1、工程硕士(GCT)数学-93 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.分别标有号码 1,2,3,，9 的 9 个球装在一个口袋中，从中任取 4 个，取出的 4 个球中有 5 号球的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 4x-5y=0，且 x0，则 （分数：4.00）A.B.1C.2D.33.当 最小值是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点，B 为椭圆在 y 轴上的顶点，F 1BF2= 120，则椭圆的离心率 e=( )（分数：4.00）A.B.C.D
2、.5.曲线 （分数：4.00）A.1 条垂直渐近线，1 条水平渐近线B.1 条垂直渐近线，2 条水平渐近线C.2 条垂直渐近线，1 条水平渐近线D.2 条垂直渐近线，2 条水平渐近线6.若 （分数：4.00）A.9B.10C.11D.127.一底面直径为 4m 的圆柱形水桶，其轴截面上有两点 A 和 B，尺寸如题 15 图所示，一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B 点，则 A 点到 B 点的最短距离是( )m （分数：4.00）A.B.C.D.8.A 是 n 阶矩阵，|A|=0 的充分必要条件是： (1) Ax=0 有非零解； (2) Ax=b 有无穷多解； (3) A 的列向量组中任何一个向量可被
3、其余 n-1 个向量线性表出； (4) A 的特征值全为 0； (5) A 的行向量组线性相关 以上结论正确的是( )（分数：4.00）A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5)D.(1)(2)(5)9.不等式 1|x+1|3 的解集是( )（分数：4.00）A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2)10.若 （分数：4.00）A.a=1，b 为任意实数B.b=0，a 为任意实数C.a=0，b=1D.a=1，b=011.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.0B.1C.-1D.212.A 是四阶矩阵，r(A)=3
4、，又 1=(1,2,1,3)T， 2=(1,1,-1,1)T， 3=(1,3,3,5)T， 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0 的解向量，则 A*x=0 的基础解系是( )（分数：4.00）A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 413.ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则 AC 上的高等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.14.已知 a(0,1)，若函数 f(x)=logax 在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C.D.15.若 （分数：4.00）A.a=3B.a3C.a=0D
5、.a016.设 （分数：4.00）A.4B.8C.0D.以上均不正确17.设a n是一个无穷等比数列，公比 ，则 a1= ( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.如图所示，三个圆的半径均为 a，三个圆两两相交于圆心，则图中阴影部分的面积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.19.如果方程 有两个不同实根，那么参数是的取值范围是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.20.若 （分数：4.00）A.3B.4C.5D.621.已知 a1=2，a 2=2，且 an=|an-1-an-2|，n=3,4,5,，则 a20，a 21和 a22的值分别是( )（分数：4.00）A.2,2,0B
6、.2,0,2C.0,2,2D.0,2,022.下列不等式成立的是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.23.如题 18 图所示，g(x)的图形是直线段 OB，f(x)的图形是折线段 OAC，u(x)=fg(x)，则 u(4)=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.24.从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试，选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种（分数：4.00）A.60B.80C.100D.12025.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.g(在 x=0 处不连续B.g(在 x=0 处连续，但不可导C.g(在 x=
7、0 处可导D.g(在 x=0 处的连续性、可导性与 a 有关工程硕士(GCT)数学-93 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.分别标有号码 1,2,3,，9 的 9 个球装在一个口袋中，从中任取 4 个，取出的 4 个球中有 5 号球的概率是( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：从 9 个球中任取 4 个，共有 取法，取出的 4 个球中有 5 号球的取法共有 ，严求概率为2.若 4x-5y=0，且 x0，则 （分数：4.00）A.B.1C.2 D.3解析：4x-5y=0，故 ，又 x0，所以 3.当 最小值
8、是( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：利用三角函数倍角公式有 当且仅当 时等号成立所以 f(x)在4.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点，B 为椭圆在 y 轴上的顶点，F 1BF2= 120，则椭圆的离心率 e=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：如题 13 图所示，作椭圆草图F 1BF2=120，所以BF 1O=30，|F 1O|=c，所以，因为 a2-c2=b2，所以，即离心率故选 C5.曲线 （分数：4.00）A.1 条垂直渐近线，1 条水平渐近线B.1 条垂直渐近线，2 条水平渐近线C.2 条垂直渐近线，1 条水平渐近线D.2 条垂直渐近线，2 条水
9、平渐近线 解析： 可得 y=1 和 y=-1 是曲线 f(x)的两条水平渐近线 由 ，可得 x=2 和 x=3 是曲线 f(x)的两条垂直渐近线所以，曲线 f(x)有 2 条水平渐近线和 2 条垂直渐近线 故应选 D6.若 （分数：4.00）A.9B.10C.11 D.12解析：因 ，原式 7.一底面直径为 4m 的圆柱形水桶，其轴截面上有两点 A 和 B，尺寸如题 15 图所示，一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B 点，则 A 点到 B 点的最短距离是( )m （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：桶壁展开图和 A 点与 B 点如题 15 图所示，A 点到 B 点的最短距离为它们的连线的直线距
10、离，根据勾股定理得 故正确的选择应为 D8.A 是 n 阶矩阵，|A|=0 的充分必要条件是： (1) Ax=0 有非零解； (2) Ax=b 有无穷多解； (3) A 的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1 个向量线性表出； (4) A 的特征值全为 0； (5) A 的行向量组线性相关 以上结论正确的是( )（分数：4.00）A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5) D.(1)(2)(5)解析：由已知得， 有非零解故(1)正确 但 r(A)n，不能保证 r(A)=r(Ab)故(2)不一定成立相反，若 Ax=b 有无穷多解 r(A)=r(Ab)n故(2)应排
11、除 由于矩阵的秩和其行向量组及列向量组的秩均相等，故 的列向量组或行向量组)n A 的列向量组(行向量组)线性相关故(5)正确但列向量组线性相关 存在某个向量可被其余 n-1 个向量线性表出并不是每个向量均可被其余 n-1 个向量线性表出故(3)应排除 又9.不等式 1|x+1|3 的解集是( )（分数：4.00）A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2) 解析：如题 10 图所示，在坐标系上作出函数，y=|x+1|的图象，再作直线 y=1 和 y=3从图上可以看出当 x(-4,-2)(0,2)时，有 1y3 10.若 （分数：4.00）A.a=1，b
12、 为任意实数B.b=0，a 为任意实数C.a=0，b=1D.a=1，b=0 解析： 故应选 D11.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.0B.1 C.-1D.2解析：设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 而 d(cosx)=cosxdx-xsinxdx，因此 12.A 是四阶矩阵，r(A)=3，又 1=(1,2,1,3)T， 2=(1,1,-1,1)T， 3=(1,3,3,5)T， 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0 的解向量，则 A*x=0 的基础解系是( )（分数：4.00）A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 4 解析：
13、因 A 是四阶矩阵且 r(A)=3，故 r(A*)=1，于是 A*x=0 的基础解系应包括 n-r(A*)= 4-1=3 个线性无关的解向量已知 1, 2, 3, 4均为齐次线性方程组 A*x=0 的解向量，故我们考查其秩是否为 3若r( 1, 2, 3, 4)=3，则它的一个极大无关组必为一个基础解系由13.ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则 AC 上的高等于( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：设 AC 上的高为 h，则ABC 的面积 14.已知 a(0,1)，若函数 f(x)=logax 在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=( )（分数：4.00）
14、A. B.C.D.解析：因为 0a1，所以 f(x)=logax 为减函数由已知 logaa=3loga2a，所以 loga2a=，即故选 A15.若 （分数：4.00）A.a=3B.a3C.a=0D.a0 解析：由|E-A|=0，即 =(-2)(-3) 2=0，求得 A 的三个特征值为 1=2， 2=入 3=3对于 A 的一重特征值 1=2，矩阵 A 只有一个属于 1的线性无关的特征向量对于 A 的二重特征值 2= 3=3矩阵 A 可能有一个或两个属于 =3 的特征向量但 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的而据题意，A 共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3，矩阵 A 只可能有一个
15、属于它的线性无关的特征向量这样三元方程组(3E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2故正确的选择应为 D16.设 （分数：4.00）A.4B.8 C.0D.以上均不正确解析：由 C=ATB-1，则 C-1=(ATB-1)-1=(B-1)-1(AT)-1=B(AT)-1，即 C-1中第 3 行第 2 列的元素等于 B 的第 3 行左乘(A T)-1的第 2 列17.设a n是一个无穷等比数列，公比 ，则 a1= ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：其中 ，当 n+时，上式的极限18.如图所示，三个圆的半径均为 a，三个圆两两相交于圆心，则图中阴影部分的
16、面积为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：连接三圆的交点 A,B,C 和 CD,CE 如图。根据原题图的对称性，曲边形 ABF 与曲边形 ABC 的面积相差弓形 AmB 的面积的两倍，而这两倍弓形的面积正好割下补到弓形 EnC 和 CpD 上，这样原来所求阴影部分的面积恰为半圆 EDm 的面积。依题意，该半圆半径为 a故半圆面积为。 故应选 A 19.如果方程 有两个不同实根，那么参数是的取值范围是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由 平方并整理得 x2-x+k=0根据题意此方程有两个不同的非负实根，所以 从而参数 k 的取值范围是20.若 （分数：4.00）A.
17、3B.4C.5 D.6解析： 依题意，有某个 0kn，使 5k=3n 故应选 C21.已知 a1=2，a 2=2，且 an=|an-1-an-2|，n=3,4,5,，则 a20，a 21和 a22的值分别是( )（分数：4.00）A.2,2,0B.2,0,2 C.0,2,2D.0,2,0解析：a1=2,a2=2,a3=|a2-a1|=0,a4=|a3-a2|=2,a5=|a4-a3|=2,a6=|a5-a4|=0，由此可见，在 a1,a2,a3,中每 3 个为 1 组，分别以 2,2,0 轮流出现，a20=a2=2,a21=a3=0,a22=a1=2故应选 B22.下列不等式成立的是( ) （
18、分数：4.00）A.B.C.D. 解析： 再设 g(x)=sinx-x，则 g(0)=0，g(x)=cosx-10所以当 x0 时，g(x)g(0)=0，当 xO 时，g(x)g(0)=0即当 x0 时，sinx-x0，当 x0 时，sinx-x0 从而当 x0 时，f(x)0，因此当 x0 时，f(x)是单调递减函数由此，当 x0 时， f(x)f(0)=0，当 x0 时，f(x)f(0)=0，即当x0 时， ，当 x0 时， 故应选 D23.如题 18 图所示，g(x)的图形是直线段 OB，f(x)的图形是折线段 OAC，u(x)=fg(x)，则 u(4)=( ) （分数：4.00）A.B
19、.C. D.解析：从题 18 图可知 g(4)=2,g(x)等于直线 OB 的斜率 kOB，易知 当 x(1,4)时，f(x)等于直线 AC的斜率 kAC，易知根据复合函数求导法则24.从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试，选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种（分数：4.00）A.60B.80C.100 D.120解析：从这 10 名同学中任选 3 名同学的选法有 ，3 名全是男同学的选法有25.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.g(在 x=0 处不连续 B.g(在 x=0 处连续，但不可导C.g(在 x=0 处可导D.g(在 x=0 处的连续性、可导性与 a 有关解析： 注 本题也可用特殊值代入法
