘米，则 FG=U /U厘米 （分数：4.00）A.B.C.D.19.若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，点 P 的坐标应为U /U(A) (0，0) (B) (1，1) (C)
5、(2，2) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.20.在等差数列a n中，a 3=2，a 11=6，数列b n是等比数列，若 b2=a3， ，那么满足 （分数：4.00）A.B.C.D.21. （分数：4.00）A.B.C.D.22. （分数：1.00）A.B.C.D.23. （分数：4.00）A.B.C.D.24. （分数：4.00）A.B.C.D.25.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-97 答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择/B(总题数：25，分数：88.00)1.设 y为U /U （分
6、数：4.00）A.B. C.D.解析：*选(B)2. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*3.已知长方形的长为 8，将长方形的一条对角线折起压平如图 228 所示，则阴影三角形的面积等于U /U（分数：4.00）A.B. C.D.解析：如图 233 所示，显然*则 BC=CE+BE=CE+ED，从而 CE2+CD2=(BC-CE)2*CE=3，S 阴=SBDC -SECD =10，选(B)*4. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*5. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*6.设三阶行列式 D=|，|0，且|+a，+a，+a|=2D，则 a=U /U A. 1 B. 2
7、 C. 3 D. 4（分数：4.00）A. B.C.D.解析：|+a，+a，+a|=|，+a，+a|+|a，+a，+a|=|，+a|+|，a，+a|+|a，+a|+|a，a，+a|=|，|+|，a|+|，a，|+|a，|+|a，a，a|=|，|+a 3|，|=|，|+a 3|，|=(1+a 3)|，|所以 1+a3=2 故 a=1，选(A)7.如图 28 所示，长方形 ABCD 由 4 个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH 构成，若长方形 ABCD 的面积为S，则正方形 EFGH 的面积为U /U （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方法一 设 AB=a，BC=b，则 S=ab
8、由ADE，AHB，EFG 和BGC 都是等腰直角三角形，知 * 又因四边形 EFGH 是正方形，故*，即有*， *，选(C) 方法二 设小正方形的边长是 a，则 GC 的长度是 2a，HB 的长度是 3a，AD 的长度是*，所以*，从而*8.设 是ABC 的一个内角，满足 sin+ （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*若*则 1sin+cos*与所给条件矛盾，所以 只能是钝角，选(C)9.=( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *，选(A)10.设 a1，a 2，a 3，a 4成等差数列，且 a1，a 4为方程 2x2-5x+2=0 的两个实根，则 a2+a3=U /
9、U（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：a 2+a3=a1+a4，由条件*选(D)11.与直线 x+y-2=0 和曲线 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切，且半径最小的圆的标准方程是( ) A. (x-2)2+(y-2)2=2 B. (x-2)2+(y+2)2=4 C. (x-2)2+(y+2)2=2 D. (x+2)2+(y-2)2=4（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然满足条件的圆一定在点(6，6)到直线 x+y-2=0 上的垂线段上，垂线的方程为 y=x，该直线与圆的交点为(3，3)、(9，9)，与另一直线的交点为(1，1)，所以所求的圆的圆心是(2，2)，
10、半径为*，即(x-2) 2+(y-2)2=2，选(A)12.在等差数列b n中，b 1-b4-b8-b12+b15=2，则 b3+b13=U /U A. 16 B. 4 C. -16 D. -4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 b1-b4-b8-b12+b15=b1+b15-(b4+b12)-b8=2，故 b8=-2，b 3+b13=2b8=-4，选(D)13. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*14.已知函数 f(x)=ax+b(a0，且 a1，b 为常数)的图像经过点(1,1)，且 0 f(0)1，记 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设得*，故
11、b=-1，由 0f(0)1，得 a1故 f(x)=ax-1，f -1(x)=logax+1*故 mn故正确答案为 C。15. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*16.已知两点 A(3，-2)，B(-9，4)，直线 AB 与 x 轴的交点 P 分 AB 所成的比等于U /U （分数：4.00）A.B. C.D.解析：A，B 两点所在的直线方程是*，与 x 轴的交点 P 为(-1，0)，则 P 分 AB 所成的比为*，选(B)17. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*18.如图 4 所示正三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，F，G 分别是 DE，BC 的中点
12、已知 BD=8 厘米，CE=6 厘米，则 FG=U /U厘米 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 方法一 取三角形的边长为 8，这时 D 与 A 重合，点 F 在边 AC 上由CF=7，OG=4，C=60，得 GF2=42+72-247cos60=37即*方法二 取三角形边长为 12，以 G 为原点，BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 D(-2，*)，E(3，*)，所以*，*，选(B)19.若点 A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线 y2=2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，点 P 的坐标应为U /U(A) (0，0) (B) (1，1)
13、(C) (2，2) (D) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：|PF|长度等于 P 到准线的距离，故 y=2，x=2 时|PA|+|PF|取得最小值，选(C)20.在等差数列a n中，a 3=2，a 11=6，数列b n是等比数列，若 b2=a3， ，那么满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 a n是等差数列由 a3=2，a 11=6 得方程组*故*bn是等比数列，由 b2=a3，b 3=*得方程组*故*，从而*，解之，得 n-14，即 n5，n 的最大值为 4。21. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*22. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*23. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*24. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*25.下列矩阵中，与对角阵 相似的矩阵是( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 与对角阵*相似的矩阵对应于特征值 =1 应有两个线性无关的特征向量，由于秩*等于2，秩*等于 2，秩*等于 1，秩*等于 2，所以矩阵*对应于特征值 =1 有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵*相似选(C)
